En considérant qu'une courbe remplissant une aire plane est un cas particulier de la courbe remplissant un espace et que par ailleurs, une courbe remplissant un espace dispose des propriétés de la courbe remplissant une aire plan, nous pourrons utiliser ces propriétés généralisées aux courbes remplissant l'espace.
2.2.1 Fractal, remplissage de l'espace
Un objet est dit fractal si :
Condition 2 (Fractal). Sa dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa
dimension topologique.
En effet, Benoît Mandelbrot a utilisé le terme courbe fractale pour désigner les courbes satisfaisant la Condition 2 comme des courbes de Koch ainsi que toutes les courbes remplissant l'espace. Comme il s'agit de courbes, leur dimension topo-logique est égale à 1, tandis que la dimension de la courbe de Koch est d'environ 1,26, celles de Peano et de Hilbert 2-D sont égales à 2, qui est la dimension topo-logique d'un carré. Cela explique également pourquoi ces courbes remplissent une aire plane.
2.2.2 Auto-similitude
Les courbes remplissant l'espace sont auto-similaires, c'est-à-dire, leurs sous-parties sont les copies d'elles-mêmes à des échelles différentes.
En étant auto-similaire, une courbe remplissant l'espace peut être construite par un processus récursif.
Visuellement, les sous-parties d'une courbe auto-similaire conservent la forme de la courbe. Par conséquent, une transformation comme la rotation ou la réflexion peut être appliquée. Par exemple, dans les cas de la courbe de Peano ou de la courbe de Hilbert, leurs sous-parties peuvent être les copies à une échelle inférieure ou éven-tuellement avec les rotations d'angle 𝜋/2 ou −𝜋/2.
Les transformations créent la possibilité de varier la structure des courbes rem-plissant l'espace et d'optimiser quelques propriétés de la courbe. Typiquement, ce type de transformations de la courbe de Hilbert permet d'optimiser la conservation de la localité ce qui est très importante dans les applications [cf.Chapitre 3]. Évide-ment, l'adaptation à ces transformations pose alors des difficultés pour la construction des courbes.
2.2.3 Non auto-croisement
L'auto-croisement des courbes remplissant l'espace est interdit dans les applica-tions où l'index correspondant à chaque point doit être unique.
Par exemple, dans une base de données relationnelle, chaque clé primaire qui permet d'identifier uniquement une ligne dans une table doit être unique. Deux lignes distinctes d'une table ne peuvent pas avoir une même clé primaire. En supposant que des index des points (représentant des lignes de données) sur une courbe remplissant l'espace sont employés comme la clé primaire, ces index doivent être uniques.
Si une courbe remplissant l'espace se croise, les points d'intersection corres-pondent à 2 index ou plus. En conséquent, elle ne peut pas être appliquée dans les applications nécessitant un index unique.
La version discrétisée des courbes remplissant l'espace classiques comme les courbes de Peano, Hilbert ou Lebesgue, qui sont bijectives, garantit qu'il n'y a pas d'auto-croisement dans ces courbes (discrètes).
2.2.4 La conservation de la localité
La conservation de la localité est un point essentiel d'une courbe remplissant l'es-pace qui permet de faire correspondre des points proches avec les index proches. La conservation de la localité est parfois appelée la conservation de voisinagespuisqu'elle mesure la capacité à faire correspondre les voisins dans l'espace multi-dimensionnel avec leur index (dans l'espace 1-D) qui sont aussi voisins.
CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART 19 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F 2.5 – La conservation de la localité de la courbe de Lebesgue. Chaque loca-lité correspond à un segment des index. Ainsi, les points d'une localoca-lité sont ordonnés consécutivement. Cependant, si nous considérons l'ordonnancement des points dans chaque localité, il existe des points qui ne sont pas voisins, et qui sont consécuti-vement ordonnés. La courbe de Hilbert enlève ce saut de voisinage et permet une meilleure conservation de la localité [cf.Figure 2.6].
La conservation de la localité est un point important pour les applications infor-matiques et est souvent un critère essentiel pour le choix de la courbe remplissant l'espace. À titre d'exemple, dans l'application de recherche d'images dans une grande base [cf.Chapitre 6], des images similaires peuvent être rapidement retrouvées avec un système réalisant l'indexation et la recherche comme suit :
— L'indexation : chaque image est faite correspondre à un index. Les index sont ensuite ordonnés dans une liste. Avec cet ordonnancement, le positionnement d'un index est rapide, par exemple, par la recherche binaire.
— La recherche : les images issues de la recherche correspondent aux index voisins de l'index de l'image d'entrée.
Ce système n'est utile que si la correspondance entre l'image et l'index conserve bien la localité. La conservation de la localité garantit que les index consécutifs correspondent aux images similaires. Les sorties du système sont alors similaires
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F 2.6 – La conservation de la localité de la courbe de Hilbert. Chaque localité correspond à un segment des index. Ainsi, les points d'une localité sont ordonnés consécutivement. De plus, dans chaque localité, chaque point est ordonné à côté 2 de ses voisins.
à l'image d'entrée.
L'auto-similitude [cf.Sous-section 2.2.2] est un acteur de la conservation de la localité. Avec l'auto-similitude, les points de chaque sous-parties sont consécutive-ment ordonnés [cf.Figure 2.5].
Malgré que toutes les courbes remplissant l'espace sont pareillement autosimi-laires, elles conservent différemment la localité. La courbe de Hilbert qui optimise l'ordonnancement local conserve le mieux localité [cf.Figure 2.6]. La conservation dominant de la localité de la courbe de Hilbert est confirmée par différentes me-sures [60,113,128].
Pour notre application, plus haut le niveau de la conservation de la localité, meilleure sera la similarité à l'image d'entrée.
Dans cette thèse, un des buts principaux est d'optimiser la conservation de la loca-lité des courbes remplissant l'espace. LaChapitre 3détaille la notion de conservation de la localité et présente une proposition d'une mesure de conservation de la localité qui généralise les mesures de la littérature [60,113,128].
CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART 21