Propriétés de convexité des fonctions psh

Un résultat bien connu de P .Lelong (cf. [Le1]) affirme que le sup, la moyenne et plus généralement la moyenne L^p d’une fonction psh sur la sphère euclidienne de rayonrdans Cⁿ sont fonctions convexes delogr. Nous nous proposons d’étendre ces propriétés à une situation beaucoup plus générale.

Soit X un espace de Stein de dimension pure n, ϕ : X → [−∞, R[ une fonction psh continue exhaustive. On suppose que ϕ est Monge-Ampère homogène, i.e. qu’il existe A ∈]− ∞, R[ tel que

(6.1) (dd^cϕ)ⁿ= 0 sur l’ouvert {ϕ > A}.

Pour toute fonction psh V sur X et tout r > A le théorème 3.4 montre alors que la dérivée à gauche

(6.2) d

dr₋ µr(V) = Z

B(r)

dd^cV ∧αⁿ⁻¹ est positive croissante en r, d’où le

Théorème 6.3.

--

La fonction valeur moyenne r 7→MV(r) = µr(V) est convexe crois-sante sur ]A, R[.

Le cas classique évoqué au début correspond à la boule de rayon e^R dans Cⁿ avec ϕ(z) = log|z|, A = −∞. Plus généralement, on a un résultat de convexité pour les moyennes en norme L^p définies par

M_V^p(r) =h

µr(V₊^p)i^1/p

, p∈[1,+∞[.

Théorème 6.4.

--

La fonction r7→M_V^p(r) est convexe croissante sur ]A, R[.

Démonstration. Par régularisation on se ramène au cas où V est psh > 0 de classe C^∞. Étant donné ε >0, considérons la fonction

h_ε(r) = Z r

r−ε

µ_t(V^p)dt= Z

B(r)rB(r−ε)

V^pαⁿ⁻¹dϕ∧d^cϕ dt, r∈]A+ε, R[

(la dernière égalité résulte de la proposition 3.9 (a)) . Comme µ_r(V^p) = lim_ε→0h_ε(r), il suffit de prouver que h^1/pε est convexe pour tout ε >0. On doit donc vérifier l’inégalité

hεh⁰⁰_ε − 1− 1

p

h⁰²_ε >0

où la dérivée seconde h⁰⁰_ε est, disons, calculée à gauche. D’après la proposition 3.9 (b) et l’hypothèse (6.1) il vient

h⁰_ε(r) =µ_r(V^p)−µ_r−ε(V^p)

= Z

B(r)rB(r−ε)

d

V^pαⁿ⁻¹∧d^cϕ

= Z

B(r)rB(r−ε)

p V^p−1dV ∧αⁿ⁻¹∧d^cϕ.

La formule (6.2) implique par ailleurs h⁰⁰_ε(r) =

Z

B(r)rB(r−ε)

dd^c(V^p)∧αⁿ⁻¹. Grace à l’inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient

h⁰_ε(r)² 6 Z

B(r)rB(r−ε)

V^pαⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕ · Z

B(r)rB(r−ε)

p²V^p−2dV ∧d^cV ∧αⁿ⁻¹, et la relation (6.5) cherchée découle de l’inégalité

dd^c(V^p)>2p(p−1)V^p−2dV ∧d^cV.

Corollaire 6.6.

--

Les fonctions définies par (a) M_V^exp(r) = logµr(e^V),

(b) M_V^∞(r) = sup_B(r)V,

sont croissantes convexes sur ]A, R[.

Démonstration. La propriété (a) résulte du théorème 6.4 et de l’égalité logµr(e^V) = lim

p→+∞p h

µr

1 + V

p p

+

i1/p

−1

. Le principe du maximum (théorème 5.1) entraîne d’autre part

sup

B(r)

V = lim

λ→+∞

1

λ logµr(e^λV) par suite (b) est conséquence de (a).

En vue des applications à l’étude des espaces fibrés, nous démontrons maintenant une version avec paramètre du théorème 6.4. On se donne un morphisme π : X → Y d’espaces analytiques de dimensions pures dimX =m+n, dimY = m et des fonctions ϕ : X → [−∞,+∞[ psh continue, R : Y → ]− ∞,+∞]) (resp. A : Y → [−∞,+∞[) semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) vérifiant les propriétés ci-dessous.

Hypothèses 6.7.

--(a) π est surjectif, et les fibres π⁻¹(y), y∈Y sont de dimension pure n.

(b) π est un morphisme de Stein, i.e. Y possède un recouvrement ouvert (Ωj)j∈J tel que π⁻¹(Ω_j) soit de Stein pour tout j ∈J.

(c) ϕ(x)< R(π(x)) et A(y)< R(y) quels que soient x ∈X, y∈Y.

(d) Pour tout y ∈ Y et tout r < R(y), il existe un voisinage U de y dans Y tel que π⁻¹(U)∩B(r)bX.

(e) (dd^cϕ)ⁿ ≡0 sur l’ouvert {x∈X; ϕ(x)> A(π(x))}.

On note ici encoreB(r) ={ϕ < r},S(r) ={ϕ=r}etα =dd^cϕ. Sous les hypothèses (c) et(d), le §3 permet d’associer à chaque fibre π⁻¹(y) une famille de mesures µ_y,r portées par π⁻¹(y) ∩S(r) pour ∈ ] − ∞, R(y)[. Étant donné une fonction psh V sur X on introduit les valeurs moyennes

MV(y, r) =µy,r(V), M_V^p(y, r) =

µy,r(V₊^p)1/p

si p∈[1,+∞[, M_V^exp(y, r) = logµy,r(e^V),

M_V^∞(y, r) = sup

π⁻¹(y)∩B(r)

V.

Proposition 6.8.

--

^{Pour toutr} fixé, les applications y7→µ_y,r(V) ety 7→M_V^p(y, r) sont faiblement psh au sens de la définition 1.9 sur l’ouvert {y∈Y ; A(y)< r < R(y)}.

Démonstration. Comme le résultat est local surY, l’hypothèse 6.7 (b) permet de supposer X, Y de Stein. Un passage à la limite décroissante nous ramène alors au cas où V est psh de classe C^∞ ; si p > 1 on peut supposer de plus V > 0. Soit ε > 0 arbitraire et χ : ]r−ε, r[ →R une fonction C^∞ >0 non nulle à support compact. Par analogie avec le théorème 6.4, introduisons la fonction auxiliaire

h(y) = Z r

r−ε

µy,t(V^p)χ(t)dt= Z

π⁻¹(y)

V^pχ(ϕ)αⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕ définie sur l’ouvert

Uε =

y ∈Y ; A(y) +ε < r < R(y) .

Pour conclure, il suffit de montrer que h^1/p est faiblement psh sur Uε. Si p >1, il s’agit donc de montrer que

h dd^ch− 1− 1

p

dh∧d^ch>0.

Soient u, v, w des formes réelles de classe C^∞ sur Y à support compact dans U_ε , de bidegrés respectifs(m, m),(m, m−1)⊕(m−1, m)et(m−1, m−1). D’après le théorème de Fubini, qu’on applique d’abord en supposant ϕ de classe C^∞, il vient

Z

Y

hu= Z

X

V^pχ(ϕ)αⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕ∧π^∗u ;

le cas où ϕest seulement continue s’en déduit par limite décroissante (théorème 2.6). On observe maintenant que l’intégrande est à support dans

π⁻¹(Suppu)∩ B(r)rB(r−ε) bX

(hypothèse 6.7 (d)) et que le courantχ(ϕ)αⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕestd-fermé (hypothèse 6.7 (e)).

Au moyen d’une intégration par parties sur Y et d’une autre inverse sur X on obtient donc successivement

Z

Y

dh∧v = Z

X

d(V^p)∧χ(ϕ)αⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕ∧π^∗v, (6.9)

Z

Y

dd^ch∧w = Z

X

dd^c(V^p)∧χ(ϕ)αⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕ∧π^∗w.

(6.10)

Supposons que la (m− 1, m− 1)-forme w soit > 0. L’égalité (6.10) ontre déjà que R

Y dd^ch∧w > 0, donc dd^ch >0 sur U_ε, ce qui résout le cas p = 1. Dans le cas général p >1, soitγ une 1-forme réelleC^∞ sur Y etγ^c =i(γ^0,1−γ^1,0). L’égalité (6.9) combinée à l’inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne

Z

Y

dh∧γ^c ∧w = Z

X

p V^p−1∧dV ∧π^∗γ^c ∧χ(ϕ)αⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕ∧π^∗w

6 1

2 Z

X

V^pπ^∗(γ∧γ^c) +p²V^p−2dV ∧d^cV

∧χ(ϕ)αⁿ⁻¹∧dϕ∧d^cϕ∧π^∗w

6 1

2 Z

Y

h γ∧γ^c + p

p−1dd^ch∧w,

compte tenu que dd^cV^p > p(p−1)dV ∧d^cV. Comme ceci est vrai pour toute forme w >0, on en déduit au sens des courants l’inégalité

dh∧γ^c+γ∧d^ch6h γ∧γ^c+ p

p−1dd^ch.

Observons que h est partout >0 sur U_ε d’après 4.1 ; si nous faisons tendre maintenant γ vers dh/h, il vient l’inégalité attendue

1

h dh∧d^ch6 p

p−1dd^ch.

Pour voir que h est localement majorée sur Y, il suffit de regarder le cas où V ≡ 1.

L’égalité (6.9) montre alors que dh= 0, donch est localement constante sur X_reg. La proposition 6.8 contient en fait le résultat plus général suivant, qui était notre principal objectif.

Théorème 6.11.

--

Les fonctions sur Y ×C définies par

(y, z)7→M_V(y,Rez), M_V^p(y,Rez), M_V^exp(V,Rez), M_V^∞(y,Rez) sont faiblement psh sur l’ouvert

(y, z)∈Y ×C; A(y)<Rez < R(y) .

Démonstration. On considère le morphisme

˜

π =π×Id :X×C→Y ×C et on munit X×C, Y ×C des fonctions

˜

ϕ(x, z) =ϕ(x)−Rez, R(y, z) =˜ R(y)−Rez, A(y, z) =˜ A(y)−Rez,

de sorte que les hypothèses 6.7 (a-e) sont vérifiées relativement à ces données. SiV˜(x, z) = V(x) on a par construction

˜

µ_(y,z),0( ˜V) =µy,Rez(V), et le théorème 6.11 découle donc de la proposition 6.8.

Corollaire 6.12.

--

Soient (X_j)_16j6k des espaces de Stein de dimension pure n_j et ϕj :Xj →[−∞, Rj[ des fonctions psh continues exhaustives telles que(dd^cϕj)^nj ≡0 sur l’ouvert {x∈X_j; ϕ_j(x)> A_j}. Si V est psh sur X₁× · · · ×X_k, les fonctions

MV(r1, . . . , rk) =µ1,r1⊗ · · · ⊗µk,rk(V), M_V^p(r₁, . . . , r_k) =M_V^p

+(r₁, . . . , r_k)^1/p, M_V^exp(r₁, . . . , r_k) = logM_e^V(r₁, . . . , r_k),

M_V^∞(r1, . . . , rk) = sup

B(r₁)×···×B(rk)

V sont convexes en les variables (r1, . . . , rk) ∈ Q

16j6k]Aj, Rj[ simultanément, et crois-santes par rapport à chacune des r_j.

Plus généralement, si X0 est un espace analytique de dimension pure n et si V est psh sur X₀×X₁× · · · ×X_k, la fonction

M_V^p(x0,Rez1, . . . ,Rezk) =M_V^p_(x

0,•)(Rez1, . . . ,Rezk) (resp. p=∅, exp, ∞) est psh sur l’ouvert

X₀× Y

16j6k

A_j <Rez_j < R_j ⊂X₀×C^k.

Démonstration. Il suffit de prouver la dernière affirmation. On raisonne par récurrence sur k. Pour k = 1, le théorème 6.11 appliqué à π :X = X₀×X₁ → X₀ = Y et ϕ= ϕ₁ montre que la fonction

(x₀, z₁)7→M_V^p(x₀,Rez₁)

est faiblement psh. Si de plusV est continue, cette fonction est séparément continue enx et convexe en Rez, donc continue en (x₀,Rez₁). Grâce au corollaire 1.12, M_V^p(x₀,Rez) est donc psh. Le cas où V est quelconque s’obtient en écrivantV comme limite décrois-sante de fonctions psh continues.

Pour k >1, la propriété résulte à l’ordrek de sa validité aux ordres 1et k−1 en posant W(x0, x1, . . . , x_k−1, zk) =M_V^p_(x

0,...,xk−1,•)(Rezk) et en observant que

M_V^p(x0,Rez1, . . . ,Rezk) =M_W^p _(x

0,•,zk)(Rez1, . . . ,Rezk−1).

Nous terminons ce paragraphe en réexaminant à la lumière des résultats précédents l’inégalité de convexité de P. Lelong, qui mesure de façon précise les variations de crois-sance d’une fonction psh sur un espace fibré le long des différentes fibres. Cette inégalité a été utilisée par H. Skoda [Sk2] pour construire un premier contre-exemple au problème, posé par J.-P. Serre en 1953, de savoir si un fibré à base et à fibre de Stein est lui-même de Stein ; voir aussi [De1], [De2] pour d’autres contre-exemples et [De3] pour une construction simple et rapide.

SoitΩun espace de Stein irréductible de dimensionm, qui jouera le rôle de base du fibré, et X un espace de Stein de dimension pure n, qui sera la fibre. On suppose qu’il existe des fonctions ψ: Ω→[−∞, R[,ϕ:X →[−∞,+∞[psh continues exhaustives telles que

(dd^cψ)^m = 0 sur {ψ > A}, (dd^cϕ)ⁿ= 0 sur {ϕ >0}.

Par exemple siX est une variété algébrique affine de dimensionn, il existe un morphisme fini F :X →Cⁿ (théorème de normalisation de Noether), et il suffit de prendre ϕ(z) = logkF(z)k où k k est une norme surCⁿ ; le même raisonnement vaut localement sur Ω pour l’existence de ψ.

Soient V une fonction psh sur Ω×X et des réels a, b, c, r tels que A < a < b < c < R et r >0. La propriété de convexité du corollaire 6.12 montre que

M_V^∞(b, r)6M_V^∞(a, σr) + 1− 1

σ h

M_V^∞(c,0)−M_V^∞(a, σr)i

avec σ = ^c−a_c−b. II résulte du théorème 7.5 démontré au paragraphe suivant que l’on a M_V^∞(a, r) → +∞ quand r →+∞, dès que V est non constante sur au moins une fibre {z} ×X, z ∈B(a). Il existe alors une constante r0 dépendant dea, b, c, V telle que (6.13) M_V^∞(b, r)< M_V^∞(a, σr) pour r > r₀, où σ = c−a

c−b. Si ω est un ouvert relativement compact dans Ω, on pose maintenant

M_V^∞(ω; r) = sup

ω×B(r)

V.

Grâce à un raisonnement élémentaire de compacité et de connexité (cf. [Le2], théorème 6.5.4) on déduit alors de (6.13) le résultat suivant :

Corollaire 6.14 (Inégalité de P. Lelong).

--

Soient Ω un espace complexe irréductible, ω₁, ω₂ deux ouverts relativement compacts dans Ω et V une fonction psh sur Ω× X,

supposée non constante sur au moins une fibre {z} ×X. Alors il existe une constante σ >1 ne dépendant que de ω₁, ω₂,Ω, et une constante r₀ dépendant en outre de V, telles que pour tout r > r0 on ait

M_V^∞(ω2; r)< M_V^∞(ω1; σr).

Dans les applications pratiques se pose le problème du calcul explicite de la constante σ.

L’inégalité (6.13) apporte une réponse théorique complète à ce problème. Si ω₁, ω₂ bΩ sont des ouverts de C, on cherche une fonction harmonique ψ surΩrω1 qui tend vers0 sur ∂ω₁ et vers 1 sur ∂Ω (resp. vers +∞ si ∂Ω est de capacité 0) ; on prolonge ψ par 0 sur ω1 et on pose b= sup_ω2ψ. Toute constante σ > _1−b¹ (resp. σ > 1) répond alors à la question. Le cas où la base Ωest de dimension m >1 revient à résoudre un problème de Dirichlet analogue pour l’équation de Monge-Ampère(dd^cψ)^m = 0surΩrω1. Il est facile de voir que la constante σ ainsi obtenue est la meilleure possible. Un calcul élémentaire montre en effet que la fonction

χ(t, r) = exp r

1−t + 1 (1−t)²

est croissante convexe sur [0,1[×[0,+∞[. La fonction psh V = χ(ψ+, ϕ+) contredit alors (6.13) pour tout σ6 _1−b¹ .

Dans le document A. Mesures de Monge-ampère et croissance des fonctions plurisousharmoniques (Page 31-37)