Propri´ et´ es des limites

Propri´et´e : Soient f et g deux fonctions d´efinies sur un intervalle I de R et admettant des limites finies l1 et l2 en un point x0∈ I . Alors:

1 limx →x0(f (x ) + g (x )) = limx →x0f (x ) + limx →x0g (x ) = l1+ l2

2 limx →x0(αf (x )) = α limx →x0f (x ) = αl1, pour tout α ∈ R

3 lim_{x →x0}f (x ) × g (x ) = lim_{x →x0}f (x ) × lim_{x →x0}g (x ) = l₁× l₂. Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie sur I (sauf peut ˆetre au point x₀ ∈ I ) et admettant une limite finie l en x₀. Si f ≥ 0 alors.

limx →x0 √ f (x ) = l Exemple : On a limx →3^x 2−9 x −3 = limx →3(x + 3) = 6. Donc limx →3 q x2−9 x −3 =^√6. 13/45

Les Suites Limites des fonctions num´eriques de la variable r´eelle Fonctions Continues Fonctions d´erivables Fonctions hyperboliques D´eveloppements limit´es Etude de courbes param´etr´ees

Propri´et´es des limites

Propri´et´e : Soient f et g deux fonctions d´efinies sur un intervalle I de R et admettant des limites finies l1 et l2 en un point x0∈ I . Alors:

1 limx →x0(f (x ) + g (x )) = limx →x0f (x ) + limx →x0g (x ) = l1+ l2

2 limx →x0(αf (x )) = α limx →x0f (x ) = αl1, pour tout α ∈ R

3 lim_{x →x0}f (x ) × g (x ) = lim_{x →x0}f (x ) × lim_{x →x0}g (x ) = l₁× l₂. Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie sur I (sauf peut ˆetre au point x₀ ∈ I ) et admettant une limite finie l en x₀. Si f ≥ 0 alors.

limx →x0 √ f (x ) = l Exemple : On a limx →3^x 2−9 x −3 = limx →3(x + 3) = 6. Donc limx →3 q x2−9 x −3 =^√6.

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Propri´et´es des limites

Propri´et´e : Soient f et g deux fonctions d´efinies sur un intervalle I de R et admettant des limites finies l1 et l2 en un point x0∈ I . Alors:

1 limx →x0(f (x ) + g (x )) = limx →x0f (x ) + limx →x0g (x ) = l1+ l2

2 limx →x0(αf (x )) = α limx →x0f (x ) = αl1, pour tout α ∈ R

3 lim_{x →x0}f (x ) × g (x ) = lim_{x →x0}f (x ) × lim_{x →x0}g (x ) = l₁× l₂.

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie sur I (sauf peut ˆetre au point x₀ ∈ I ) et admettant une limite finie l en x₀. Si f ≥ 0 alors.

limx →x0 √ f (x ) = l Exemple : On a limx →3^x 2−9 x −3 = limx →3(x + 3) = 6. Donc limx →3 q x2−9 x −3 =^√6. 13/45

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Propri´et´es des limites

Propri´et´e : Soient f et g deux fonctions d´efinies sur un intervalle I de R et admettant des limites finies l1 et l2 en un point x0∈ I . Alors:

1 limx →x0(f (x ) + g (x )) = limx →x0f (x ) + limx →x0g (x ) = l1+ l2

2 limx →x0(αf (x )) = α limx →x0f (x ) = αl1, pour tout α ∈ R

3 lim_{x →x0}f (x ) × g (x ) = lim_{x →x0}f (x ) × lim_{x →x0}g (x ) = l₁× l₂. Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie sur I (sauf peut ˆetre au point x₀ ∈ I ) et admettant une limite finie l en x₀. Si f ≥ 0 alors.

limx →x0 √ f (x ) = l Exemple : On a limx →3^x 2−9 x −3 = limx →3(x + 3) = 6. Donc limx →3 q x2−9 x −3 =^√6.

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Propri´et´es des limites

Propri´et´e : Soient f et g deux fonctions d´efinies sur un intervalle I de R et admettant des limites finies l1 et l2 en un point x0∈ I . Alors:

1 limx →x0(f (x ) + g (x )) = limx →x0f (x ) + limx →x0g (x ) = l1+ l2

2 limx →x0(αf (x )) = α limx →x0f (x ) = αl1, pour tout α ∈ R

3 lim_{x →x0}f (x ) × g (x ) = lim_{x →x0}f (x ) × lim_{x →x0}g (x ) = l₁× l₂. Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie sur I (sauf peut ˆetre au point x₀ ∈ I ) et admettant une limite finie l en x₀. Si f ≥ 0 alors.

limx →x0 √ f (x ) = l Exemple : On a limx →3^x 2−9 x −3 = limx →3(x + 3) = 6. Donc limx →3 q x2−9 x −3 =^√6. 13/45

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Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R. Soient a ∈ I et l ∈ R. Alors: limx →af (x ) = l si et seulement si pour toute suite (x_n)_n dans I qui converge vers a, la suite (f (x_n))_n converge vers l .

Exercice: Les limites suivantes existent-elles? Si oui, les d´eterminer. a) lim x →0 √ 1 + x −^√1 − x x ^{, b) lim}x →0 x²+ |x | x

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Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R. Soient a ∈ I et l ∈ R. Alors: limx →af (x ) = l si et seulement si pour toute suite (x_n)_n dans I qui converge vers a, la suite (f (x_n))_n converge vers l .

Exercice: Les limites suivantes existent-elles? Si oui, les d´eterminer. a) lim x →0 √ 1 + x −^√1 − x x ^{, b) lim}x →0 x²+ |x | x 14/45

Les Suites Limites des fonctions num´eriques de la variable r´eelle Fonctions Continues Fonctions d´erivables Fonctions hyperboliques D´eveloppements limit´es Etude de courbes param´etr´ees (a) On a lim x →0 √ 1 + x −^√1 − x x ^{= lim}x →0 (^√1 + x −^√1 − x )(^√1 + x +^√1 − x ) x (^√1 + x +^√1 − x ) = lim x →0 (1 + x ) − (1 − x ) x (^√1 + x +^√1 − x ) = lim x →0 2 √ 1 + x +^√1 − x = 1

(b) Nous avons, pour x 6= 0, x2+ |x |

x ^{= x +}

|x|

x ^{= x + signe(x )}

o`u signe(x) vaut 1 quand x est positif ou nul, et -1 quand x est

strictement n´egatif. La limite `a droite en 0 de l’expression obtenue vaut 1, et la limite `a gauche vaut -1, donc l’expression de d´epart n’admet pas de limite en 0.

Les Suites Limites des fonctions num´eriques de la variable r´eelle Fonctions Continues Fonctions d´erivables Fonctions hyperboliques D´eveloppements limit´es Etude de courbes param´etr´ees (a) On a lim x →0 √ 1 + x −^√1 − x x ^{= lim}x →0 (^√1 + x −^√1 − x )(^√1 + x +^√1 − x ) x (^√1 + x +^√1 − x ) = lim x →0 (1 + x ) − (1 − x ) x (^√1 + x +^√1 − x ) = lim x →0 2 √ 1 + x +^√1 − x = 1 (b) Nous avons, pour x 6= 0,

x2+ |x |

x ^{= x +}

|x|

x ^{= x + signe(x )}

o`u signe(x) vaut 1 quand x est positif ou nul, et -1 quand x est

strictement n´egatif. La limite `a droite en 0 de l’expression obtenue vaut 1, et la limite `a gauche vaut -1, donc l’expression de d´epart n’admet pas de limite en 0.

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D´efinition : Soient f une fonction num´erique d´efinie sur un intervalle (ouvert) I et x₀ ∈ I . f est continue en x₀ si

lim x→x0

f(x) = f(x₀). C’est `a dire:

∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − x₀| < η ⇒ |f (x) − f (x₀)| < ε].

D´efinition : Soit f une fonction num´erique sur un intervalle I de R. f estuniform´ement continuesur I si:

∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, x0∈ I [0 < |x − x0| < η ⇒ |f (x) − f (x0)| < ε].

Exemple: Soit f une fonctionk-lipschitzienne sur I c’est-`a-dire que

∀x, x⁰∈ I |f (x) − f (x⁰)| < k|x − x⁰|, o`u k ∈ R^∗+

Alors f est uniform´ement continue. En effet pour ε > 0 on prendre

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D´efinition : Soient f une fonction num´erique d´efinie sur un intervalle (ouvert) I et x₀ ∈ I . f est continue en x₀ si

lim x→x0

f(x) = f(x₀). C’est `a dire:

∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − x₀| < η ⇒ |f (x) − f (x₀)| < ε].

D´efinition : Soit f une fonction num´erique sur un intervalle I de R. f estuniform´ement continuesur I si:

∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, x⁰∈ I [0 < |x − x⁰| < η ⇒ |f (x) − f (x⁰)| < ε].

Exemple: Soit f une fonctionk-lipschitzienne sur I c’est-`a-dire que

∀x, x⁰∈ I |f (x) − f (x⁰)| < k|x − x⁰|, o`u k ∈ R^∗+

Alors f est uniform´ement continue. En effet pour ε > 0 on prendre

η = ε/k.

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D´efinition : Soient f une fonction num´erique d´efinie sur un intervalle (ouvert) I et x₀ ∈ I . f est continue en x₀ si

lim x→x0

f(x) = f(x₀). C’est `a dire:

∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − x₀| < η ⇒ |f (x) − f (x₀)| < ε].

D´efinition : Soit f une fonction num´erique sur un intervalle I de R. f estuniform´ement continuesur I si:

∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, x⁰∈ I [0 < |x − x⁰| < η ⇒ |f (x) − f (x⁰)| < ε].

Exemple: Soit f une fonctionk-lipschitziennesur I c’est-`a-dire que

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Proposition : Une fonction uniform´ement continue sur I est

continue sur I.

Remarque : La r´eciproque est fausse.

En effet : Soient I = R et f (x) = x². Cette fonction est continue

sur R. Supposons qui elle est uniform´ement continue.

Pour ε = 1 ∃η > 0 ∀x , x⁰ ∈ I [0 < |x − x⁰| < η ⇒ |f (x) − f (x⁰)| < 1]. Soient x =_η¹ et x⁰ = ¹_η +^η₂. Alors on a |x − x⁰| = |^η 2^{| < η et |f (x) − f (x} 0)| = |x²− x⁰²| = 1 +^η 2 4 ^{> 1.} D’o`u f n’est pas uniform´ement continue.

Th´eor`eme : Toute fonction d´efinie et continue sur un intervalle ferm´e born´e [a,b] et telle que

f(a) × f(b) < 0 Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0.

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Proposition : Une fonction uniform´ement continue sur I est

continue sur I.

Remarque : La r´eciproque est fausse.

En effet : Soient I = R et f (x) = x². Cette fonction est continue

sur R. Supposons qui elle est uniform´ement continue.

Pour ε = 1 ∃η > 0 ∀x , x⁰ ∈ I [0 < |x − x⁰| < η ⇒ |f (x) − f (x⁰)| < 1]. Soient x =_η¹ et x⁰ = ¹_η +^η₂. Alors on a |x − x⁰| = |^η 2^{| < η et |f (x) − f (x} 0)| = |x²− x⁰²| = 1 +^η 2 4 ^{> 1.} D’o`u f n’est pas uniform´ement continue.

Th´eor`eme : Toute fonction d´efinie et continue sur un intervalle ferm´e born´e [a,b] et telle que

f(a) × f(b) < 0 Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0.

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Proposition : Une fonction uniform´ement continue sur I est

continue sur I.

Remarque : La r´eciproque est fausse.

En effet : Soient I = R et f (x) = x². Cette fonction est continue

sur R. Supposons qui elle est uniform´ement continue.

Pour ε = 1 ∃η > 0 ∀x , x⁰ ∈ I [0 < |x − x⁰| < η ⇒ |f (x) − f (x⁰)| < 1]. Soient x =_η¹ et x⁰ = ¹_η +^η₂. Alors on a |x − x⁰| = |^η 2^{| < η et |f (x) − f (x} 0)| = |x²− x⁰²| = 1 + ^η 2 4 ^{> 1.} D’o`u f n’est pas uniform´ement continue.

Th´eor`eme : Toute fonction d´efinie et continue sur un intervalle ferm´e born´e [a,b] et telle que

f(a) × f(b) < 0 Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0.

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Proposition : Une fonction uniform´ement continue sur I est

continue sur I.

Remarque : La r´eciproque est fausse.

En effet : Soient I = R et f (x) = x². Cette fonction est continue

sur R. Supposons qui elle est uniform´ement continue.

Pour ε = 1 ∃η > 0 ∀x , x⁰ ∈ I [0 < |x − x⁰| < η ⇒ |f (x) − f (x⁰)| < 1]. Soient x =_η¹ et x⁰ = ¹_η +^η₂. Alors on a |x − x⁰| = |^η 2^{| < η et |f (x) − f (x} 0)| = |x²− x⁰²| = 1 + ^η 2 4 ^{> 1.} D’o`u f n’est pas uniform´ement continue.

Th´eor`eme : Toute fonction d´efinie et continue sur un intervalle ferm´e born´e [a,b] et telle que

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration :

Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) =

f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

Les Suites Limites des fonctions num´eriques de la variable r´eelle Fonctions Continues Fonctions d´erivables Fonctions hyperboliques D´eveloppements limit´es Etude de courbes param´etr´ees

Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c

< 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0

g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0

g (x ) =

f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

Les Suites Limites des fonctions num´eriques de la variable r´eelle Fonctions Continues Fonctions d´erivables Fonctions hyperboliques D´eveloppements limit´es Etude de courbes param´etr´ees

Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c

> 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

Les Suites Limites des fonctions num´eriques de la variable r´eelle Fonctions Continues Fonctions d´erivables Fonctions hyperboliques D´eveloppements limit´es Etude de courbes param´etr´ees

Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x ) = f (x ) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0 Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,

il existe x₀∈]x₁, x₂[ tel que: g (x₀) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x ) = f (x ) − c > 0

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Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1< x2 deux ´el´ements de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1) et (x2), il existe x0 ∈]x₁, x2[ tel que f (x₀) = c.

D´emonstration : Soit, par exemple f (x1) < f (x2).

Soit c ∈]f (x1), f (x2)[. Consid´erons la fonction g d´efinie sur l’intervalle ferm´e born´e [x₁, x₂] par:

g(x) = f(x) − c

on a

g (x1) = f (x1) − c < 0 g (x₂) = f (x₂) − c > 0

Donc, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent,il existe x<sub>0</sub>∈]x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>[ tel que: g (x<sub>0</sub>) = 0. C’est `a dire: ∃x₀∈]x₁, x₂[: f (x₀) = c.

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Corollaire : L’image d’un intervalle de R, par une fonction continue est un intervalle.

Th´eor`eme du point fixe.

Th´eor`eme : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Alors, il existe au moins un point x₀ ∈ [a, b] tel que f (x₀) = x₀

Preuve : Soit la fonction d´efinie sur [a, b] (et `a valeurs dans R) par:

g(x) = f(x) − x

g est continue sur [a, b] et on a : g (a) ≥ 0 et g (b) ≤ 0

car f est `a valeurs dans l’intervalle [a, b]. Donc il existe au moins un point x0 ∈ [a, b] tel que g (x<sub>0</sub>) = 0, c’est `a dire f (x0) = x0.

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Corollaire : L’image d’un intervalle de R, par une fonction continue est un intervalle.

Th´eor`eme du point fixe.

Th´eor`eme : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Alors, il existe au moins un point x₀ ∈ [a, b] tel que f (x₀) = x₀

Preuve : Soit la fonction d´efinie sur [a, b] (et `a valeurs dans R) par:

g(x) = f(x) − x

g est continue sur [a, b] et on a : g (a) ≥ 0 et g (b) ≤ 0

car f est `a valeurs dans l’intervalle [a, b]. Donc il existe au moins un point x0 ∈ [a, b] tel que g (x<sub>0</sub>) = 0, c’est `a dire f (x0) = x0.

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Corollaire : L’image d’un intervalle de R, par une fonction continue est un intervalle.

Th´eor`eme du point fixe.

Th´eor`eme : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Alors, il existe au moins un point x₀ ∈ [a, b] tel que f (x₀) = x₀

Preuve : Soit la fonction d´efinie sur [a, b] (et `a valeurs dans R) par:

g(x) = f(x) − x

g est continue sur [a, b] et on a : g (a) ≥ 0 et g (b) ≤ 0

car f est `a valeurs dans l’intervalle [a, b]. Donc il existe au moins un point x<sub>0</sub> ∈ [a, b] tel que g (x<sub>0</sub>) = 0, c’est `a dire f (x₀) = x₀.

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D´efinition :Soit f : I → I . f est dite contractante s’il existe une constante k ∈]0, 1[ telle que:

∀x, y ∈ I , |f (x) − f (y )| < k|x − y |

Remarque : Toute fonction contractante est Lipschitzienne donc

uniform´ement continue, donc continue.

Contractante ⇒ Lipschitzienne ⇒ Uniform´ement continue ⇒

Continue.

Th´eor`eme : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction contractante, alors f admet un point fixe unique.

D´emonstration : Unicit´e: f ´etant continue, si l est une limite alors elle doit v´erifier: f (l ) = l Supposons qu’il existe l1 et l2 deux r´eels v´erifiant f (l₁) = l₁ et f (l₂) = l₂. On aura alors:

|l₁− l₂| = |f (l₁) − f (l2)| ≤ k|l1− l₂|

Ceci est en contradiction avec le fait que k ∈]0, 1[. Donc l₁ = l₂.

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D´efinition :Soit f : I → I . f est dite contractante s’il existe une constante k ∈]0, 1[ telle que:

∀x, y ∈ I , |f (x) − f (y )| < k|x − y |

Remarque : Toute fonction contractante est Lipschitzienne donc

uniform´ement continue, donc continue.

Contractante ⇒ Lipschitzienne ⇒ Uniform´ement continue ⇒

Continue.

Th´eor`eme : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction contractante, alors f admet un point fixe unique.

D´emonstration : Unicit´e: f ´etant continue, si l est une limite alors elle doit v´erifier: f (l ) = l Supposons qu’il existe l1 et l2 deux r´eels v´erifiant f (l₁) = l₁ et f (l₂) = l₂. On aura alors:

|l₁− l₂| = |f (l₁) − f (l2)| ≤ k|l1− l₂|

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D´efinition :Soit f : I → I . f est dite contractante s’il existe une constante k ∈]0, 1[ telle que:

∀x, y ∈ I , |f (x) − f (y )| < k|x − y |

Remarque : Toute fonction contractante est Lipschitzienne donc

uniform´ement continue, donc continue.

Contractante ⇒ Lipschitzienne ⇒ Uniform´ement continue ⇒

Continue.

Th´eor`eme : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction contractante, alors f admet un point fixe unique.

D´emonstration : Unicit´e: f ´etant continue, si l est une limite alors elle doit v´erifier: f (l ) = l Supposons qu’il existe l1 et l2 deux r´eels v´erifiant f (l₁) = l₁ et f (l₂) = l₂. On aura alors:

|l₁− l₂| = |f (l₁) − f (l2)| ≤ k|l1− l₂|

Ceci est en contradiction avec le fait que k ∈]0, 1[. Donc l₁ = l₂.

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Dans le document Cours d'Analyse 1 Prof : Rachid Bahloul (Page 32-84)