5.2 Bases multiplicatives
5.2.3 Propri´et´es ´enum´eratives
Nous nous int´eressons maintenant aux propri´et´es ´enum´eratives des ´el´ementsE-ind´ecom- posables. Nous voulons montrer que le nombre d’arbres ε-Cambriens E-ind´ecomposables est ind´ependant de la signature ε.
Proposition 100. Pour toute signature ε∈ ±n, il y a C
n−1ε-CambrienE-ind´ecomposables.
Par cons´equent, il y a 2nC
n−1 arbres Cambriens E-indecomposables sur n nœuds.
Ce r´esultat est imm´ediat pour la signature ε = (−)ncar les ´el´ementsE-ind´ecomposables
sont les arbres binaires qui penchent `a droite (voir exemple97), qui sont clairement compt´es par le nombre de Catalan Cn−1. Pour montrer la proposition100, nous ´etudions le compor-
tement des arbres Cambriens et de leurs d´ecompositions lorsque l’on applique des modifica- tions locales `a la signature de [n]. Nous pensons que ces transformations sont int´eressantes per se. Par exemple, elles fournissent une preuve alternative du fait qu’il y a Cn arbres ε-
Cambriens pour chaque signature ε∈ ±n.
Soit χ0 :±n → ±n et χn:±n→ ±nles transformations qui inversent respectivement le
signe de 1 et n. On note Ψ0(T) et Ψn(T) les arbres obtenus `a partir d’un arbre Cambrien T
en changeant respectivement la direction de la feuille la plus `a gauche et la plus `a droite de T. Pour i ∈ [n − 1], soit χi : ±n → ±n la transformation qui ´echange les signes en
position i et i + 1. La transformation ε→ χi(ε) est seulement int´eressante quand εi �= εi+1.
Dans cette situation, on note Ψi(T) l’arbre obtenu `a partir d’un arbre ε-Cambrien T par
— retournement de l’arˆete du nœud positif au nœud n´egatif de {i, i + 1} s’il existe, — ´echange des ´etiquettes i et i + 1 sinon.
Cette transformation est illustr´ee dans la figure 5.8 avec εi = + et εi+1=−.
i i+1 B D A C E i+1 i B D A C E B i A i+1 D C D B A i i+1 C
Figure 5.8 – La transformation Ψi quand εi = + et εi+1 =−. L’arbre Ψi(T) est obtenu
en retournant l’arˆete de i `a i + 1 si elle existe (gauche), et en ´echangeant les ´etiquettes de i et i + 1 sinon (droite).
Pour montrer que Ψi transforme un arbre ε-Cambrien un arbre χi(ε)-Cambrien et
pr´eserve le nombre d’´el´ements E-ind´ecomposables, nous avons besoin du lemme suivant. Notons que ce lemme explique aussi pourquoi la figure 5.8 couvre toutes les possibilit´es quand εi = + et εi+1=−.
Lemme 101. Si εi = + et εi+1=−, alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes pour
(i) ([i]� [n] � [i]) est une coupure selon une arˆete de T ; (ii) i est plus petit que i + 1 dans T ;
(iii) i est dans le sous-arbre gauche de i + 1 et i + 1 est dans le sous-arbre droit de i ; (iv) i est le fils gauche de i + 1 et i + 1 est le parent droit de i.
Des propri´et´es similaires sont v´erifi´ees dans le cas o`u εi =− et εi+1= +.
D´emonstration. Comme i et i + 1 sont comparables dans T (voir paragraphe1.1.5), le fait que ([i]� [n] � [i]) soit une coupure selon une arˆete de T implique que i soit plus petit que i + 1 dans T. Ce qui montre que (i) ⇒ (ii).
Si i est plus petit que i + 1 dans T, alors i est dans un sous-arbre de i + 1, qui ne peut ˆetre que le sous-arbre gauche, et de la mˆeme fa¸con, i + 1 est dans le sous-arbre droit de i. Ce qui montre que (ii) ⇒ (iii).
Supposons maintenant que i soit dans le sous-arbre gauche de i + 1 et i + 1 soit dans le sous-arbre droit de i, et consid´erons le chemin de i `a i + 1 dans T. Comme les nœuds de ce chemin se trouvent dans le sous-arbre droit de i et dans le sous-arbre gauche de i + 1, leurs ´etiquettes doivent ˆetre plus grandes que i et plus petites que i + 1. Ce chemin est donc constitu´e d’un unique arc. Ce qui montre que (iii) ⇒ (iv).
Finalement, supposons que i soit dans le sous-arbre gauche de i + 1 et i + 1 soit dans le parent droit de i dans T. Alors la coupe correspondant `a l’arc e de T de i `a i + 1 est ([i]� [n] � [i]). En effet, tous les ´el´ements dans la source de e sont dans le sous-arbre gauche de i+1 et donc plus petits que i+1, et tous les ´el´ements dans la destination de e sont dans le sous-arbre droit de i et donc plus grand que i. Ce qui montre que (iv) ⇒ (i). Lemme 102. Pour 0 ≤ i ≤ n, l’application Ψi d´efinit une bijection entre les arbres ε-
Cambriens et les arbres χi(ε)-Cambriens et pr´eserve le nombre d’´el´ementsE-ind´ecomposables.
D´emonstration. Le r´esultat est imm´ediat pour i = 0 and i = n. Supposons donc que i ∈ [n− 1] et que εi = + et εi+1 = −. Nous prouvons d’abord que Ψi envoie des arbres ε-
Cambriens sur des arbres χi(ε)-Cambriens. Cette proc´edure transforme clairement des
arbres en arbres. Pour voir que Ψi(T) est χi(ε)-Cambrien, nous distinguons deux cas :
— La figure 5.8(gauche) illustre le cas o`u T a un arc entrant de i `a i + 1. Toutes les ´etiquettes de B sont plus petites que i car elles sont distinctes de i et dans le sous- arbre gauche de i+1, et toutes les ´etiquettes dans le sous-arbre droit de i dans Ψi(T)
sont plus grandes que i comme elles ´etaient dans le sous-arbre droit de i dans T. Par cons´equent, les ´etiquettes autour du sommet i de Ψi(T) respectent l’´etiquetage
Cambrien. Par une argumentation similaire, on arrive `a la mˆeme conclusion pour i+ 1. Tous les autres nœuds ont les mˆemes signes et sous-arbres.
— La figure 5.8(droite) illustre le cas o`u T n’a pas d’arˆete de i `a i + 1. Toutes les ´etiquettes dans B (resp. D) sont plus petites (resp. grandes) que i car elles sont distinctes de i et dans le sous-arbre gauche (resp. droit) de i + 1, donc les ´etiquettes autour du sommet i de Ψi(T) respectent l’´etiquetage Cambrien. Par une argumen-
tation similaire, on arrive `a la mˆeme conclusion pour i + 1. Tous les autres nœuds ont les mˆemes signes et sous-arbres.
Dans l’autre sens, il est aussi facile de voir que Ψi transforme les arbres ε-Cambriens en
arbres χi(ε)-Cambriens en utilisant l’interpr´etation des arbres Cambriens en terme arbres
duals de triangulations (voir remarque 22).
Bien que Ψi ne pr´eserve pas les ´el´ementsE-ind´ecomposables, nous v´erifions maintenant
que Ψi pr´eserve le nombre d’´elements E-ind´ecomposables. ´Ecrivons ε = εε avec ε : [i] →
{±} et ε : [n]� [i] → {±}, et soit I = |Indε| et I = |Indε|. On affirme que
— l’application Ψitransforme pr´ecisement I·I les arbres ε-Cambriens E-d´ecomposables
en arbres χi(ε)-Cambriens E-ind´ecomposables. En effet, T est E-d´ecomposable et
Ψi(T) est E-ind´ecomposable si et seulement si T a un arc de i `a i + 1 dont les
sous-arbres source et destination sont respectivement des arbres ε- et ε-Cambriens E-ind´ecomposables.
— l’application Ψitransforme pr´ecis´ement I·I les arbres ε-Cambriens E-ind´ecomposables
en arbres χi(ε)-Cambriens E-d´ecomposables. En effet, supposons que T soit E-
ind´ecomposable et que Ψi(T) soitE-d´ecomposable. Nous pr´etendons que ([i] � [n] � [i])
est la seule coupure s´eparante de Ψi(T). En effet, pour j �= i, i et i + 1 appar-
tiennent tous les deux soit `a [j] soit `a [n] � [j], et ([j] � [n] � [j]) est une coupure selon une arˆete de Ψi(T) si et seulement si c’est une coupe de T. De plus, les arbres
ε- et ε-Cambriens S et S induits par Ψi(T) sur [i] et [n] � [i] sont tous les deux
E-ind´ecomposables. Autrement, une arˆete s´eparante ([j] � [i] � [j]) de S d´efinirait une s´eparation selon une arˆete ([j]� [n] � [j]) de Ψi(T). De la mˆeme fa¸con, si S et S
sont tous les deux E-ind´ecomposables, alors T l’est aussi.
On conclut donc que Ψi pr´eserve globalement le nombre d’arbresE-ind´ecomposables.
Preuve de la proposition 100. En partant d’une signature enti`erement n´egative (−)n, on
peut atteindre n’importe quelle signature ε par des transformations χ0, . . . , χn−1 : on peut
faire apparaˆıtre un signe positif sur le nœud 1 (en utilisant l’application χ0) et en d´epla¸cant
ces signes positifs jusqu’`a leur position finale dans ε (en utilisant les applications χi). Plus
pr´ecisement, si on note p1 < · · · < pP les positions des signes positifs de ε, alors ε =
� �
j∈[P ]χpj ◦ χpj−1 ◦ · · · ◦ χp1 ◦ χ0
��
(−)n�. Le r´esultat d´ecoule donc du lemme 102.
Proposition 103. L’alg`ebre Cambrienne Camb est libre.
D´emonstration. Comme la fonction g´en´eratrice B(u) des nombres de Catalan v´erifie l’´equa- tion fonctionnelle B(u) = 1 + uB(u)2, on obtient par substitution u = 2t que
1 1−�n≥12nC n−1tn =� n≥0 2nCntn.
Chapitre 6
L’alg`ebre de Hopf
Baxter-Cambrienne
On consid`ere maintenant les arbres Cambriens jumeaux et l’alg`ebre Baxter-Cambrienne qui leur est associ´ee. Ces objets fournissent une g´en´eralisation naturelle au travail de S. Law et N. Reading sur les quadrangulations [LR12] et de S. Giraudo sur les arbres binaires ju- meaux [Gir12]. Les nombres d’´el´ements des bases de ces alg`ebres sont les nombres de Bax- ter. Dans le paragraphe 6.1.5, nous fournissons des r´ef´erences pour les diff´erentes familles d’objets li´ees aux nombres de Baxter et leurs correspondances bijectives, et nous discutons de l’´equivalent Cambrien de ces nombres. Les d´efinitions et les propri´et´es combinatoires des arbres Cambriens jumeaux sont donn´ees dans ce paragraphe et les aspects alg´ebriques sont trait´es dans le paragraphe suivant.