4.3 Opérateur divergence discret
5.1.3 Propagation d'un vortex
Vortex statique
Dorénavant, nous utilisons le ltrage d'ordre 10 lors de la résolution. Le test précédent est un test
de déplacement sans déformation de la solution initiale. Dans [66], un autre test est construit pour que
la condition initiale soit déformée au l du temps. On considère(λC, θC)∈S2
a un point de la sphère.
Le test consiste à suivre la propagation de deux vortex diamétralement opposés dont l'un est situé
en (λC, θC). Les deux vortex s'enroulent autour de leurs centres respectifs au l du temps, rendant la
solution de plus en plus dicile à représenter sur un maillage xe.
L'objectif est de résoudre l'équation (5.1) avec le champc donné par l'équation :
cr(x) =c(x) =ureλ+vreθ (5.38)
où ur, vr: (x)∈S2
a7→ur(x), vr(x)∈Rsont les fonctions dénies par
ur(λ, θ) = aωr(θ0) [sinθCcosθ−cosθCcos(λ−λC) sinθ]
vr(λ, θ) = aωr(θ0) [cosθCsin(λ−λC)] (5.39)
où(λ0, θ0) sont les coordonnées longitude-latitude associées au pôle Nord placé en(λC, θC). On déduit
ces valeurs grâce aux équations (5.8). La vitesse de rotation du vortex est dénie paraωr(θ0) avec la
fonction ωr dénie par
ωr(θ0) =
V /aρ siρ6= 0
0 sinon. (5.40)
où ρ = ρ0cos(θ0) est une pseudo-distance au centre du vortex et V =u0
3√3
2 sech2(ρ)tanh(ρ). Noter
que 3
√
3
2 est une constante de normalisation. On choisit u0 = 2πa/(12jours) etρ0 = 3.
Une solution exacte de (5.1) est donnée par
h(t, λ, θ) = 1−tanh
ρ
γ sin(λ
0−ωr(θ0)t)
(5.41)
où γ est une constante inuençant le gradient de la solution. Comme dans l'article [66], on choisit
N e1 e2 e∞
40 1.2170(−3) 5.2773(−3) 3.8615(−2)
50 4.4810(−4) 2.1100(−3) 1.6306(−2)
60 1.6313(−4) 8.2236(−4) 6.5687(−3)
80 2.8658(−5) 1.4710(−4) 1.4042(−3)
100 8.7526(−6) 4.1919(−5) 4.1512(−4)
150 1.1105(−6) 5.7646(−6) 6.2903(−5)
Ordre estimé 5.40 5.30 4.98
Table 5.5 Erreur et taux de convergence pour le test du vortex stationnaire sur 12 jours pour
l'équation (5.1) en normesk · k1,k · k2 etk · k∞, CFL= 0.7[66], le ltre est d'ordre 10. Le vortex est
localisé en(λC, θC) = (π/4, π/4). La convergence se fait à un ordre supérieur ou égal à 5.
Figure 5.5 Erreur et taux de convergence pour le test du vortex stationnaire sur l'équation (5.1) en
normesk · k1,k · k2 etk · k∞ et en fonction de ∆ =a∆ξ, avec CFL = 0.7 [66], le ltre est d'ordre 10.
Le vortex est localisé en (λC, θC) = (π/4, π/4). L'ordre de convergence est d'environ 5 pour la norme
Sur la Table 5.5 et la Figure 5.5, on donne la convergence pour ce test avec(λC, θC) = (π/4, π/4).
Les centres des vortex sont alors placés proches des coins de la Cubed-Sphere. La convergence se fait
à un ordre supérieur ou égal à5.
Sur une grille grossière (N = 36 correspondant à l'équateur à ∆λ= 2.5deg.), on compare l'erreur
au cours du temps pour deux valeurs diérentes du pas de temps ∆t. Les résultats sont donnés sur
la Figure 5.6. Lorsque CFL =u0∆t/a∆ξ = 0.5, il y a 288 pas de temps pour arriver au temps nal.
Lorsque CFL = u0∆t/a∆ξ = 0.05, il y a 2880 pas de temps. Les erreurs obtenues sont tout a fait
comparables à celles obtenues par la méthode de Galerkin Discontinu [64]. Avec 288 pas de temps,
les erreurs spatiales et temporelles sont observées simultanément. L'erreur est sensiblement meilleure
lorsque 2880 pas de temps sont utilisés.
Figure 5.6 Evolution de l'erreur sur t = 12 jours pour le cas test du vortex [66] avec (λC, θC) =
(π/4, π/4). Les paramètres numériques sontN = 40, le ltrage utilisé est d'ordre10. Le pas de temps
est déduit des relations CFL= 0.5 (gauche), et CFL=u0∆t/∆ξ = 0.05(droite).
Sur la Figure 5.7, on représente la solution hn au temps t = 12 jours ainsi que l'erreur spatiale
hn−h(tn,·)∗ sur un maillage de paramètre N = 40. L'erreur est localisée au centre du vortex. Ce
résultat était attendu, le vortex devient de plus en plus n lorsquetgrandit et la solution devient sous
résolue. On vérie cela sur la Figure 5.8 : on représente, au temps t = 12 jours, une coupe le long
de l'équateur de la solution lorsque (λC, θC) = (3π/4,0). On observe qu'avec une grille de paramètre
N = 25, la solution est sous représentée en comparaison à une grille de paramètreN = 50.
Figure 5.7 Solution au temps t= 12jours pour le vortex statique [66] avec (λC, θC) = (π/4, π/4).
Les paramètres numériques sontN = 40et CFL= 0.7, le ltrage utilisé est d'ordre10. La solutionhn
Figure 5.8 Coupe le long de l'équateur de la solution au temps t = 12 jours pour le cas test du
vortex [66] avec(λC, θC) = (3π/4,0). Le pas de temps est issu de CFL= 0.7 et ltrage d'ordre 10. La
solution sur grille grossière est moins bien représentée que celle sur grille ne.
Vortex avec rotation solide
Une variante du test [66] consiste à combiner la vitesse de rotation solide cs (5.31) avec la vitesse
de rotation du vortexcr(5.38). Il s'agit du test présenté dans [64]. On considère l'équation d'advection
(5.1) munie du champ de vitesse
c(t,x) =ueλ+veθ (5.42)
où les fonctionsu etv dépendent à présent du temps par
u(t, λ, θ) = u0(cosθcosα+ sinθcosλsinα) +aωr(sinθC(t) cosθ−cosθC(t) cos(λ−λC(t)) sinθ)
v(t, λ, θ) = −u0sinλsinα+aωr(cosθC(t) sin(λ−λC(t))),
(5.43)
La donnée (λC(t), θC(t)) ∈S2
a correspond à la position du vortex au l du temps. Cette dernière est
donnée dans la base "tournée" d'un angleα par
λ0C(t) = λ00+ωst
θC0 (t) = θ00 (5.44)
avec (λ00, θ00) la position initiale du vortex statique dans la base associée à (λP, θP) = (π, π/2−α).
Dans le système de coordonnées longitude latitude associé au pôle NordN, on a (λ0, θ0) = (3π/2,0).
ωs=u0/aest la vitesse de rotation solide du vortex.
La solution exacte est alors donnée par (5.41) en déplaçant la position du vortex au l du temps
t. On note (λ, θ) les coordonnées longitude-latitude de x ∈ S2
a. La solution exacte en x et au temps
t >0, notéeh(t,x), est calculée de la façon suivante :
1. Calculer (λ0, θ0) les coordonnées longitude-latitude associées au pôle de coordonnées (λP, θP) =
(π, π/2−α). Pour cela, on utilise la formule (5.8).
2. Déplacer (λ0, θ0) sur la position du vortex par
λ0s = λ0−ωst
θs0 = θ0. (5.45)
Il s'agit de l'action de la rotation solide.
3. Calcul de(λs, θs)en revenant dans le système de coordonnées longitude-latitude grâce à la formule
(5.9) avec (λP, θP) = (π, π/2−α).
4. Calcul de (λ00s, θ00s) déduit de (λs, θs). Le point de coordonnées longitude latitude (λs, θs) a pour
coordonnées longitude latitude(λ00s, θs00)(pour le pôle de coordonnées (λC, θC) donné par (5.44))
grâce à la formule (5.8).
5. Calculer la solution exacte h(t, λ, θ) par
h(t, λ, θ) = 1−tanh
ρ
γ sin(λ
00
s−ωr(θ00s)t)
, (5.46)
avec ωr donné par
ωr=
V /(aρ) siρ6= 0
0 sinon, (5.47)
etρ=ρ0cos(θs00)ainsi que V =u0
3√3
2 sech2(ρ)tanh(ρ).
La solution exacte représente un vortex s'enroulant sur lui même. Les détails sont de plus en plus ns
et à grille xée, elle devient dicile à représenter. De plus, le centre des vortex se déplace sur un grand
cercle de la sphère. En fonction de la valeur deα, les vortex passent plus ou moins loin des coins de la
Cubed-Sphere.
Sur la Figure 5.9, on représente la solution aux temps t= 3,t = 6,t = 9 et t= 12 jours lorsque
α=π/4. On y observe le déplacement des vortex le long d'un grand cercle longeant les panels (V) et
(V I).
Sur la Table 5.6 et la Figure 5.10, on représente le taux de convergence en utilisant diérentes
tailles de grilles et en conservant CFL= 0.7. On choisitα=π/4de manière à ce que les vortex longent
les bords des panels comme c'est visible sur la Figure 5.9. Un tel choix vise à mettre en diculté la
méthode de résolution en faisant passer les détails ns de la solution sur les bords des panels. Les
résultats permettent d'observer un ordre de convergence proche de 4en norme k · k1 etk · k2. L'ordre
de convergence est proche de3.5 pour la normek · k∞.
N e1 e2 e∞
40 2.9241(−3) 1.0646(−2) 5.7267(−2)
50 1.3634(−3) 5.3187(−3) 3.3187(−2)
60 6.6453(−4) 2.7522(−3) 1.8792(−2)
80 2.0635(−4) 8.8170(−4) 6.3350(−3)
100 8.2353(−5) 3.5454(−4) 2.7479(−3)
150 1.6044(−5) 7.0918(−5) 5.9455(−4)
Ordre estimé 3.98 3.84 3.52
Table 5.6 Erreur pour le test vortex avec rotation solide. On donne diérentes erreurs et taux de
convergence pour l'équation (5.1) avec le champ de vitesse (5.43) en norme1,2 et∞, CFL= 0.7. On
choisitα=π/4et le temps nal t= 12jours. Nous utilisons l'opérateur de ltrage d'ordre 10.
On a vu que le vortex statique est dicile à représenter lorsque taugmente. Le vortex en rotation
représente la même fonction se déplaçant sur la sphère. La solution du vortex en rotation est aussi
dicile à représenter lorsque tcroît. Sur la Figure 5.11, on représente l'historique de l'erreur relative
jusqu'à t = 24 jours. Le temps nal pour ce test est usuellement t = 12 jours, mais on observe
le comportement du schéma sur un temps plus long. Les résultats sont obtenus avec CFL = 0.7,
l'obtention de résultats pour 24 jours sont obtenus après 457 pas de temps. Pour la grille de taille
40×40×6, l'erreur nale est de15.95%en normek · k∞,3.67%pour la norme k · k2 et1.36%en norme
k · k1. Pour la grille 80×80×6, on eectue 914 pas de temps pour arriver au temps t = 24 jours.
L'erreur nale est de9.63%en norme k · k∞,1.69%pour la norme k · k2 et0.45% en normek · k1.
Les erreurs au temps t= 12 jours sont comparables à celles obtenues par la méthode de Galerkin
discontinue [64]. Nous comparons aussi notre schéma à des schémas de type volumes nis d'ordre élevé
Figure 5.9 Vortex avec rotation solide de [64]. On représente la solution (5.46) de l'équation de
transport (5.1) avec le champ de vitesse (5.43) avec une grille de paramètre N = 40. On représente la
solutions aux temps t= 3,t= 6,t = 9 ett = 12jours (dans cet ordre, de haut en bas). En plus du
déplacement des tourbillons, on observe que lors de la formation du vortex, la solution devient dicile
à représenter.
Figure 5.10 Erreur pour le vortex avec rotation solide en fonction de ∆ = a∆ξ. On représente
l'erreur et le taux de convergence pour l'équation (5.1) avec le champ de vitesse (5.43) en norme1,2
et∞, CFL= 0.7, l'opérateur de ltrage est d'ordre 10. L'angle α estα=π/4 et le temps nalt= 12
jours. L'odre de convergence est proche de 4 pour les normesk · k1 et k · k2. Il est proche de 3.5 pour
la norme k · k∞.
Figure 5.11 Historique de l'erreur pour le test du vortex avec rotation solide. On représente
l'histo-rique de l'erreur pour l'équation (5.1) avec le champ de vitesse (5.43) en norme k · k1,k · k2 etk · k∞
avec CFL= 0.7, le ltrage est d'ordre 10. On choisit α=π/4. Le temps nal estt= 24jours. La grille
est 40×40×6, 457 pas de temps (gauche), la grille est 80×80×6, l'algorithme eectue 914 pas de
temps (droite). Sur la grille 80×80×6, l'erreur est en dessous de 10%ce qui demeure acceptable.
[51]. Nous comparons les résultats au temps t = 12 jours. Les schémas volumes nis sont nommés
WENO5 et KL4 dans [51]. Nous utilisons toujours α = π/4. Sur la grille 80×80×6 et après 750
pas de temps, le schéma WENO5 donne les erreurs relatives suivantes : e1 = 0.0021,e2 = 0.0043 et
e∞ = 0.0191. Le schéma KL4 obtient, dans le même contexte, les erreurs e1 = 0.0021, e2 = 0.0043
et e∞ = 0.0194. Avec notre schéma, on obtient e1 = 1.67(−4), e2 = 7.23(−4) ete∞ = 5.75(−3). Les
niveaux d'erreurs obtenus sont plus faibles que ceux obtenus par les méthodes de volumes nis WENO5
et KL4.
Dans le document
Schémas compacts hermitiens sur la Sphère : applications en climatologie et océanographie numérique
(Page 181-188)