Propositions des modèles d’endommagements dans le câble

L’endommagement dans le câble est souvent rencontré sous la forme de corrosion ou de rupture bru- tale des fils (ou le mélange des deux).

L’endommagement peut entraîner un changement global (par exemple une baisse de la tension dans le câble à cause de la redistribution des charges de la structure entre les câbles) et également des chan- gements locaux des caractéristiques dans la zone endommagée. Le choix du modèle pour simuler les changements locaux dépend donc du type d’endommagement.

Par exemple, pour le cas de la corrosion, dans la zone corrodée, il y a un changement de la masse linéiqueΔμ qui peut être négatif ou positif (Fig. 3.13(a) et 3.13(b)). Au niveau de la rigidité, l’endomma- gement peut être simulé par une perte de rigidité en flexion (ΔEI(x) < 0) pas nécessairement constante partout dans cette zone.

De même, pour le cas de la rupture des fils du câble, comme la fissure de la poutre, la rupture du câble peut être simulée par des perturbations Δμ et ΔEI, ou une perturbation de masse Δμ avec un

ressort (avec la flexibilité cb) à l’endroit de la rupture. Cependant, le choix des valeursΔμ et ΔEI ou cb devient encore plus compliqué que dans le cas de la poutre.

En effet, lorsqu’un fil se casse, deux côtés du fil vont reculer et cela va créer une ouverture dans le câble. La zone influencée par la rupture contient cette ouverture et aussi deux zones de réancrage correspondant aux deux côtés de l’ouverture. La zone de réancrage considérée est celle sur laquelle un fil rompu a la capacité de se réancrer. Sa longueur vaut de 1 à 2.5 fois le pas de toronnage [29]). Nous considérons donc que la zone endommagée est égale à la zone d’ouverture plus deux fois la longueur de réancrage. Par exemple, sur la Fig. 3.14, un fil sur sept d’un monotoron est cassé ; par conséquence, une ouverture d’une longueur de 3cm est créée. Le pas de toronnage de ce monotoron est de 0.32m ; nous pouvons donc faire l’hypothèse que la longueur de la zone endommagée vaut entre0.03+2∗0.32 = 0.67m et0.03 + 2 ∗ 2.5 ∗ 0.32 = 1.63m.

Au niveau de la masse, il n’y a pas de changement de la masse globale du câble. Plus précisément : dans la zone d’ouverture, il y a une perte locale de masse, et la masse perdue dans cette zone est distribuée sur les deux zones de réancrage. Dans la littérature, les chercheurs négligent souvent la perturbation locale de la masse pour la fissure de la poutre et ils considèrent seulement un changement de la rigidité qui est modélisé par la modification de la rigidité en flexionΔEI ou par l’apparition du ressort (avec la flexibilité

cb). Pour le cas du câble, comment modéliser la rupture d’un fil ?

Au niveau de la rigidité, dans la zone ouverte, nous considérons une perte de rigidité à cause de la perte de section. De plus, les fils dans la zone endommagée (zone ouverte plus les deux zones de réancrage) ne travaillent pas ensemble. Il y a donc une perte de rigidité dans les deux zones de réancrage, bien qu’il n’y ait pas de perte de section. Cependant, il n’est pas facile d’évaluer la perte de rigiditéΔEI(x). Nous rencontrons la même difficulté pour définir la flexibilité cb pour le modèle du ressort.

En bref, pour simuler l’endommagement dans le câble (corrosion ou rupture ou mélange des deux), nous nous intéressons à 2 modèles :

- Modèle 1 : Changement global de tensionΔT + perturbation locale de masse Δμ + perturbation locale de rigiditéΔEI(x) dans la zone endommagée.

- Modèle 2 : Changement global de tensionΔT + perturbation locale de masse Δμ + apparition du ressort de rotation (avec la flexibilité cb) au niveau de la zone endommagée.

(a) (b)

Fig. 3.13 – Endommagements liés à la corrosion

3.4

Conclusion

Les résultats des études numériques justifient les remarques que nous avons faites au 2.1.4.4 : plus ξ est petit, c’est à dire plus le câble est proche d’une corde, moins les différences dues aux conditions aux bords sont visibles. L’étude sur la distribution de l’énergie modale du câble sous un choc montre que les sept premiers modes récupèrent plus de 98% de l’énergie totale. La comparaison entre les réponses vibratoires simulées et celles mesurées donnent des résultats très satisfaisants. Le modèle linéaire de poutre d’Euler Bernoulli avec tension permet de bien simuler le comportement du câble étudié.

Pour ce qui concerne l’endommagement, nous utilisons deux modèles existants de la fissure de la poutre pour proposer des modèles adaptés pour les endommagements du câble. Nous avons analysé des cas particuliers d’endommagements (corrosion ou rupture d’un fil), et nous trouvons que la détermination des valeurs des paramètres (ΔEI(x) ou cb) du modèle de l’endommagement choisi pour simuler des endommagements dans le comportement vibratoire reste un sujet difficile et ouvert.

Chapitre 4

Identification modale fondée sur la POD ou la SOD à

partir de la réponse libre

Dans ce chapitre, nous présentons l’utilisation de la POD (proper orthogonal decomposition) et la SOD (smooth orthogonal decomposition) sur la réponse libre de structures mécaniques pour l’identification des paramètres modaux. L’idée commune de ces deux méthodes est de l’utilisation de l’autocorrélation de la réponse libre.

La méthode d’identification fondée sur la POD utilise directement la matrice d’auto-corrélation de la réponse vibratoire. En calculant les vecteurs propres et les valeurs propres de cette matrice, on peut dé- terminer les modes propres et leur énergie correspondante. Dans [31], [49], les auteurs ont démontré que les modes propres orthogonaux (POMs : proper orthogonal modes) convergent vers des modes propres de la structure lorsque la matrice de masse est proportionnelle à la matrice identité. Dans le cas où la matrice de masse n’est pas proportionnelle à la matrice identité, ils ont démontré mathématiquement que la POD peut être utilisée pour identifier des paramètres modaux à condition de connaître la matrice de masse.

La méthode d’identification appelée SOD a été proposée par Chelidze et Zhou 2006 [17]. L’idée est d’utiliser la relation entre l’auto-corrélation du déplacement et l’auto-corrélation de la vitesse d’une ré- ponse libre afin de déterminer les fréquences propres et les modes propres associés. Une autre application de la SOD pour identifier des paramètres modaux sur la réponse vibratoire sous l’excitation aléatoire est proposée par Farooq et Feeny 2008 [32]. Contrairement à la méthode POD, la méthode SOD ne nécessite

pas la connaissance de la matrice de masse pour identifier les modes propres. De plus, elle permet d’ob- tenir les fréquences propres, ce que ne permet pas la POD.

Dans la littérature, en général les auteurs concluent que les méthodes POD ou SOD peuvent être appli- quées sur le système vibratoire sans amortissement ou avec amortissement léger mais sans proposer des conditions précises. Dans [31], les auteurs ont proposé des conditions sur le pas de temps et la durée de temps d’observation pour assurer la précision du résultat avec la méthode POD. Cependant, la condition proposée sur la durée de temps d’observation est suffisante très stricte.

L’objectif de ce chapitre est d’abord de rappeler les deux méthodes (POD et SOD). Ensuite, nous allons étudier et proposer des conditions sur le choix de la durée du temps d’observation ou du pas d’échan- tillonnage en temps. Puis, nous appliquons la méthode SOD seule à des données numériques pour étudier la sensibilité de cette méthode aux conditions de mesures. Enfin, nous testons la méthode SOD sur des données expérimentales et nous comparons les paramètres modaux identifiés par la SOD avec ceux cal- culés par d’autres méthodes comme la méthode du "peak-picking" ou la transformation en ondelettes (TO).

4.1

POD, SOD, rappels et conditions d’utilisation

Dans cette partie, nous présentons la théorie de deux méthodes d’identification des paramètres mo- daux à partir de la réponse libre : la POD et la SOD. L’idée commune de deux techniques est d’utiliser l’auto-corrélation de la réponse libre.