Prolongement par continuit´e d’une application uniform´e-

continue de (F, d) `a valeurs dans un espace m´etrique (G, ). Le probl`eme est de trou-ver des prolongements continus def `a l’espaceE entier, c’est-`a-dire des applications f˜, continues de (E, d) dans (G, ), dont la restriction `a F est ´egale `a E.

La permi`ere constatation simple est que, puisque F est dense dans E, un tel prolongement ˜f est unique, s’il existe. Le th´eor`eme suivant fournit une condition suffisante pour l’existence de ˜f.

Th´eor`eme 4.34 (Prolongement par continuit´e) On suppose que F est dense dans E, queG est complet, et que f est uniform´ement continue deF dans G. Alors il existe une application continue f˜et une seule, de E dans G, dont la restriction

`a F est ´egale `a f. Cette application f˜est elle-mˆeme uniform´ement continue de E dans G.

D´emonstration. Il s’agit tout d’abord de d´efinir ˜f(x), pour tout x 2 E\F. Soit donc x2 E\F. L’espace F ´etant dense dansE, on peut choisir une suite (xn)n2N

d’´el´ements de F qui converge vers x. L’application f ´etant uniform´ement continue, elle transforme une suite de Cauchy en une suite de Cauchy. Puisque la suite (xn) converge, elle est de Cauchy. Donc la suite (f(xn))n2N est une suite de Cauchy dans l’espace complet G; donc elle converge vers une limite y 2 G. Nous posons alors f˜(x) =y. Pour que cette d´efinition soit consistante, il faut v´erifier que le point y ne d´epend pas du choix de la suite (xn) de F qui converge vers x. Soit pour cela (x⁰_n) une autre suite de F qui converge vers x et soit y⁰ la limite de la suite (f(x⁰_n))_n2N. Soit enfin " >0. Nous allons v´erifier que (y, y⁰)<". Soit d’abordM 2 N tel que, pour tout n M, (f(xn), y) < "/3 et (f(x⁰_n), y⁰) < "/3. L’application f ´etant uniform´ement continue sur F, on peut choisir de plus ⌘ > 0 tel que, pour tous z, z⁰ 2 F, d(z, z⁰) < ⌘ ) (f(z), f(z⁰)) < "/3. Choisissons enfin N 2 N tel que, pour tous n N,d(xn, x)<⌘/2 et d(x⁰_n, x)<⌘/2. Alors, sin est un entier tel que n max(N, M), on a

d(xn, x⁰_n)d(xn, x) +d(x, x⁰_n)<⌘, donc (f(xn), f(x⁰_n))<"/3 et, par cons´equent,

(y, y⁰) (y, f(xn)) + (f(xn), f(x⁰_n)) + (f(x⁰_n), y⁰)<".

Donc (y, y⁰) < ", et ceci pour tout " > 0. Donc y = y⁰. L’application ˜f est donc d´efinie sans ambig¨uit´e. Il reste `a v´erifier qu’elle est uniform´ement continue. Soit pour

cela ">0 et soit ⌘>0 tel que, pour tous x, x⁰ 2F,

d(x, x⁰)<⌘ ) (f(x), f(x⁰))<".

Soient maintenant x, x⁰ deux points de E tels que d(x, x⁰) <⌘ et soient (xn)n2N et (x⁰_n)n2N deux suites de F qui convergent vers, respectivement, x et x⁰. Choisissons un entier N 2N tel que, pour tousn N,d(x, x_n)<(⌘ d(x, x⁰))/2 etd(x⁰, x⁰_n)<

(⌘ d(x, x⁰))/2. Alors, pour n N, on d(xn, x⁰_n)< ⌘ et donc (f(xn), f(x⁰_n)) <".

Un passage `a la limite lorsque n tend vers l’infini montre alors que (y, y⁰) ", ce qui d´emontre que ˜f est uniform´ement continue.

Exercice D´emontrer que, si de plus f est lipschitzienne, alors ˜f l’est aussi.

Toute application lin´eaire continue ´etant lipschitzienne et donc uniform´ement continue, on d´eduit du th´eor`eme ci-dessus le corollaire qui suit :

Corollaire 4.35 Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norm´e E et soit f une application lin´eaire continue de F dans un espace vectoriel norm´e G.

Si F est dense dans E et si G est complet, alors il existe une application lin´eaire continue f˜et une seule de E dans G dont la restriction `aF est ´egale `a f. De plus, kf˜k=kfk.

D´emonstration. La seule chose `a d´emontrer est que l’application ˜f dont l’existence et l’unicit´e sont garanties par le th´eor`eme ci-dessus est lin´eaire et que les normes de f et de ˜f sont ´egales. La lin´earit´e se d´emontre sans difficult´e : si x, x⁰ 2 E et , µ 2 K, si de plus la suite (xn)_n2N est une suite de F qui tend vers x et (x⁰_n)_n2N est une suite de F qui tend vers x⁰, alors la suite ( xn+µx⁰_n)n2N est une suite deF qui tend vers x+µx⁰. Donc, par construction de ˜f,

f˜( x+µy) = lim

n!+1f( xn+µx⁰_n) = f(x) +˜ µf˜(x⁰).

(La derni`ere ´egalit´e provient de la lin´earit´e de f et de la d´efinition de ˜f(x) et de f˜(x⁰).) Donc ˜f est lin´eaire. D´eterminons enfin sa norme. On a :

kf˜k= sup

x2E,kxk=1kf(x)˜ k.

Comme F ⇢ E et comme f et ˜f co¨ıncident sur F, alors clairement, kfk  kf˜k. V´erifions l’in´egalit´e inverse. Soit x un vecteur de E de norme 1 et soit (xn)n2N une suite de F qui converge versx. Pour tout n2N, on a :

kf˜(xn)k=kf(xn)k  kfkkxnk.

En faisant tendre n vers l’infini, ce qui est possible car toutes les applications consid´er´ees ici sont continues, on obtient kf(x)˜ k  kfkkxk. Donc kf˜k  kfk. Application : l’int´egrale de Riemann de fonctions `a valeurs dans un espace de Banach (exercice) Soient [a, b] un intervalle de R et E un espace de Banach. On cherche `a d´efinir l’int´egrale d’une fonction continue et plus g´en´eralement d’une fonction r´egl´ee de [a, b] dansE.

1. Int´egrale d’une fonction en escalier. Une fonction en escalier de [a, b] dans E est une fonction constante par morceaux, c’est-`a-dire une fonction telle qu’il existe une subdivision x0 = a < x1 <· · · < xn = b de l’intervalle [a, b] et des vecteurs v1, . . . , vn 1 de E tels que, pour tout i  n 1 et tout x 2]xi, xi+1[, f(x) =vi. On d´efinit alors l’int´egrale def sur [a, b] par

I(f) = Z b

a

f(x)dx=

n 1

X

i=0

(xi+1 xi)vi.

On noteE l’espace vectoriel des fonctions en escalier sur [a, b], que l’on munit de la norme uniforme :kfk1 = sup_x2[a,b]kf(x)k. V´erifier queI est une application lin´eaire continue de E dansE, de norme b a. V´erifier ´egalement que sif 2E, alors pour ↵, , r´eels quelconques dans [a, b],

Z (relation de Chasles), o`u l’on convient de noter, si u > v,

Z v

2. Une fonction de [a, b] dans E est dite r´egl´ee si et seulement si elle est la li-mite uniforme d’une suite de fonctions en escalier. V´erifier que toute fonction continue de [a, b] dans E est r´egl´ee.

3. Soit R l’ensemble des fonctions r´egl´ees de [a, b] dans E. D´emontrer que R est un sous-espace ferm´e de l’espaceF_b([a, b], E) muni de la norme uniforme. Ainsi, R muni de la norme uniforme est un espace de Banach.

4. Int´egrale d’une fonction r´egl´ee.D´emontrer queI se prolonge de mani`ere unique surRen une application lin´eaire continueJ de normeb a. Pour chaquef 2R, l’image de f par cette application est ´evidemment not´ee

J(f) = Z b

a

f(x)dx.

5. V´erifier que la relation de Chasles ´ecrite plus haut est valable pour toutes les fonctions r´egl´ees. V´erifier ´egalement que si F est une forme lin´eaire continue sur E et si f 2R, alors F f est une fonction r´egl´ee de [a, b] dans K et

F(J(f)) = Z b

a

F(f(x))dx.

6. D´emontrer que pour toute fonction f deR, Z b

a

f(x)dx  Z b

a kf(x)kdx.

4.5. Le th´eor`eme de Baire SoitX un espace m´etrique quelconque. Deux joueurs,