causal est perpendiculaire à une extrémité du lien. Il indique la direction dans laquelle l’effort e est dirigé. Par exemple, le trait de causalité dans la Fig.2.1 (a) montre que e est l’entrée indépendante de B et f est la sortie dépendant de B. La Fig.2.1 (a) peut être convertie en un schéma de principe représenté sur la Fig.
2.1 (b). Dans le schéma-bloc, les deux sous-systèmes sont reliés par deux ports équivalents à un lien à la Fig. 2.1 (a). Si un trait causal est ajouté de l’autre côté de la liaison, la dépendance est inversée, i. e., f est une entrée indépendante de
B et e est une sortie.
Figure2.1 – (a) Bond graph et (b) schéma équivalent
Seuls les ports ayant les mêmes types d’efforts et flux peuvent être connectés les uns aux autres par une liaison. Pour un système physique, deux variables de puissance sont données, par exemple l’impulsion p(t) = ∫ e(t)dt et le déplace-
ment q(t) = ∫ f (t)dt. Certaines variables de puissance et d’énergie de différents
domaines physiques sont données dans le Tableau 2.1.
Table 2.1 – Variables d’effort et de flux dans certains domaines physiques Domaine Electrique Mécanique Hydraulique
Flux f Courant (i) Vitesse (v) Débit Vitesse angulaire (ω) volumique φ Effort e Tension (V ) Force (F ) Pression (P )
Couple (τ )
Déplacement Charge (q) Déplacement (x) Volume (V )
q =∫ f dt Angle (θ)
Moment Flux Moment (p) Moment
p = ∫ edt magnétique (λ) Moment angulaire (h) de pression (pp)
2.2
Propriétés structurelles
Un modèle bond graph causal est un modèle pour lequel la causalité a été appliquée, en employant par exemple la procédure définie dans [Karnopp et al.
(1975)] appelé SCAP. La causalité permet de vérifier les cohérences des éléments physiques d’un système, ou simplement leur modélisation. Elle peut être aussi ex- ploitée pour retrouver graphiquement des propriétés des modèles mathématiques associés, comme la propriété de commandabilité du modèle d’état. Ainsi le mod- èle bond graph en causalité intégrale, noté BGI, permet d’étudier la structure à l’infini du modèle, celui en causalité dérivée, noté BGD, permet d’étudier les propriétés de commandabilité/observabilité. La plupart des résultats peuvent être trouvés dans les nombreux travaux sur l’approche bond graph. Nous ne proposons que quelques rappels dans ce rapport.
Commandabilité structurelle
Un modèle bond graph LTI est commandable si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées Sueur & Dauphin-Tanguy(1991) :
1. Il y a un chemin causal entre tous les éléments dynamiques I et C en causalité intégrale et une sources d’entrée M se ou M sf
2. Tous les éléments dynamiques admettent une causalité dérivée sur le modèle bond graph BGD (avec une possible dualisation des sources d’entrée). Observabilité structurelle
La propriété d’observabilité peut être étudiée de manière similaire, mais avec des capteurs de sortie, c’est à dire sur le modèle bond graph BGI, il existe un chemin causal entre tous les éléments dynamiques en causalité intégrale et un détecteur De ou Df .
Structure à l’infini Le nombre de zéros à l’infini d’un système est donné par le nombre de chemins entrée - sortie disjoints présents dans le modèle bond graph BGI.
La longueur du chemin causal entre une source d’entrée et un capteur de sortie dans le modèle bond graph est égal au nombre d’éléments dynamiques rencontrés dans ce chemin. Deux chemins sont différents si ils n’ont pas d’élément dynamique en commun. L’ordre du zéro à l’infini pour le sous-système Σ(ci, A, B) est égal
à la longueur du chemin causal le plus court entre le ime capteur de sortie y i et
l’ensemble des sources d’entrée. La structure à l’infini globale est défini avec le concept de chemins causaux différents. Les ordres des zéros à l’infini d’un modèle bond graph linéaire inversible sont calculés selon l’équation (2.2), où Lk est la
somme minimale des longueurs de k chemins causaux entrées - sorties disjoints. Dans l’approche graphique, les entiers sont calculés dans l’ordre croissant.
2.3 Méthode d’OEI alternative { n′1 = L1 n′k= Lk− Lk−1 (2.2) Structure finie
La structure finie représente les propriétés internes des systèmes linéaires : zéros invariants, zéros de transmissions, pôles commandables (respectivement non-commandables), etc. L’importance des pôles du système est bien connue dans le domaine de l’automatique. Les zéros systèmes sont également importants. Les zéros invariants sont des pôles du système inverse.
Zéros invariants
Un modèle inverse peut être construit pour un modèle bond graph avec le con- cept de bi-causalité (BGB), très utile pour la détermination des zéros invariants [Yang et al. (2010)].
Le nombre de zéros invariants et le nombre de zéros invariants nuls sont déter- minés par la structure à l’infini d’un modèle bond graph en causalité intégrale BGI et en causalité dérivée BDG respectivement, Bertrand et al. (1997). Le nombre de zéros invariants associés à un modèle bond graph commandable, observable, inversible et carré est égal à n−∑n′i.
Zéros invariants nuls
Le nombre de zéros invariants nuls sur le modèle bond graph est égal à la longueur du plus court chemin causal de source d’entrée (M se, M sf ) vers le détecteur de sortie (De, Df ) sur le modèle bond graph BGD.
2.3
Méthode d’OEI alternative
Dans le chapitre précédent, nous avons présenté plusieurs méthodes d’étude d’observateurs à entrées inconnues (PI, approche algébrique, etc.). Dans cette section, nous présentons une nouvelle méthode de calcul de l’observateur, qui est facile à appliquer avec l’approche bond graph.
La classe des systèmes linéaires stationnaires est décrite par les équations de l’espace d’état (2.1).
Si une approche physique est proposée, certaines hypothèses sont possibles pour le modèle d’espace d’état déduit par exemple d’une représentation bond graph. Le modèle Σ(H, A, F ) est choisi comme modèle monovariable dans ce chapitre.