Z t 0 Z T3×R3 ξ· ufεγη(ξ)dξdxds. Le premier terme tend vers 0 d’après le lemme 3.5.3, et le dernier terme tend vers
Z t 0
Z
T3×R3
ξ·ufγη(ξ)dξdxds par convergence faible−⋆. On a alors
lim ε→0 Z t 0 Z T3×R3 ξ· uεfεdξdxds = lim ε→0 Z t 0 Z T3×R3 ξ· ufε(1 − γη(ξ))dξdxds + Z t 0 Z T3×R3 ξ· ufγη(ξ)dξdxds, et donc lim ε→0 Z t 0 Z T3×R3 ξ· uεfεdξdxds − Z t 0 Z T3×R3 ξ· ufdξdxds = lim ε→0 Z t 0 Z T3×R3 ξ· ufε(1 − γη(ξ))dξdxds + Z t 0 Z T3×R3 ξ· uf(γη(ξ) − 1)dξdxds. Or par un calcul analogue à celui fait pour le terme Aη
ε au début de la preuve du lemme 3.5.3, les deux termes de droite peuvent être rendus aussi petits qu’on veut par un choix de η adéquat. Ce qui démontre l’inégalité (3.70).
3.5.8 Prolongement de la solution et existence globale
On démontre dans cette section qu’on peut prolonger la solution construite par la proposition 3.5.1 sur un intervalle [0, T ] quelconque. Soit (ρ, u, f) la solution obtenue sur un temps local t1donné par le lemme de Grönwall non linéaire dans la démonstration : t1= t⋆ 12k√1 + ρinuink2
2+1
partout en temps u(t, ·) ∈ L2(T3), ρ(t, ·) ∈ L53(T3)2, f(t, ·, ·) ∈ L∞(T3× R3), et également M2f (t1) < ∞ et R
T3ρ(t1)|u1(t, ·)|2< ∞. Ainsi, quelque soit σ > 0, il existe t0∈]t1− σ, t1[ tel que (ρ(t0, ·)), u(t0, ·), f(t0, ·, ·)) sont des conditions initiales admissibles pour la proposition 3.5.1.
On peut donc construire grâce à la proposition 3.5.1 une solution qui démarre des données à l’instant t0
et qui prolonge (ρ, u, f) sur l’intervalle [0, t0+ t2]. Où le temps t2est le temps d’existence locale donné par la proposition 3.5.1. Ce processus peut alors être répété indéfiniment. D’autre part, d’après la remarque 3.5.1 le temps d’existence t⋆dépend de manière décroissante de la quantité 1
2kp1 + ρε inuεink2
2+1
2M2(fin) + kfink∞. Et par l’inégalité (3.67) et l’estimation (3.54) on déduit alors que les temps de prolongement t2, t3... sont minorés par ¯t = t⋆ 12kp1 + ρε
inuεink2 2+1
2M2(fin) + kfink∞e2T. Ainsi il suffit de choisir σ < ¯t
2 à chaque prolongement pour pouvoir atteindre un intervalle d’existence de solution [0, T ] quelconque.
On a alors démontré le théorème suivant :
Théorème 3.5.1. Pour tout T > 0, le système S2 formé des équations (3.1) – (3.4) et des conditions initiales (3.13) – (3.16) admet au moins une solution (ρ, f, u) faible au sens de D′(]0, T [×T3× R3) et telle que
ρ ∈ L∞([0, T ], L5/3(T3)), f ∈ L∞([0, T ] × T3× R3),
et u ∈ L2([0, T ], H1div(T3)) ∩ L∞([0, T ], L2(T3)) . Les quantités ρ, u et f sont aussi continues en temps à valeur dans des espaces H−q(T3), H−r(T3), et H−s(T3× R3) respectivement pour des valeurs de q, r et s assez grandes. Le triplet (ρ, f, u) vérifie l’estimation d’énergie
1 2 n M2f (t) + kp1 + ρ(t)u(t)k2L2(T3) o + Z t 0 k∇xu(s)k2L2(T3)ds +3 2 Z t 0 Z T3×R3|u − ξ|2f dξdxds ≤ 1 2 n M2fin+ kp1 + ρinuink2L2(T3) o , (3.72) et la borne kfkL∞([0, T ]×T3×R3)≤ e2TkfinkL∞(T3×R3).
2. La démonstration de la proposition 3.5.1 reste valable dans le cas ρin∈ L53(T3), du moment que k√1 + ρinuink2 2≤ ∞.
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Deuxième partie
Modèle de fuite d’un gaz en compression
sous un piston
Chapitre 4
Introduction
Pour transporter le gaz naturel à partir des lieux de production aux lieux de consommation, le moyen le plus courant de nos jours est l’acheminement du gaz dans les gazoducs. Depuis les années soixante, une nouvelle technologie est apparue dans le domaine du transport du gaz naturel. Il s’agit du transport du gaz sous forme liquide, dans des navires dits "méthaniers". Cette technique continue de se développer et est de plus en plus utilisée. Le gaz naturel liquéfié (GNL) est obtenu en refroidissant le gaz à une température de −161 degrés Celsius à la pression atmosphérique. Le méthanier emmagasine le gaz liquéfié dans un réservoir adiabatique et étanche grâce à une membrane étudiée et développée spécialement pour cette application, qui forme les parois du réservoir. Les entreprises transporteurs de GNL ont alors pour rôle de concevoir ces méthaniers et en particulier les réservoirs qui doivent résister aux différentes sollicitations et efforts lors du transport. Si les parois du réservoir sont endommagées lors du transport, le contact du gaz, transporté à une température de −161 degrés Celsius, avec la coque en acier du navire la rendra très cassante. Ceci menacera la structure du méthanier et pourra causer le naufrage du cargo. D’autre part, en mélange avec l’air, le gaz qui fuit pourra également devenir explosif à la moindre étincelle.
La cuve du méthanier partiellement remplie en GNL est siège d’un écoulement bifluide à surface libre et il y a un équilibre thermodynamique entre le GNL et le gaz évaporé remplissant le reste de la cuve. La source majeure de sollicitions sur les membranes qui forment les parois des cuves sont les vagues de liquide, créées par le ballottement du GNL dans la cuve. Ces vagues, lorsqu’elles viennent impacter les parois, créent des pics de pression à l’instant ou au voisinage du moment de l’impact. L’étude physique, expérimentale et numérique de ce phénomène a alors pour rôle de prévoir les valeurs de ces pics de pression en modélisant et en simulant la création de ces vagues lors du mouvement du navire et surtout en étudiant le comportement des valeurs des pics de pression selon les différents types d’impacts possibles.
L’entreprise GTT, concepteur de technologie pour les cuves de méthaniers, réalise des tests expérimentaux à une échelle 1 : 40 pour simuler le ballotement du GNL et l’impact des vagues de GNL sur les parois. Les enregistrements des pressions sur les parois permettent d’obtenir des statistiques sur les valeurs des pics de pression atteintes. La question qui se pose pour mener et exploiter ces études expérimentales est la mise à l’échelle des grandeurs physiques et des propriétés des fluides pour reproduire le plus fidèlement possible les conditions du transport du GNL. Pour l’écoulement global il suffit de mettre à l’échelle le temps et l’espace en conservant le nombre de Froude gouvernant l’écoulement à surface libre [1, 2, 3]. Cependant, quand on s’intéresse à l’impact des vagues sur les parois de la cuve, d’autres phénomènes physiques rentrent en jeu et le changement d’échelle doit prendre en compte ceux qui ont un rôle important dans la détermination des pics de pression sur le mur. Dans [1] Braeunig et al. listent six phénomènes physiques pouvant avoir lieu lors de l’impact :
– P1 : Transmission de la quantité de mouvement de la vague liquide au gaz et fuite du gaz entre le front de la vague et le mur.
– P2 : Compression du gaz à la dernière phase de l’impact. Le gaz est soit piégé par le fluide ou continue à fuir.
– P4 : Echange de quantité de mouvement entre le liquide et le mur pendant l’impact.
– P5 : Possibilité de création d’une onde de pression dans le liquide, et d’une onde de déformation dans le mur après l’impact.
– P6 : Effet hydro-élastique de l’interaction fluide-structure durant l’impact.
Les nombres sans dimension à conserver lors de la mise à l’échelle dépendent des phénomènes physiques que l’on juge importants et qu’on pense gouverner les conditions d’impact et surtout la valeur du pic de pression. Plusieurs études se sont intéressées aux phénomènes P1 à P6 pour d’une part trouver les nombres sans dimension qui gouvernent ces phénomènes et d’autre part comprendre l’effet des paramètres sur la pression maximale atteinte au mur Pmax.