CHAPITRE 3 : APPLICATION
3.4. Propagation et validité du modèle
Les coefficients αi, βi de chaque mode dans le modèle (3.17) peuvent être corrélés. Pour analyser
l’influence de l’amplitude de chaque mode sur le couple, il est peut être plus pertinent d’écrire (3.17) sous la forme suivante :
0 2 2 4 4 6 6 2 4 18 18 6 18 ( ) ( ) ( ) ( ) sin( ( )) ( ) sin( ( )) ( ) sin( ( )) n i i e e a a i a i a i π ϕ π ϕ π ϕ θ ≈ θ = θ + θ + θ + θ + θ + θ + θ ɵ (3.18)
avec i=1 : 36. Les 4 modes de déformation du stator sont :
• le mode 0:a0( )θ • le mode 2 : 2 2 2 18 ( ) sin( ( )) a θ iπ ϕ+ θ • le mode 4 : 4 4 4 18 ( ) sin( ( )) a θ iπ ϕ+ θ • le mode 6 : 6 6 6 18 ( ) sin( ( )) a θ iπ ϕ+ θ
Dans cette partie, on ne s’intéresse qu’aux mesures de la couche 15 pour chaque stator S0, S1, S2, S7, S20.
Pour les 5 mesures de 15e(θ0k), k=1 :5 qui correspondent aux mesures de la couche 15 des 5 stators, on obtient 5 réalisations des coefficients ai et φi , i=0, 2, 4, 6 qui sont déterminés en
utilisant la méthode des moindres carrés présentée en 3.2.1.
Validation du modèle
Dans un premier temps, on s’intéresse aux couples C15(α) correspondant aux mesures 15e(θ0)de la couche 15 de chaque stator S0, S1, S2, S7, S20 et aux couples C15a(α) obtenus en utilisant
l’approximation 15 en(θ0) de
15e(θ0) donnée par la relation (3.18). Dans le Tableau 10, on donne l’écart (en %) entre les valeurs maximales des couples C15(α) et C15a(α) pour chaque stator.
Tableau 10. Ecart entre C15(α) et C15a(α) pour chaque stator
Stator S0 S1 S2 S7 S20
Ecart -0.29% -0.18% -0.20% 0.29% 0.35%
Figure 98. Couples C15(α) et C15a(α) pour les stators S0 et S1
On peut constater que le couple obtenu en utilisant comme entrée du modèle numérique le modèle des rayons donné par (3.18), après l’identification des coefficients ai et φi par une méthode des
moindre carré régression, est proche de celui obtenu dans le cas des rayons mesurés.
Influence des modes
Dans le deuxième temps, on va analyser la contribution des modes de déformation sur la variation du couple. Pour chaque mode, on suppose que l’amplitude suit une loi gaussienne et la phase suit une loi uniforme. La valeur moyenne et l’écart type de ces variables sont déterminés d’une façon empirique à partir de 5 valeurs disponibles pour la couche 15 de 5 stators. Les valeurs moyennes et les écarts types sont donnés dans le Tableau 11.
Remarque : La loi d’une variable aléatoire Gaussienne est parfaitement déterminée en
connaissant la valeur moyenne et l’écart type de celle-ci. De même, si une variable aléatoire est uniforme sur [a, b], on peut montrer que :
3 ; 3
a= −m σ b= +m σ (3.19)
où m est la valeur moyenne et σ est l’écart type.
Tableau 11. Valeurs moyennes et écart-types empiriques des amplitudes et des phases de 4 modes de déformation
a0 a2 φ2 a4 φ4 a6 φ6
Moyenne 1.93.10-6 5.16. 10-6 1.82 1.77. 10-6 2.06 3.74. 10-6 1.20
Ecart type 3.86. 10-6 3.93. 10-6 0.70 1.18. 10-6 1.31 1.59. 10-6 0.89
D’abord, on s’intéresse à l’influence de l’amplitude de chaque mode sur la variation du couple. Cette influence sera étudiée séparément d’un mode à l’autre. Ce qui signifie que pour l’amplitude
α Couple 0 5 10 15 -0.5 0 0.5
StatorS1 rayons mesurés StatorS1 rayons approchés StatorS20 rayons mesurés StatorS20 rayons approchés
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52
StatorS1 rayons mesurés StatorS1 rayons approchés StatorS20 rayons mesurés StatorS20 rayons approchés
la valeur efficace du couple. La méthode de transformation pour prendre en compte des variations géométriques et le chaos polynomial d’Hermite pour approcher le couple, qui est une variable aléatoire, sont utilisés.
On effectue les mêmes calculs pour l’amplitude des autres modes, c'est-à-dire pour les variables a0, a4, a6 et les résultats obtenus sont présentés dans le Tableau 12.
Tableau 12. Ecart type de la valeur efficace du couple en fonction du mode
Amplitude intéressée a0 a2 a4 a6
L’écart type de la valeur
efficace du couple 560.10
-5 9.22.10-5 0.95.10-5 2.53.10-5
Moyenne de la valeur
efficace du couple 0.4047 0.4047 0.4046 0.4046
On peut constater que l’influence de a0 sur la valeur efficace du couple est la plus importante. Ce
phénomène peut être expliqué par le fait que la variation de a0 entraine une variation uniforme du
rayon des dents et donc de l’entrefer. Par contre, même si leur amplitude est du même ordre de grandeur que le mode 0, les autres modes conduisent à des variations de couple très faibles. Il s’opère à l’intérieur de la machine un phénomène d’auto-compensation qui conduit à un impact très faible sur le couple.
On s’intéresse maintenant aux effets couplés des modes. Dans le cas des modes 0 et 2 par exemple, on suppose que a0, a2, φ2 sont des variables aléatoires indépendantes. En pratique, celles-
ci ne le sont pas mais nous disposons de trop peu de données pour caractériser correctement la corrélation. Les autres variables sont déterministes et sont égales à leur valeur moyenne empirique. On détermine la contribution de chaque variable à la variance de la valeur efficace du couple en calculant les coefficients de Sobol de premier ordre [65] via chaque variable aléatoire. Les indices de Sobol sont un moyen efficace d’effectuer une analyse de sensibilité globale. Plus la part de l’indice associé à une variable d’entrée est importante, plus la grandeur de sortie est sensible à cette variable d’entrée.
On effectue le même calcul pour le mode 0 associé avec le mode 6 et pour le mode 2 associé avec le mode 6. Les résultats obtenus sont présentés dans le Tableau 13 suivant :
Tableau 13. Coefficient de Sobol du premier ordre
Associé des modes 0 et 2 Associé des modes 0 et 6 Associé des modes 2 et 6
a0 a2 φ2 a0 a6 φ6 a2 a6 φ4 φ6
Coefficient de Sobol
99.97% 0.027% 4.1.10-8 % 99.99% 0.0021% 0.000012% 93.01% 6.94% 5.69.10-5% 0.00452%
On peut constater que l’influence de mode 0 est dominante par rapport à celle des autres modes. Ce qui signifie que pour la machine, on peut considérer que seule l’amplitude du mode 0 (rayon moyen des dents) joue un rôle effectif sur la valeur du couple. Ces résultats étaient en partie
prévisibles du fait du nombre de dents du stator et du nombre de pôles au rotor dont le ratio est entier. L’impact de ces modes dans le cas d’une machine ayant un nombre d’encoches par pôle et par phase fractionnaire est bien moins évident.
Dans les parties précédentes, une étude de l’impact du rayon des dents sur le couple à vide a été effectuée. Dans la suite, on va s’intéresser à une autre dimension carctéristique du stator : la largeur des dents.