Avant-propos

Le modèle épidémiologique considéré au chapitre prédédent supposait la propagation d'un seul agent viral au sein d'une population caractérisée par un réseau de contacts adaptatif. Dans ce chapitre, nous considérons plutôt des réseaux de contacts à structure statique, mais sur lesquels se propagent simultanément deux agents viraux différents qui sont susceptibles d'interagir dynamiquement l'un avec l'autre. Nous nous intéressons ainsi à la modélisation de la coévolution de ces deux agents viraux.

Ce chapitre contient les résultats principaux issus de la deuxième partie du projet de maîtrise réalisé au cours des deux dernières années. Il est encore une fois divisé en deux parties. La première partie (§3.2-§3.8) correspond à un article qui a été publié dans la revue Physical Review E en août 2011 [90]. Elle est par conséquent rédigée en anglais, à l'exception d'une version française du résumé de l'article. La seconde partie (§3.9- §3.12) consiste en une série de quatre compléments rédigés en français. Le complément I présente encore une fois une synthèse de la notation utilisée, tandis que les compléments II-IV contiennent des détails supplémentaires à propos de quelques points discutés dans l'article.

3.2 Résumé

Une épidémie se produit rarement de manière isolée. Généralement, plusieurs agents viraux se propagent dans la même population hôte et peuvent interagir les uns avec les autres. Nous présentons un modèle épidémiologique dans lequel deux agents viraux se propagent simultanément sur deux réseaux superposés et interagissent via un méca- nisme d'immunité. À partir d'une analogie entre la dynamique de propagation et un processus dynamique qui construit progressivement le réseau, nous développons une ap- proche analytique capable de décrire avec précision la coévolution de deux agents viraux. Notre approche est compatible avec des réseaux superposés possédant une distribution conjointe en degrés et un recouvrement arbitraires. Afin d'illustrer la polyvalence de notre formalisme, nous montrons comment il peut être utilisé dans le cadre d'un scé- nario d'intervention hypothétique dans lequel un agent immunisant est disséminé dans une population hôte pour freiner la propagation d'un agent indésirable (p. ex. la dissé- mination d'information préventive dans un contexte de menace épidémique).

3.3 Abstract

Epidemics seldom occur as isolated phenomena. Typically, two or more viral agents spread within the same host population and may interact dynamically with each other. We present a general model where two viral agents interact via an immunity mechanism as they propagate simultaneously on two networks connecting the same set of nodes. By exploiting a correspondence between the propagation dynamics and a dynamical process performing progressive network generation, we develop an analytic approach that accurately captures the coévolution between epidemics on overlay networks. The formalism allows for overlay networks with arbitrary joint degree distribution and over- lap. To illustrate the versatility of our approach, we consider a hypothetical delayed intervention scenario in which an immunizing agent is disseminated in a host popula- tion to hinder the propagation of an undesirable agent (e.g., the spread of preventive information in the context of an emerging infectious disease).

3.4 Introduction

Epidemic dynamics has been largely studied with the help of mathematical mod- els in which a single viral agent propagates in a given host population. Although the paradigm of isolated epidemics may be well suited in some cases, there are numerous other situations in which more than one process occurs and interacts in the same pop- ulation. Different biological pathogens may interact through ecological [118, 129] and immunological [1, 129] mechanisms, or multiple strains of the same disease may com- pete for hosts according to some cross-immunity profile [2, 9, 75]. The spread of fear or awareness in the context of an emerging disease [10, 48, 52, 53] can also be considered as a case of interacting viral agents, i.e., information and disease. In computer networks, the dissemination of countermeasures using a contagious vaccination scheme has been suggested to counter harmful computer viruses [30, 59, 124].

When propagating in some host population, two viral agents may follow different, or share similar, routes of transmission. Taking into account how individuals are in contact with each other then becomes of great importance when modeling their coévolution. By explicitly considering those heterogeneous contact patterns between individuals, network-based models are an ideal framework for the study of interacting epidemics in structured populations [78, 92].

68 Chapitre 3. Réseaux superposés : coévolution de deux agents viraux

complex networks in a limited number of contributions [4, 12, 13, 30, 52, 53, 54, 59, 100, 124]. An important step toward a general theory of interacting processes on complex networks was recently accomplished by Funk and Jansen [54]. By generalizing the previous work of Newman [100], they analyzed the interaction between two viral agents propagating successively on overlay networks, i.e., two networks connecting the same set of nodes. Albeit very elegant, their analytical approach, based on bond percolation, is static and does not apply to the case of dynamically interacting viral agents.

The purpose of this contribution is to develop an analytical approach able to capture the dynamical interaction between viral agents spreading simultaneously on overlay networks. To this end, we make use of a correspondence between propagation on networks and a dynamical process performing progressive network generation [105] (see also Appendix C of [106]). The compartmental formalism obtained is quite general, and allows for overlay networks with arbitrary joint degree distribution and overlap. The language of epidemiology is used throughout this work for its clarity, yet our approach may be applied to processes of other nature that spread on networks.

This contribution is organized as follows. In §3.5, we introduce a model in which two viral agents propagate and interact dynamically on overlay networks. The analytical approach is then developed in two steps in §3.6. Some properties of the model are investigated in §3.7, where we also validate the accuracy of the analytical predictions by comparison with Monte Carlo simulations of the dynamics. Our conclusions are summarized in §3.8.