Les propriétés données dans cette partie utilisent les hypothèses de base, à savoir que l’évolution est unitaire, mono-graine et bi-états dans un graphe connexe.
Propriété 21. Le treillis T (G, a) est borné.
Démonstration courte. L’élément minimum est ∅, et l’élément maximum est
l’en-semble de tous les nœuds de G (car G est connexe).
2. Il est possible que l’automate représentant l’état des nœuds contienne des boucles, et donc qu’un nœud puisse revenir dans un état du passé. Dans la modélisation de l’évolution multi-états (comme dans l’évolution bi-états), nous considérons que les états ne font que progresser. Pour modéliser un automate qui aurait une boucle (e1, . . . , en, e1), il suffit de considérer deux évolutions multi-états successives (la première de e1 à en et la deuxième de en à e1).
Propriété 22. Le treillis T (G, a) est gradué, et la graduation d’un état correspond
au nombre de nœuds qui sont dans l’état 2.
Démonstration. Soit E un état. Notons |E| le nombre de nœuds de E (ces nœuds sont
dans l’état 2). Par construction du treillis selon l’évolution unitaire3, les successeurs d’un état E sont les états E0 tels que E0 = E ∪ {v}, où v est le voisin d’un état
x ∈ E, avec v /∈ E. On a donc |E0| = |E| + 1, et |∅| = 0.
On peut remarquer que l’ensemble des états de T (G, a) n’est pas fermé par intersection. Pour montrer un contre-exemple, considérons pour graphe G un cycle de 4 nœuds a, b, c et d, avec la graine a. Les états (abc) et (acd) existent dans T (G, a). En revanche, l’état (abc) ∩ (acd) = (ac) n’est pas un état de T (G, a).
On peut remarquer que le treillis T (G, a) n’est pas distributif. Pour montrer un contre-exemple, considérons à nouveau pour graphe G un cycle de 4 nœuds a, b, c et d, avec la graine a. Le treillis T (G, a) est représenté sur la figure A.1. Nous allons montrer que la propriété de distributivité n’est pas vérifiée pour un certain triplet d’états A, B et C. En effet, en posant A = (abc), B = (ab) et C = (acd), nous avons d’une part A ∧ (B ∨ C) = (abc) ∧ ((ab) ∨ (acd)) = (abc) ∧ (abcd) = (abc), et d’autre part (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) = ((abc) ∧ (ab)) ∨ ((abc) ∧ (acd)) = (ab) ∨ (a) = (ab). Comme
A ∧ (B ∨ C) 6= (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), le treillis T (G, a) n’est pas distributif4.
() (a) (ab) (ad) (abd) (abc) (acd) (abcd)
Figure A.1 – Le treillis T (G, a) n’est pas distributif : le treillis N 5 (encadré) est un sous-treillis de T (G, a).
Propriété 23. Le treillis T (G, a) est semi-modulaire (résultat connu dans la
litté-rature5).
3. On peut remarquer que la propriété de graduation n’est pas vérifiée lorsque l’évolution est multiple ou multi-états.
4. Une autre preuve utilise le treillis nommé N 5, représenté dans le rectangle sur la figure A.1. Pour tout couple d’états A et B de N 5, l’état A ∨ B de T (G, a) appartient à N 5, et l’état A ∧ B de T (G, a) appartient à N 5. Ainsi, N 5 est un sous-treillis de T (G, a), et T (G, a) n’est pas distributif. 5. A. Kezdy, S. Seif : When is a poset isomorphic to the poset of connected induced subgraphs of a graph?. Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1:42–50, 1996.
Démonstration. Montrons que pour tout couple d’états A et B de T (G, a), si A
est un successeur (direct) de A ∧ B, alors A ∨ B est un successeur (direct) de B. Soit A et B deux états de T (G, a) tels que A est un successeur de A ∧ B. Alors, il existe un unique nœud x /∈ B de G tel que A = (A ∧ B) ∪ {x}. A ∨ B = A ∪ B = ((A ∧ B) ∪ {x}) ∪ B = ((A ∧ B) ∪ B) ∪ {x} = B ∪ {x}, avec x /∈ B. A ∨ B est bien un successeur direct de B. Le treillis T (G, a) est donc semi-modulaire.
En revanche, le treillis T (G, a) n’est pas modulaire. T (G, a) est modulaire si et seulement si pour tout triplet d’états E1, E2 et E3, si E3 ≤ E1, E1∧ E2 = E3∧ E2 et E1∨ E2 = E3∨ E2, alors E1 = E3. Pour montrer un contre-exemple, considérons pour graphe G un cycle de 4 nœuds a, b, c et d, et la graine a. Le treillis T (G, a) est représenté sur la figure A.1. Si l’on pose E1 = (abc), E2 = (acd) et E3 = (ab), nous avons :
– E3 ≤ E1 car (ab) ⊂ (abc),
– E1∧ E2 = E3∧ E2 car (abc) ∩ (acd) = (a) et (ab) ∩ (acd) = (a), – E1∨ E2 = E3∨ E2 car (abc) ∪ (acd) = (abcd) et (ab) ∪ (acd) = (abcd). Comme E1 6= E3, le treillis T (G, a) n’est pas modulaire.
Propriété 24. Le treillis T (G, a) est complet (résultat connu dans la littérature6). Démonstration. Comme T (G, a) est fini et non vide, T (G, a) est complet.
On peut remarquer que le treillis T (G, a) n’est pas complémenté. T (G, a) est complémenté si et seulement si pour tout état X, il existe Y tel que X ∧ Y = ⊥ et
X ∨ Y = >. Pour montrer un contre-exemple, considérons pour graphe G un cycle
de 4 nœuds a, b, c et d, avec la graine a. Le treillis T (G, a) est représenté sur la figure A.1. Si l’on pose X = (abd), nous avons :
– aucun Y parmi {∅, (a), (ab), (ad), (abd)} ne satisfait la propriété car X ∨ Y = (abd) ∪ Y = (abd), ce qui est différent de (abcd),
– Y = (abc) ne satisfait pas la propriété car X ∧ Y = (abd) ∧ (abc) = (ab), ce qui est différent de ∅,
– Y = (acd) ne satisfait pas la propriété car X ∧ Y = (abd) ∧ (acd) = (ad), ce qui est différent de ∅,
– Y = (abcd) ne satisfait pas la propriété car X ∧ Y = (abd) ∧ (abcd) = (abd), ce qui est différent de ∅.
Ainsi, X = (abd) n’a pas de complémentaire, et le treillis n’est pas complémenté. Le treillis T (G, a) n’est pas atomistique, c’est-à-dire que certains des états sont des sup-irréductibles (dit autrement, ces états n’ont qu’un seul prédécesseur) mais ne sont pas des atomes (c’est-à-dire qu’ils ne sont pas successeurs de l’état ⊥). Pour montrer un contre-exemple, considérons pour graphe G un cycle de 4 nœuds a, b, c et d, avec la graine a. Le treillis T (G, a) est représenté sur la figure A.1. On peut remarquer que l’état (abc) est un sup-irréductible ((ab) est son seul prédécesseur), mais n’est pas un atome, donc le treillis n’est pas atomistique.
De plus, le treillis T (G, a) n’est pas co-atomistique, c’est-à-dire que certains des états sont des inf-irréductibles (dit autrement, ces états n’ont qu’un seul successeur) mais ne sont pas des co-atomes (c’est-à-dire qu’ils ne sont pas prédécesseurs de
l’état >). Pour montrer un contre-exemple, considérons le graphe G représenté sur la figure 4.12, avec la graine a. Le treillis T (G, a) est représenté sur la figure 4.14. On peut remarquer que l’état (ad) est un inf-irréductible (abd est son seul successeur), mais n’est pas un co-atome, donc le treillis n’est pas co-atomistique.
Propriété 25. Soit G un graphe (connexe) de n nœuds et a une graine. Le nombre
d’états de T (G, a) est compris entre n + 1 et 2n−1+ 1. Ces bornes sont atteintes pour
certains graphes G.
Démonstration. Le nombre d’états de T (G, a) est supérieur ou égal à n + 1. En
effet, dans le pire des cas, chaque état de T (G, a) ne contient qu’un seul successeur (sauf pour l’état >). Cela se produit uniquement quand G est un chemin dont a est l’une des extrémités. Le nombre d’états de T (G, a) est égal au nombre de chemins de T (G, a) ayant a pour extrémité, plus l’état ∅, ce qui donne le résultat attendu.
Le nombre d’états de T (G, a) est inférieur ou égal à 2n−1 + 1. En effet, si on note V l’ensemble des nœuds de G, les états de T (G, a) contiennent l’état ∅, ainsi que toutes les combinaisons (dans le pire des cas) de sous-ensembles de V \{a} (le nœud a étant ajouté à chacun de ces sous-ensembles). Il y a 2n−1 combinaisons de nœuds de V \{a}, ce qui donne le résultat attendu. On peut remarquer que si G est une clique, ou une étoile centrée sur la graine a, on obtient le nombre d’états maximal.
Propriété 26. Soit G un graphe de n nœuds et a une graine. Soit Em l’ensemble des états de T (G, a) qui contiennent m nœuds. Soit h le cardinal du plus grand ensemble de nœuds X tel que le graphe induit par X est un chemin ayant a comme extrémité. Alors, pour tout m ∈ [0; h − 1], |Em| ≤ |Em+1|.
Démonstration. Nous allons montrer que pour tout m ≤ h − 1, pour chaque état E ∈ Em, on peut construire un état F (E) ∈ Em+1, tel que pour tous E1 ∈ Em et
E2 ∈ Em, avec E1 6= E2, on a F (E1) 6= F (E2). Si cette propriété est vraie, on a bien |Em| ≤ |Em+1| (car la fonction F réalise alors une injection de Em dans Em+1).
Notons tout d’abord X le plus grand ensemble de nœuds tel que le graphe induit par X est un chemin ayant a comme extrémité. Notons P ce chemin. Soit E ∈ Em. Notons x(E) le premier nœud du chemin P qui n’est pas dans E (ce nœud existe car m ≤ h − 1). Posons F (E) = E ∪ {x(E)}. On a bien F (E) ∈ Em+1.
Par l’absurde, prenons deux états E1 et E2tels que F (E1) = F (E2), et supposons que E1 6= E2. On remarque que x(E1) 6= x(E2) (sinon on déduirait de F (E1) = F (E2) que E1 = E2, ce qui est impossible). Supposons sans perte de généralité que x(E1) est avant x(E2) sur le chemin P . On a donc x(E1) ∈ E2. Comme |E1| = |E2| et
E1 6= E2, il existe un nœud y tel que y ∈ E1, y /∈ E2. On sait que y 6= x(E1) car
x(E1) ∈ E2, et on sait que y 6= x(E2) car x(E2) /∈ E1. Ainsi, F (E1) = E1∪ {x(E1)} contient y, car y ∈ E1. Toutefois, F (E2) = E2 ∪ {x(E2)} ne contient pas y, car
y /∈ E2 et y 6= x(E2). On aboutit à F (E1) 6= F (E2), ce qui est une contradiction, qui vient de l’hypothèse que E1 6= E2. La propriété est donc vraie.
Graphes d’évolution pour des réseaux particuliers.
Dans la suite, nous donnons quelques exemples de graphes d’évolution obtenus lorsque la topologie du réseau est particulière.
Propriété 27. Si G est une étoile de n nœuds centrée sur la graine a, T (G, a) est
isomorphe à un hypercube de dimension n − 1, à l’exception de l’état ∅.
Propriété 28. Si G est une clique de n nœuds et a la graine, T (G, a) est isomorphe
à un hypercube de dimension n − 1, à l’exception de l’état ∅.
Propriété 29. Si G est un chemin de n nœuds et si la graine a est l’une des
extrémités de ce chemin, T (G, a) est un chemin de n + 1 nœuds.
Propriété 30. Si G est un chemin de n nœuds et si la graine a est le m-ème nœud
du chemin, T (G, a) est isomorphe à un pavé de dimension deux (dont les côtés sont de longueur m et n − m + 1), à l’exception de l’état ∅.