Chapitre 3 : Extraction dynamique des impulsions
3.2 Proposition d’un extracteur dynamique d’impulsion
Cette partie concerne la proposition d’un extracteur d’impulsion s’affranchissant des problématiques traditionnelles de déclenchement. L’algorithme peut être décomposé en deux parties. La première concerne l’estimation dynamique d’un seuil de déclenchement immune au bruit. La seconde concerne la définition d’une fenêtre temporelle qui s’ajuste dynamiquement en fonction des impulsions, permettant leur extraction en fonction de leurs durées respectives.
3.2.1 Evaluation dynamique du seuil de détection
L’estimation dynamique du seuil de détection vise à définir un seuil au plus proche du bruit afin de permettre la détection des impulsions de faible énergie tout en évitant les fausses alarmes.
Deux types de bruit sont traditionnellement rencontrés dans la mesure de radioactivité. Le premier est le bruit thermique qui est considéré comme un bruit blanc gaussien. Le second est le bruit de grenaille qui souvent est négligeable en comparaison du bruit thermique (Texas Instruments 2008). La prédominance du bruit gaussien permet de modéliser le bruit par une loi normale de distribution pour l’estimation du seuil. Cette approximation permet alors l’utilisation de la mesure de dispersion par le calcul de l’écart-type (Morsy & Von Ramm 1999). L’estimation de l’amplitude du seuil est déterminée par l’équation 3-1, avec 𝜇𝑡 la valeur moyenne du signal et 𝜎𝑡 son écart-type. 𝐶est une
variable d’ajustement utilisée pour contrôler la valeur du seuil selon une loi normale de distribution.
𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 = 𝜇𝑡+ 𝐶 ∙ 𝜎𝑡 3-1
Il existe plusieurs méthodes d’estimation de l’écart-type dans la littérature (Pastor & Socheleau 2012; Jiang et al. 2013). Pour notre proposition, nous utilisons la formule conventionnelle définie dans l’équation 3-2, qui consiste en la racine carrée de la variance. Avec 𝑠(𝑡) une portion du signal sans présence d’impulsion et 𝐸(𝑠(𝑡)) l’espérance mathématique de 𝑠(𝑡).
𝜎𝑡 = √𝐸(𝑠(𝑡)²) − 𝐸(𝑠(𝑡))² 3-2
Le signal d’entrée utilisé pour le déclenchement est la dérivée du signal original 𝑑𝑠(𝑡)𝑑𝑡 , ce qui est nécessaire pour l’étape de fenêtrage proposée ultérieurement (3.2.2). Elle permet d’augmenter la probabilité de détection des empilements et de soustraire la partie continue 𝜇𝑡 du signal. De ce fait,
𝜎𝑡′ = √𝐸 ((𝑑𝑠(𝑡)𝑑𝑡 ) 2 ) − 𝐸 (𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 ) 2 3-4
Avec 𝐶, la variable d’ajustement d’une loi normale de distribution, l’estimation du seuil permet l’utilisation, pour notre proposition, d’un intervalle de confiance respectant la règle du 68-95-99,7. Par exemple, si 𝐶 = 1, 68 % de l’amplitude du bruit varie entre −𝜎𝑡′ et𝜎𝑡′, alors qu’avec 𝐶 = 3, 99,7 % des
valeurs d’amplitudes de bruit varie entre −3𝜎𝑡′ et 3𝜎𝑡. Ce qui signifie que, statistiquement, seul 0,27 %
du bruit sera à l’origine de fausses alarmes. La Figure 3-6 illustre ce principe.
Figure 3-6 : Représentation graphique d'une loi normale. Chaque bande colorée a la largeur d'un écart-type (source : Wikipédia).
3.2.2 Fenêtrage adaptatif et détection des empilements
La seconde partie de notre approche consiste en l’extraction dynamique des impulsions individuelles et du tag des empilements en fonction de leur durée afin de n’obtenir que la partie utile du signal. Cette méthode est basée sur l’estimation du seuil obtenue par 3-3. Dans l’objectif d’adapter dynamiquement la taille de la fenêtre temporelle, nous utilisons une décroissance exponentielle comme approximation de la décroissance d’une impulsion. De précédents travaux montrent que cette approximation correspond bien aux caractéristiques réelles des impulsions (Knoll 2010). De ce fait, il est possible de calculer une constante de temps nommée τ en utilisant les caractéristiques mathématiques d’une décroissance exponentielle comme illustré dans la Figure 3-7.
L’amplitude d’une décroissance exponentielle atteint 37 % (exp-1) de l’amplitude du pic après une durée 𝜏, et plus de 99 % de l’énergie de l’impulsion est contenue sur 5𝜏. D’autres approximations d’une impulsion peuvent être utilisées.
Figure 3-7 : Caractéristiques mathématiques d'une décroissance exponentielle.
La durée de notre fenêtrage dépend donc de l’amplitude de l’impulsion. Il est possible de connaître l’amplitude maximum d’une impulsion sans avoir à attendre d’avoir observé l’intégralité de celle-ci grâce à l’utilisation de la dérivée. Une fois que la dérivée devient négative cela signifie que l’amplitude maximum de l’impulsion est atteinte. Cette caractéristique permet de calculer 𝜏 et donc de prédire la fin de la portion la plus large de l’impulsion comme illustré en Figure 3-8.
Pour exploiter temporellement cette approche, nous définissons deux fonctions 3-5 et 3-6 retournant une date pour une amplitude donnée :
𝑔(𝑠(𝑡)) = {𝑡, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 < 0 0, 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 3-5 ℎ (𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 ) = {𝑡, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑑2𝑠(𝑡) 𝑑𝑡2 > 0 0, 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 3-6
Comme illustré dans la Figure 3-8, nous considérons également le jeu d'événements temporels suivant :
𝐷𝑒𝑙𝑎𝑦, la constante de préhistoire ;
𝑡𝑇ℎ𝑟[𝑝] = ℎ(𝑇ℎ𝑟), ∀𝑝 𝜖 ℕ, 𝑝 ≥ 0 , pour désigner les instants de déclenchement par comparaison du seuil et de la dérivé du signal 𝑑𝑠(𝑡)𝑑𝑡 ;
𝑡𝐵𝑒𝑔𝑖𝑛[𝑝] = 𝑡𝑇ℎ𝑟[𝑝] − 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑦, ∀𝑝 𝜖 ℕ, 𝑝 ≥ 0, pour désigner les instants où les impulsions de 𝑠(𝑡) détectées débutent ;
𝑡𝑀𝑎𝑥[𝑝] = ℎ(0), ∀𝑝 𝜖 ℕ, 𝑝 ≥ 0, pour désigner les instants des amplitudes maximum des impulsions de 𝑠(𝑡) ;
𝑡𝜏[𝑝] = 𝑔(𝑠(𝑡𝑀𝑎𝑥[𝑝]). 𝑒−1), ∀𝑝 𝜖 ℕ, 𝑝 ≥ 1, pour désigner les instants où les amplitudes
maximum 𝑒−1 décroissent sur 𝑠(𝑡) ;
𝑡𝐸𝑛𝑑[𝑝] = 𝑡𝑀𝑎𝑥[𝑝] + 5(𝑡𝜏[𝑝] − 𝑡𝑀𝑎𝑥[𝑝]), ∀𝑝 𝜖 ℕ, 𝑝 ≥ 1, pour désigner les instants où
les impulsions de 𝑠(𝑡) détectées se terminent.
Enfin, il est possible d'extraire les impulsions du reste du signal grâce à la fonction porte 𝐵𝑃𝑢𝑙𝑠𝑒𝑠(𝑡) présentée dans 3-7 avec 𝐻(𝑡) la fonction de Heaviside.
𝐵𝑃𝑢𝑙𝑠𝑒𝑠(𝑡) = ⋃[𝐻(𝑡 − 𝑡𝐵𝑒𝑔𝑖𝑛[𝑖]) − 𝐻(𝑡 − 𝑡𝐸𝑛𝑑[𝑖])] 𝑝−1
𝑖=1
3-7
Finalement, le signal ne contenant que les impulsions 𝑠𝑃𝑢𝑙𝑠𝑒𝑠(𝑡) est défini par l'équation 3-8.
Un exemple illustrant le procédé est présenté en Figure 3-9.
Figure 3-9 : Représentation des fonctions 𝒔(𝒕), 𝑩𝑷𝒖𝒍𝒔𝒆𝒔(𝒕) et 𝒔𝑷𝒖𝒍𝒔𝒆𝒔(𝒕) pour des cas de détection
d'impulsions simples et empilées.
Comme présenté en Figure 3-9, la façon la plus simple de tagger, rejeter ou extraire uniquement les empilements pour les impulsions 𝑝 et 𝑝 + 1 est de vérifier la condition définie par l'équation 3-9.
𝑓(𝑝) = {0,1, 𝑡𝑡𝐸𝑛𝑑[𝑝] > 𝑡𝐵𝑒𝑔𝑖𝑛[𝑝 + 1]
𝐸𝑛𝑑[𝑝] ≤ 𝑡𝐵𝑒𝑔𝑖𝑛[𝑝 + 1] 3-9
La fonction porte 𝐵𝑃𝑖𝑙𝑒𝑢𝑝(𝑡) présentée dans l'équation 3-10 permet l'extraction des
empilements.
𝐵𝑃𝑖𝑙𝑒𝑢𝑝(𝑡) = ⋃[𝐻(𝑡 − 𝑡𝐵𝑒𝑔𝑖𝑛[𝑖]) − 𝐻(𝑡 − 𝑡𝐸𝑛𝑑[𝑖 + 1])] ∙ 𝑓(𝑖) 𝑝−1
𝑖=1
3-10
Finalement, il devient possible d'obtenir le signal avec uniquement les empilements 𝑠𝑃𝑖𝑙𝑒𝑢𝑝(𝑡)
ou avec uniquement les impulsions individuelles 𝑠𝑆𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑃𝑢𝑙𝑠𝑒𝑠(𝑡) comme respectivement représenté
par les équations 3-11et 3-12.