Propri´et´es de la commande multi-capteurs

Dans cette section nous exposons les principales propri´et´es de la loi de commande (3.29) avec la matrice de pond´eration d´efinie en Section3.2.1.1. Tout d’abord, la continuit´e et la stabilit´e g´en´erale sont ´etudi´ees. Nous nous int´eressons ensuite `a l’influence des poids dans la commande.

3.2.2.1 Continuit´e

En Section3.1.6nous avons rappel´e les conditions de continuit´e des tˆaches `a dimension variable. La formulation de la matrice de pond´eration est continue d’apr`es (3.23) et (3.27). En faisant l’hypoth`ese que les capteurs fournissent des mesures continues, HJs et He sont

donc continus.

La pseudo-inverse est continue d`es que HJs est de rang plein. En particulier cela

suppose qu’au moins n poids soient activ´es `a chaque instant car Js ∈ Rm×n. Dans ce

m´emoire nous faisons ´egalement cette hypoth`ese, qui est v´erifi´ee sur les applications de notre formalisme. Cette hypoth`ese est relativement naturelle en fusion de capteurs, car le nombre d’informations capteur est facilement ´elev´e notamment en utilisant la vision. Toutefois dans le cas g´en´eral, la pseudo-inverse continue propos´ee dans [Mansard 09c] offrirait une solution ad´equate.

3.2.2.2 Stabilit´e

Le formalisme des tˆaches `a dimension variable n´eglige classiquement la variation de la matrice de pond´eration H. Les hypoth`eses sont qu’elle varie lentement [Comport 06] ou qu’elle est nulle `a la pose d´esir´ee, comme dans l’asservissement visuel qualitatif

[Remazeilles 06] ou l’asservissement sur une r´egion [Cheah 07]. Le fait d’int´egrer H `a la matrice de combinaison comme en (3.30) ram`ene l’´etude de stabilit´e `a la stabilit´e g´en´erale des fonctions de tˆache [Chaumette 06]. En effet dans ce cas, on d´efinit la fonction de tˆache par ec= Ce et sa variation s’exprime par :

˙ec = C ˙e + ˙Ce = (CJs+ O) ˙q

= −λ(CJs+ O)ec (3.42)

o`u O ∈ Rn×n = 0 quand ec = 0 [Malis 04b]. Avec la matrice de combinaison d´efinie en

(3.30), une telle loi est localement asymptoticallement stable (LAS) dans un voisinage de ec = 0 si [Isidori 95] :

CJs= (HbJs)+HJs> 0 (3.43)

Le syst`eme est donc LAS d`es que HJs et H bJs sont de rang plein et que le jacobien Js est

suffisamment bien estim´e.

Dans le cas o`u m > n (avec m = dim(s) et n = dim(q)), des minima locaux peuvent exister. Ils correspondent aux configurations o`u H2_{(s − s}∗_{) ∈ Ker bJ}⊤

s. En effet, dans ce cas

on a : ˙q = −λ(HbJs)+e = −λ(bJ ⊤ sH2bJs)−1bJ ⊤ sH2(s − s∗) (3.44)

(bJ⊤_sH2bJs) ´etant de rang plein par hypoth`ese, ˙q = 0 est ´equivalent `a bJ ⊤

sH2(s − s∗) = 0.

Certaines approches permettent de d´eterminer analytiquement les minima locaux potentiels : ainsi dans [Schramm 05] les informations visuelles utilis´ees sont les coordonn´ees d’au moins 3 points dans le rep`ere cam´era. Le syst`eme est donc redondant, mais il est prouv´e qu’aucun minimum local attractif n’existe. Toutefois dans le cas g´en´eral il est tr`es difficile de d´eterminer les configurations 3D qui correspondent `a un minimum local attractif. Nous proposons en Section3.2.4.1une m´ethode pour d´etecter et s’´echapper de ces configurations. Dans la section suivante, nous consid´erons le cas de poids nuls.

3.2.2.3 Comportement en cas de poids nuls

Nous rappelons ici une propri´et´e des tˆaches `a dimension variable lorsque certains poids sont nuls. Dans la pond´eration g´en´erique expos´ee en Section3.2.1.1, certaines informations capteur ont un poids nul si elles correspondent `a des contraintes se trouvant dans la zone de confiance (3.27). On d´ecompose le vecteur des informations capteur en s = (s1, s0) o`u

les informations s0 ont un poids nul H0= 0. La commande (3.29) s’´ecrit alors :

˙q= −λ " H1bJ1 H0bJ0 #+ H1e1 H0e0  = −λ " H1bJ1 0 #+ H1e1 0  = −λh(H1bJ1)+ 0 i H1e1 0  = −λ(H1bJ1)+H1e1 (3.45)

Comme il se doit, la commande est ainsi ´equivalente `a une commande construite sur les seules informations activ´ees.

Le sch´ema utilis´e est notamment diff´erent de l’approche de [Hafez 07b] o`u la loi de commande s’´ecrit : ˙q = −λbJs + Hes (3.46) = −λ " bJ1 bJ0 #+_ H1e1 0  (3.47) Dans ce cas les composantes annul´ees par pond´eration continuent d’ˆetre prises en compte dans la commande. La consigne correspondante est exactement la mˆeme que si la tˆache e0

´etait r´ealis´ee (e0 = 0). Le ph´enom`ene induit est un comportement conservatif qui tend `a

ralentir le syst`eme quand des poids sont annul´es. Ce comportement n’est pas pr´esent avec la loi de commande que nous consid´erons.

Nous nous int´eressons maintenant au probl`eme inverse, c’est-`a-dire la pond´eration minimale assurant le respect des contraintes.

3.2.2.4 Respect d’une contrainte par un poids minimal

Le probl`eme usuel des tˆaches contraintes est de d´eterminer une loi de commande perturbant la tˆache le moins possible tout en respectant les contraintes du syst`eme. Dans notre cas, l’objectif est de d´efinir le poids minimum pour qu’une contrainte donn´ee soir respect´ee. Une fonction de Lyapunov associ´ee `a l’erreur pond´er´ee eH = He est

V (eH) = 1₂e⊤HeH. Dans le domaine de stabilit´e locale, la d´eriv´ee de V v´erifie :

˙ V = ∂V ∂e ˙e = m X i=1 h2iei˙ei< 0 (3.48)

Nous consid´erons l’information capteur d’indice i ∈ [1, m] dont la valeur est dans l’intervalle autoris´e si ∈ Il. L’erreur correspondante ei d´ecroˆıt si et seulement si ei˙ei < 0. D’apr`es

(3.48), cette condition revient `a :

h2_i > − 1 ei˙ei

X

j6=i

h2_jej˙ej (3.49)

Ainsi il existe un poids minimal assurant la d´ecroissance de l’erreur de l’information correspondante. Si la valeur d´esir´ee s∗

i est dans Il, c’est une condition suffisante pour

que la contrainte soit respect´ee.

Comme r´ecemment relev´e dans [Keith 11], cette existence d’un poids suffisant est `a mettre en correspondance avec les travaux de [Van Loan 85] dans le cadre des m´ethodes d’optimisation. En effet, il y est prouv´e que faire tendre un poids vers l’infini ram`ene le probl`eme `a une minimisation sous contrainte. Dans notre cas, cette contrainte est l’´egalit´e ˙si = −λ(si− s∗i) : la v´erifier assure naturellement que si converge vers s∗i, et donc que la

contrainte si ∈ Il est respect´ee. Si s∗i est strictement `a l’int´erieur de l’intervalle Il alors

une pond´eration finie suffit `a respecter cette contrainte.

Quand plusieurs contraintes sont consid´er´ees simultan´ement, les poids minimaux sont difficiles `a d´eterminer analytiquement. Dans (3.49) la valeur minimale de hi est fonction

des autres poids (hj)j6=i. C’est pourquoi la fonction de pond´eration (3.27) propos´ee pour

les contraintes est autoris´ee `a croˆıtre ind´efiniement. En pratique, comme nous le verrons au chapitre 4 les poids observ´es sont relativement faibles mˆeme en cas de contraintes multiples. La concurrence entre les diff´erentes contraintes apparaˆıt toutefois : augmenter le nombre de contraintes a naturellement tendance `a augmenter les valeurs des poids permettant de les respecter.

Dans la prochaine section, nous consid´erons l’´evitement de but´ees articulaires. Pour cette contrainte particuli`ere, il est possible de d´eterminer anlytiquement des poids opti- maux.