Propagation de labels asynchrone avec barrages et d´ etection

d´etection de cœurs

L’algorithme PLAB pr´esente deux inconv´enients : le choix du nombre de barrages, et l’instabilit´e r´eduite, mais toujours pr´esente. Pour rem´edier `a ces probl`emes nous proposons deux algorithmes fond´es sur la d´etection de cœurs. Le premier algorithme est fond´e sur l’optimisation d’une fonction de qualit´e qui peut par exemple ˆetre la modularit´e ou la conductance. Nous effectuons plu-sieurs fois PLAB avec un certain β (le pourcentage de barrages sur les arˆetes ayant la plus forte valeur de centralit´e d’interm´ediarit´e) pour alimenter une ma-trice de fr´equence. Cette matrice permet de voir, pour chaque paire de nœuds i et j, le nombre de fois qu’ils sont dans la mˆeme communaut´e au cours des N propagations de labels. Nous recommen¸cons le proc´ed´e en changeant la valeur de β, β variant de 0 `a 1 par un pas ∆ choisi par l’utilisateur avec une nouvelle matrice de fr´equence de fr´equence. Pour chaque matrice de fr´equence, nous cal-culons les composantes connexes qui repr´esentent les communaut´es et effectuons une ´evaluation avec une fonction de qualit´e et en utilisant un seuil α. Le seuil α est un r´eel positif permettant de cr´eer un nouveau graphe `a partir d’une matrice

Mesure supervis´ees Mesure non supervis´ees

(a) La puret´e (b) La conductance

(c) Le NMI (d) La modularit´e

(e) ARI (f) #

Figure 3.4 – Mesures supervis´ees et non supervis´ees avec PLAB sur le r´eseau Zachary. # repr´esente le nombre de communaut´es. L’axe des abcisses repr´esente le pourcentage de barrages.

de fr´equence. En faisant varier α de 0 `a 1 par un certain pas ∆, il est possible d’obtenir un dendrogramme. Chaque matrice de fr´equence donne un dendro-gramme en faisant varier le seuil α. Parmi tous les dendrodendro-grammes, le r´esultat ayant le score optimal de modularit´e ou de conductance permet de retourner une partition. La complexit´e de l’algorithme est en O(n3+1

∆× k × N × (m − βm)), o`u k est le nombre d’it´erations pour les diff´erentes propagations de labels. Nous exposons ci-dessous la multiple propagations de labels avec barrages et stabilisation avec optimisation d’une fonction de qualit´e (MPLBS) (Algorithme 3).

Mesure supervis´ees Mesure non supervis´ees

(a) La puret´e (b) La conductance

(c) Le NMI (d) La modularit´e

(e) ARI (f) #

Figure 3.5 – Mesures supervis´ees et non supervis´ees avec PLAB sur le r´eseau foot-ballistique. # repr´esente le nombre de communaut´es. L’axe des abcisses repr´esente le pourcentage de barrages.

Nous donnons un exemple d’application sur un petit graphe de la m´ethode MPLBS, Figure 3.6. Dans cet exemple, chaque matrice est aliment´ee par diff´erentes propagations de labels (ici 10 pour l’exemple) avec un certain pourcentage de barrages. On commence avec un barrage en appliquant 10 propagations de labels qui alimentent une matrice de fr´equence, puis on alimente une nouvelle matrice de fr´equence avec deux barrages et ainsi de suite jusqu’au nombre maximal de barrages possibles. On s’aper¸coit que plus le nombre de barrages augmente, plus la matrice de fr´equence se transforme en matrice diagonale. L’obtention d’une matrice diagonale signifie que chaque nœud repr´esente sa propre commu-naut´e. En utilisant un seuil α que l’on fait varier entre 0 et 1, nous pouvons obtenir diff´erents dendrogrammes selon les valeurs des ´el´ements de la matrice de fr´equence. Nous voyons que certaines matrices de fr´equences sont identiques

Algorithme 3 MPLBS

Param`etres : Un graphe G = (V, E), un seuil α, N le nombre de propagations de labels, ∆ le pas

Sortie : communaut´es de G

1: Calcul de la centralit´e d’interm´ediarit´e de G

2: Liste P artition = []

3: Pour j = 0 `a 1 avec un pas de ∆ Faire

4: Mettre des barrages sur les j × |E| arˆetes ayant les plus grandes valeurs d’interm´ediarit´e

5: Allouer une matrice vide P_ij^N(j)

6: Alimenter la matrice P_ij^N(j) en lan¸cant N fois la propagation de labels sur le graphe avec barrages.

7: Cr´eer un nouveau graphe G⁰ = (V, E⁰) en partant de P_ij^N(j) avec des arˆetes dont la pond´eration est ´egale ou sup´erieure `a α

8: Cr´eer une partition Pj en consid´erant les C composantes connexes.

9: Liste P artition.ajouter(Pj)

10: j = j + ∆

11: Fin Pour

12: Retourner la partition Pk de Liste P artition avec le meilleur score de la fonction de qualit´e choisie par l’utilisateur : P_k^∗ = {P1, ..., PC}

avec un nombre diff´erent de barrages. Pour s´electionner le dendrogramme pou-vant donner le meilleur r´esultat en termes de qualit´e de partitionnement, nous utilisons les mesures non supervis´ees de modularit´e et de conductance.

Le second algorithme fait varier le nombre de barrages en alimentant une seule matrice de fr´equence, puis d´etecte les composantes connexes. L’id´ee est qu’alimenter une matrice de fr´equence par une mˆeme m´ethode, qui ne produit pas toujours de bons r´esultats ne peut pas ˆetre satisfaisant. L’alimentation est faite en lan¸cant la m´ethode non d´eterministe s´equentiellement un nombre N de fois pour remplir la matrice de fr´equence, et ainsi voir les nœuds ayant une forte probabilit´e d’ˆetre dans une mˆeme communaut´e. Cependant, alimenter une matrice, avec diff´erentes m´ethodes, ayant diff´erents niveaux de barrage pourrait am´eliorer la qualit´e des composantes connexes trouv´ees pour la d´etection de communaut´e. L’algorithme prend en param`etre, outre le seuil α et le nombre d’essais N , l’intervalle consid´er´e pour l’alimentation de notre matrice, ∆[x;y], x ∈ [0, 1],y ∈ [0, 1] et x < y, avec un pas pour parcourir cet intervalle ∆. Nous exposons ci-dessous l’algorithme de propagation de labels avec barrages utilisant la stabilisation (PLBS) (Algorithme 4). La complexit´e de l’algorithme est en O(n<sup>3</sup>+ k × N × (m − βm) × <sup>(y−x)</sup><sub>∆</sub> ), o`u k est le nombre d’it´erations pour les diff´erentes propagations de labels. Nous exposons un exemple d’appli-cation de la m´ethode PLBS, Figure 3.7. Dans cet exemple, une seule matrice de fr´equence est aliment´ee par diff´erentes propagations de labels avec des pour-centages de barrages diff´erents. Nous observons que nous obtenons une matrice

Figure 3.6 – Exemple de la multiple propagations de labels avec barrages et stabilisa-tion avec optimisastabilisa-tion d’une foncstabilisa-tion de qualit´e

par bloc. Bien que le graphe poss`ede une structure de sym´etrie (deux triangles), on peut observer que les valeurs des ´el´ements dans la matrice de fr´equence sont diff´erents, notamment en comparant les triangles a, b, c et d, e, f . Cela vient du fait que lorsqu’il existe une sym´etrie, le choix pour mettre un barrage est al´eatoire. Ainsi, il est possible que des barrages se mettent dans une structure communautaire alors qu’une autre structure, identique, attendra plus tard pour la mise en place de barrages en son sein. Par alimentation, les valeurs dans ces structures sym´etriques sont diff´erentes, ce qui explique que la fr´equence d’ap-partition des nœuds e et d soit de 0.4, diff´erente de la fr´equence d’apparition au sein d’une mˆeme communaut´e des nœuds a et c, qui est de 0.3. En utilisiant un seuil α, que l’on fait varier entre 0 et 1, un dendrogramme apparaˆıt. Nous utilisons les mesures non supervis´ees de modularit´e et de conductance pour re-tourner la partition selon la valeur de α.

Algorithme 4 PLBS

Param`etres : Un graphe G = (V, E), un seuil α, N le nombre de propagations de labels, ∆ le pas, l’intervalle pour l’alimentation ∆_[x;y]

Sortie : communaut´es de G

Calcul de la centralit´e d’interm´ediarit´e de G

2: Allocation d’une matrice de fr´equence vide Pour j = x `a y avec un pas ∆ Faire

4: Mettre des barrages sur les j × |E| arˆetes ayant les plus grandes valeurs d’interm´ediarit´e

Lancer N fois la propagation de labels avec un nombre diff´erent de bar-rages

6: Remplir la matrice de fr´equence avec les r´esultats des diff´erentes propa-gations de labels

j = j + ∆

8: Fin Pour

Cr´eer un nouveau graphe G⁰ = (V, E⁰) en partant de P_ij^N avec des arˆetes dont la pond´eration est ´egale ou sup´erieure `a α

10: Cr´eer une partition P en consid´erant les C composantes connexes. Retourner La partition P = {P1, ..., PC}.

Enfin, nous proposons la propagation de labels avec d´etection de cœurs sans barrage, not´ee CDLP. La complexit´e de l’algorithme est en O(N × k × (n + m)), o`u k est le nombre d’it´erations pour les diff´erentes propagations de labels. Nous donnons un exemple de la propagation de labels avec d´etection de cœurs `a la Figure 3.8. Dans cet exemple, une seule matrice de fr´equence est aliment´ee par diff´erentes propagations de labels. On voit que la matrice de fr´equence donne une matrice par bloc, avec des valeurs diff´erentes entre certaines paires de nœuds permettant de voir les deux structures communautaires. En faisant varier α de 0 `a 1 pour obtenir un dendrogramme, on s’aper¸coit que des valeurs diff´erentes de α donnent parfois de mˆemes partitions. Nous utilisons les mesures non

su-Figure 3.7 – Exemple de la propagation de labels avec barrages utilisant la stabilisation

pervis´ees de modularit´e et de conductance pour retourner la partition selon la valeur de α. L’objectif d’utiliser le CDLP dans nos futures exp´erimentations est d’observer si des barrages peuvent donner de meilleurs r´esultats en termes de qualit´e de partitionnement.

Algorithme 5 CDLP

Param`etres : Un graphe G = (V, E), un seuil α, N le nombre de propagations de labels

Sortie : communaut´es de G

Allocation d’une matrice de fr´equence vide

2: Lancer N fois la propagation de labels asynchrone.

Remplir la matrice de fr´equence avec les r´esultats des diff´erentes propaga-tions de labels.

4: Cr´eer un nouveau graphe G⁰ = (V, E⁰) en partant de P_ij^N avec des arˆetes dont la pond´eration est ´egale ou sup´erieure `a α

Cre´er une partition P en consid´erant les C composantes connexes.

Figure 3.8 – Exemple de la propagation de labels avec d´etection de cœurs