4.3 Sous-additivité de l’entropie quantique
5.1.1 Propriétés générales
Fonctions propres d’un opérateur pseudo-différentiel (elliptique)
On considère maintenant P~ un opérateur pseudo-différentiel de Ψm,00 (M ) et (u~)~→0 une
famille de fonctions propres telles que P~u~= 0. On peut alors montrer le résultat suivant :
Théorème 5.2. Soit P~appartenant à Ψm,00 (M ) et (u~)~→0 une famille de fonctions propres de
L2(M ) tels que P
~u~= 0. On note p0le symbole principal de P~que l’on suppose à valeurs réelles.
Si µ0 est une mesure semi-classique associée à (u~), alors
1. supp(µ0)∩ T∗M ⊂ p−10 ({0}),
2. µ0|T∗M est invariante par le flot hamiltonien de p0.
Si on suppose de plus que P~ est elliptique à l’infini, alors supp(µ0)⊂ T∗M.
Preuve. En considérant a ≥ 0 dans C∞
o (T∗M ) telle que supp(a)⊂ {|p0| ≥ C > 0}, on vérifie
que µ~(a) = µ~((a/p0)p0) = O(~) (en utilisant la composition des opérateurs pseudo-différentiels
et le fait que u~ est un état propre de P~). Ainsi, l’intersection du support de toute mesure semi-
classique avec T∗M est inclus dans p−1 0 (0).
En utilisant la relation d’Egorov (2.17) pour a ∈ C∞
o (T∗M ) et l’Hamiltonien p0, on sait que
∀t ∈ R, Up−t0Op + ~(a)U t p0 = Op + ~ a◦ ϕ t p0 + OL2,t(~), où ϕt
p0est le flot hamiltonien associé à l’Hamiltonien p0(voir annexe A). En utilisant que P~u~= 0,
on trouve que toute mesure semi-classique µ0 vérifie µ0(a) = µ0(a◦ ϕtp0). Ainsi, les mesures semi-
classiques sont invariantes par le flot hamiltonien associé à p0.
Finalement, si on suppose en plus que P~ est elliptique à l’infini (i.e. ∃c > 0, |p0(x, ξ)| ≥ ckξkm
pour ξ ≥ R), on peut prendre a dans C0( [T∗M ) égale à 1 au voisinage de l’infini et nulle pour
kξk ≤ 2R et on vérifie alors que a = bp0satisfait µ~(a) = O(~).
Le Laplacien
Dans la suite de la thèse, on va s’intéresser au cas plus particulier de P~:=−~2∆−1. Par abus
de langage, on appellera mesure semi-classique un point d’accumulation d’une suite µ~associée à
une suite de fonctions propres u~ vérifiant P~u~= 0.
On sait qu’il existe une base orthonormée (ψj)j∈N∗ de L2(M ) composée de fonctions propres de
∆ [15] telles que
∆ψj=−λ2jψj,
avec λ2
j ≤ λ2j+1pour tout j dans N et 0 = λ20< λ21. Ainsi, l’équation P~u~= 0 admet une solution
si et seulement si il existe j > 0 tel que ~−2 = λ2
j. L’étude des fonctions propres du Laplacien
nous donne naturellement une suite discrète de paramètres semi-classiques ~j = λ−1j adaptés. Le
théorème 5.2 nous dit que la famille des mesures semi-classiques est une famille de mesures de probabilité de S∗M invariante par le flot géodésique gt. On a ainsi construit un sous-ensemble de
M(S∗M, (gt)) à partir des fonctions propres du Laplacien : la suite de cette thèse est consacrée à
la description de ce sous-ensemble (et de ces généralisations).
muni de la métrique plate. Dans ce cas, une base de fonctions propres de ∆ est donnée par (e2ıπhn,xi)
n∈Zd. Le paramètre semi-classique est alors joué par (2πknk)−1. En utilisant la formule
de la phase stationnaire, on vérifie que quand knk → ∞, he2ıπhn,.i|Op+
(2πknk)−1(a)|e2ıπhn,.ii ∼ Z Td a x, n knk dx. En particulier, la suite µnj a une limite faible si et seulement si
nj
knjk tend vers un vecteur ξ0 de
la sphère de Rd. Dans ce cas, la mesure semi-classique est la mesure Leb
Td× δξ0. Cette mesure
est donc concentrée sur le tore invariant Td× {ξ
0} et on voit sur cet exemple l’intérêt de relever
les mesures à l’espace des phases T∗Td. En effet, les fonctions propres sont équidistribuées en
position (|e2ıπhn,xi|2 = 1) mais localisées en impulsion. Si on n’avait pas relevé les mesures au
fibré cotangent, on n’aurait vu que l’équidistribution en position. Les mesures semi-classiques permettent cette étude simultanée de u~ et de sa "~-transformée de Fourier".
Lois de Weyl
Avant de poursuivre, on rappelle différentes versions de la loi de Weyl dans le cas des fonctions propres du Laplacien sur une variété M. On donnera pour chacun des énoncés de loi de Weyl la formulation semi-classique correspondante pour l’opérateur2 P
~:=−~2∆− 1.
On fixe une base orthonormée (ψj)j∈N∗ de L2(M ) composée de fonctions propres de ∆ telles que
∆ψj=−λ2jψj,
avec λ2
j ≤ λ2j+1 pour tout j dans N. On note aussi N(λ2) le nombre de valeurs propres λ2j ≤ λ2
(comptées avec leur multiplicité). On commence par rappeler une loi de Weyl dite locale due à Hörmander [55] :
Théorème 5.3 (Loi de Weyl locale-Hörmander). En utilisant les notations précédentes, on a, pour tout y dans M
X λ2 j≤λ2 |ψj(y)|2= σdλd (2π)d + O(λd−1) quand λ→ +∞, avec σd:= 2π d 2
dΓ(d/2) et un reste uniforme en y. En particulier, on a
N (λ2) =σdVolM(M )λ
d
(2π)d + O(λd−1) quand λ→ +∞.
Le résultat d’Hörmander est en fait plus général et s’applique à une famille plus grande d’opé- rateurs pseudo-différentiels elliptiques (d’ordre supérieur ou égal à 2). On peut aussi démontrer directement la deuxième partie du théorème (dite loi de Weyl globale) sans faire appel à la loi lo- cale [50]. On récrit maintenant ce résultat sous une forme semi-classique plus proche des notations que nous avons utilisées jusqu’à présent. Pour cela, on fixe α > 0 pour la suite de ce chapitre. On note alors I(~) :=] − α~, α~] et N(I(~)) le nombre de valeurs propres de P~=−~2∆− 1 contenues
dans l’intervalle I(~) (comptées avec leur multiplicité). Le résultat précédent implique alors X
~2λ2
j−1∈]−α~,α~]
|ψj(y)|2= O(~1−d) et N (I(~)) = O(~1−d).
Dans le cas de la sphère standard de dimension d, les restes du résultat d’Hörmander sont optimaux et ne peuvent donc pas être améliorés sous ces hypothèses générales. Toutefois, en faisant une hypothèse sur les trajectoires périodiques du flot géodésique, Duistermaat et Guillemin prouvent la loi de Weyl globale suivante [34] :
2
Pour les résultats dans le cas d’un ~-opérateur pseudo-différentiel elliptique plus général, on renvoie le lecteur aux chapitres 9 à 11 du livre de Dimassi et Sjöstrand [32].
Théorème 5.4 (Duistermaat-Guillemin). Sous les hypothèses du théorème 5.3 et en supposant en plus que l’ensemble des trajectoires périodiques de gtsur S∗M est de mesure de Liouville nulle,
on a
N (λ2) = σdVolM(M )λd
(2π)d + o(λd−1) quand λ→ +∞.
Sous forme semi-classique, ce résultat s’exprime de la manière suivante : N (I(~)) = σdαdVolM(M )
(2π~)d (~ + o(~)) quand ~→ 0. (5.1)
De nouveau, on peut prouver une version locale de cette loi de Weyl globale mais il faut imposer une condition plus forte qui concerne les lacets passant par le point x où l’on veut obtenir notre développement. Ce résultat a été obtenu par Safarov [90] puis par une méthode différente par Sogge et Zelditch [97] (théorème 1.2) :
Théorème 5.5 (Safarov/Sogge-Zelditch). On se place sous les hypothèses du théorème 5.4. Soit x appartenant à M et tel que l’ensemble Lx := {ξ ∈ Sx∗M : ∃t > 0 : π ◦ gt(x, ξ) = x} est de
mesure nulle3. On a X λ2 j≤λ2 |ψj(x)|2= σdλd (2π)d + ox(λd−1) quand λ→ +∞.
De plus, pour tout ε > 0, il existe un voisinage V (ε) de x et une constante Λ(ε)2 telle que, pour
tout λ > Λ(ε) et pour tout y dans V (ε), X λ2 j≤λ2 |ψj(y)|2− σdλ d (2π)d ≤ ελd−1.
On peut de nouveau donner une écriture semi-classique de cette loi de Weyl locale. Sous les hypothèses du théorème 5.5, on a X ~2λ2 j−1∈]−α~,α~] |ψj(x)|2= αdσd (2π~)d(~ + ox(~)) quand ~→ 0. (5.2)
La deuxième partie du théorème nous dit aussi que dans le cas où Lx est de mesure nulle pour
tout x sur la variété4, alors le reste dans l’égalité (5.2) est uniforme pour x dans M. Il existe
encore de nombreuses variantes sur l’étude des restes de la loi de Weyl que nous ne mentionnons pas (voir [14] ou [57] par exemple).
Pour terminer ce paragraphe sur les lois de Weyl, on mentionne que l’on a une version généralisée de la loi de Weyl qui s’écrit [39] :
Théorème 5.6 (Loi de Weyl généralisée). Soit M une variété riemannienne compacte, lisse, connexe, de dimension d et sans bords. Avec les notations précédentes, on a
∀a ∈ C∞ o (T∗M ), lim λ→∞ 1 N (λ2) X λ2 j≤λ2 µj(a) = Z S∗M adL,
où µ0(a) =RT∗Ma et où µj(a) :=hψj|Op+λ−1 j
(a)|ψjiL2(M ) pour j6= 0.
3
Au sens de la mesure induite par la métrique g sur T∗ xM . 4
Par exemple, c’est le cas pour une variété sans points conjugués où Lx est dénombrable pour tout x [97]