Propriétés importantes

n log₂n

lnn

Figure1.12 – Courbes des fonctionslnn,log₂n, et√

n. Bien que toutes crois-santes, les fonctions logarithmiques ont un taux de croissance bien plus faible que√

n:1/nvs.1/

√ 2n.

lente dès quen>b. Pour quex= log_bnaugmente de 1 par exemple, il faut multipliern parb, carb^x+1=b·n. On y reviendra.

Sauf mention contraire, on supposera toujours que b >1 (cf. la définition 1.1), car l’équation n= b^x n’a évidemment pas en général de solution pourx lorsque b = 1. Et donc log₁nn’est pas défini.

1.6.1 Propriétés importantes

La propriété vraiment importante qu’on démontrera page39et qu’il faut retenir est : Proposition 1.1 Le nombre

log_bn est le nombre de chiffres dans l’écriture de n−1 en base b. C’est aussi le plus petit nombre de fois qu’il est nécessaire de divisernparb pour obtenir un ou moins.

Comme expliqué précédemment, il faut queb >1.

Donc le logarithme denest un peu la « longueur » den. Par exemple :

• Pourb= 10 etn= 10³. Alorsn−1 = 999 s’écrit sur3chiffres décimaux.

• Pourb= 2 etn= 2⁴. Alorsn−1 = 15 = 1111deuxs’écrit sur4chiffres binaires.

• Pourb= 2 etn= 13. Alorsn−1 = 12 = 1100_deuxs’écrit sur

log₂(12)

=d3.5849...e= 4chiffres.

Comme on peut facilement « éplucher » les chiffres d’un nombrenécrit en baseben répétant l’opérationn7→ bn/bc, grâce à l’instructionn /= bqui enCeffectue la division euclidienne, on déduit de la première partie de la proposition1.1le code suivant pour calculer

log_bn, soit le nombre de chiffres pour écriren−1 en baseb:

38 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

[Exercice. Modifiez le code précédant permettant d’afficher les chiffres de n−1 écrit en baseb.]

Attention ! Contrairement à ce que semble affirmer la proposition1.1, une boucle en langageCcomme

while(n>1) n /= b;

n’est pas répétéek=

log_bn

fois avant de sortir avecn61. Par exemple, pourn= 6 etb = 2, le test(n>1) n’est vrai que deux fois. La raison est que cette boucle n’effectue pas l’opérationn7→n/b^k, mais plutôt

n 7→ b. . .bbn/bc/bc · · ·/bc

| {z }

kfois

.

Évidemment, quandnest une puissance entière deb, c’est bien la même chose. On peut montrer⁵⁴que, malgré les nombreuses parties entières, le résultat n’est pas très loin de n/b^k. C’est en fait égal à 1 près.

Pour démontrer la proposition 1.1, on va se servir de la propriété qui est elle aussi très importante à connaître car elle revient (très) souvent : la somme desn+ 1 premiers termes d’une suite géométrique (qⁱ)_i∈Nde raison⁵⁵q,1 :

s’obtient trivialement depuis d’équation (1.5) en factorisant par le premier terme «q^m».

On retient dans cette dernière formule que «q^m» est le premier terme et «n−m+ 1 » le nombre de termes de la somme. Notons d’ailleurs que la formule (1.5) est triviale⁵⁶ à démontrer par récurrence, le problème étant de se soutenir de la formule à démontrer.

54. Cf. le fait 6.1 du chapitre 6 du cours d’Algorithmique distribuée.

55. La formule ne marche pas siq= 1. Bien évidemment, dans ce casPn

i=01ⁱ=n+ 1.

56. C’est lié au fait que [(qⁿ⁺¹−1)/(q−1)] +qⁿ⁺¹= (qⁿ⁺¹−1 +q·qⁿ⁺¹−qⁿ⁺¹)/(q−1) = (qⁿ⁺²−1)/(q−1).

1.6. ALGORITHME ET LOGARITHME 39 Par exemple 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·+ 2^h= (2^h+1−1)/(2−1) = 2^h+1−1 = 111. . .1_deuxdonne le nombre de sommets dans un arbre binaire complet de hauteurh. On a aussi 1+10+100+

·+ 10^h= (10^h+1−1)/9 = 999. . .9_dix/9 = 111. . .1_dix. Notons que dans ces deux exemples, le résultat est un nombre qui s’écrit avechchiffres identiques qui sont des uns.

Preuve de la proposition1.1. Le nombrek de divisions parb à partir de n nécessaire pour avoir 1 ou moins est le plus petit entierktel quen/b^k 61. Par la croissance de la fonction logarithme,

n

b^k 6 1 ⇔ n 6 b^k ⇔ log_bn 6 k . Le plus petit entierkvérifiantk>log_bnest précisémentk=

log_bn

qui est donc l’entier recherché.

Montrons maintenant que

log_bnest aussi le nombre de chiffres pour écriren−1 en baseb. On va d’abord montrer que pour tout entierk>1, le nombreb^k−1 s’écrit aveck chiffres⁵⁷. D’après la formule (1.5) avecq=betn=k−1, on a :

b^k−1 = (b−1)·(1 +b+b²+· · ·+b^k−1)

= b−1 b^k−1+ b−1 b^k−2+· · ·+ b−1 b²+ b−1 b+ b−1

Cette dernière somme comprendktermes de la forme (b−1)·bⁱ qui représentent pré-cisément les k chiffres de l’entier b^k −1 écrit en base b. Chacun de ces chiffres vaut d’ailleursb−1 ce qui montre que b^k−1 est le plus grand nombre qui s’écrit en baseb aveckchiffres. Il suit queb^k s’écrit avec k+ 1 chiffres.

Soitkl’entier tel queb^k−1< n6b^k. On vient de voir queb^k−1 s’écrit aveckchiffres.

Donc n−1 6 b^k −1 s’écrit avec au plus k chiffres. Mais on a vu aussi que b^k s’écrit avec k+ 1 chiffres. Donc n−1 > b^k−1 s’écrit avec au moins (k−1) + 1 = k chiffres.

Il suit que n−1 s’écrit avec exactement k chiffres. Par la croissance du logarithme, b^k−1 < n6b^k ⇔k−1<log_bn6k, ce qui revient à dire quek=

log_bn

. Cela termine la

preuve de la proposition1.1. 2

Notons que la proposition 1.1 est encore une autre façon de se convaincre que la fonction log_bncroît très lentement. En effet, log₁₀(100) = 2 et log₁₀(1 000 000 000) = 9 seulement.

La fonction logarithme possède d’autres propriétés importantes découlant de la dé-finition1.1, comme celles-ci :

57. Un exemple qui ne démontre rien : 10³−1 = 999 s’écrit sur 3 chiffres décimaux.

40 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Proposition 1.2

• log_bn= (log_an)/(log_ab) pour toute basea >1.

• log_b(x·y) = log_bx+ log_by pour toutx, y >0.

• log_b(n^α) =αlog_bn pour toutα>0.

• log_bn n^α pour toute constanteα >0.

Pour le premier point. Calculons le nombre b^logan/logab en remplaçant la première occurrence debparb=a^logab, par définition de log_ab. Il vient :

b^logan/logab =

a^logablog_an/log_ab

= a^{(logab)(logan)/logab} = a^logan = n . On a donc à la foisb^logan/logab=netn=b^logbn, c’est donc que log_an/log_ab= log_bn.

Le premier point a pour conséquence que lorsquebest une constante devantn (c’est-à-dire b=O(1)), les fonctions log_bn, log₂n, log₁₀n ou même comme on va le voir lnn, sont toutes équivalentes à une constante multiplicative près. On a par exemple log₂n= log₁₀n/log₁₀2≈3.32 log₁₀net lnn= log₂n/log₂e≈0.69 log₂n.

Dans les notations asymptotiques faisant intervenir des logarithmes, on ne précise pas la base (si celle-ci est une constante). On note donc simplementO(logn) au lieu deO(log₂n),O(log₁₀n) ou encoreO(log_πn).

De la même manière, on n’écrit jamais quelque chose du typeO(2n+1) ouO(3 logn), l’objectif de la notation asymptotique étant de simplifier les expressions. La remarque s’applique aussi aux notationsΩetΘ.

Pour le deuxième point. D’une partx·y=b^logb(x·y)par définition de log_b(x·y). D’autre part

b^logbx+logby = b^logbx·b^logby = x·y = b^logb(x·y)

et donc log_bx+ log_by= log_b(x·y). C’est la propriété fondamentale des fonctions loga-rithmes de transformer les produits en sommes.

Pour le troisième point. Il peut se déduire directement du précédent seulement si α est un entier. L’argument est cependant similaire aux précédents. D’une part n^α = b^logb(nα) par définition de log_b(n^α). D’autre part

n^α =

b^logbnα

= b^(logbn)α = b^αlogbn et doncb^logb(nα)=b^αlogbn. On a donc que log_b(n^α) =αlog_bn.

1.6. ALGORITHME ET LOGARITHME 41 Pour le quatrième point. On note «f(n)g(n) » pour dire quef(n)/g(n)→0 lorsque n→ +∞. C’est pour dire que f(n) est significativement plus petite queg(n). En math, on le note aussif(n) =o(g(n)). En utilisant la croissance de la fonction logarithme et le changement de variableN= log_blog_bn:

Commebetαsont des constantes, log_bα=O(1) est aussi une constante (éventuellement négative siα <1). Lorsquendevient grand,Ndevient grand aussi. Clairement log_bN N−O(1), la « longueur » deN (cf. la proposition1.1) étant significativement plus petite queN quandN est grand. D’où log_bnn^α. Notez que ce point implique par exemple que log₂n√

n(α= 0.5).

[Question. Sur la figure 1.12, où se situerait la fonction log₁₀n pour n est assez grand ?]