Projection sur l’ensemble d’arriv´ ee

Nous reprenons les notations de la Section 3 : M est suppos´ee minimale en tout point, T_p(f ) et deg_pf sont d´efinis comme `a la Section 1.

Dans cette section, nous ´etudions de fa¸con plus pr´ecise la g´eom´etrie de l’ensemble analytique complexe T_p(f ) au voisinage de (p, p⁰) :

Lemme 4.1. Si deg_zf est constant au voisinage de p dans M , il existe Σ ⊂ M un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour tout point q ∈ M \ Σ suffisam-ment proche de p, T_p(f ) est r´egulier en (q, f (q)).

D´emonstration. Notons s le degr´e d’analyticit´e partielle de f en p. Soit S := Sing T_p(f ) l’ensemble des points singuliers de T_p(f ). C’est un ensemble analytique complexe de dimension strictement inf´erieure `a dim T<sub>p</sub>(f ) = n + s. Il s’agit de v´erifier que Γ<sub>f</sub>∩ S est un ferm´e d’int´erieur vide du graphe Γ<sub>f</sub> de f au voisinage de (p, p<sup>0</sup>). C’est ´evidemment un ferm´e. Supposons, par l’absurde, qu’il existe une suite q<sub>n</sub> → p de points de M tels que pour tout n, il existe un voisinage de (q<sub>n</sub>, f (q<sub>n</sub>)) dans Γ<sub>f</sub> inclus dans S. Alors, S est un ensemble analytique complexe de dimension < n + s contenant Γ<sub>f</sub> au voisinage de (q<sub>n</sub>, f (q<sub>n</sub>)), et donc deg<sub>qn</sub>f < s. Comme q<sub>n</sub> → p, ceci est en contradiction avec le fait que deg<sub>z</sub>f est constant ´egal `a s au voisinage de p dans M .

Il existe donc un voisinage U de p dans Cⁿ et un voisinage V de p⁰ dans Cⁿ

0

tels que Γf ∩ S ∩ (U × V ) est un ferm´e d’int´erieur vide de Γf ∩ (U × V ). Notons π : Cⁿ×Cn0

→ Cnla projection canonique et Σ := π(Γ_f∩S ∩(U ×V )). Comme π|_Γf est un diff´eomorphisme sur M , Σ est un ferm´e d’int´erieur vide de M ∩ U qui satisfait les propri´et´es demand´ees.

Lemme 4.2. Si deg_zf est constant ´egal `a s au voisinage de p dans M , il existe Σ ⊂ M un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour tout point q ∈ M \ Σ suffisamment proche de p, T_p(f ) peut ˆetre d´efini au voisinage de (q, f (q)) par (4.1) v⁰ = T_q(z, u⁰),

o`u C<sup>n0</sup> 3 z0 = (u<sup>0</sup>, v<sup>0</sup>) ∈ C<sup>s</sup>× Ct, t = n<sup>0</sup> − s, est un syst`eme de coordonn´ees holomorphes locales, Tq est holomorphe pr`es de (q, g(q)) et f = (g, h) ∈ C^s× Ct.

D´emonstration. On note π : Cⁿ× Cn⁰ → Cn la projection canonique et Γ_f le graphe de f . Soit Σ ⊂ M le ferm´e d’int´erieur vide donn´e par le Lemme 4.1 et fixons un point q ∈ M \ Σ suffisamment proche de p. Comme M est minimale en q, l’application CR f se prolonge en une application ef holomorphe sur le wedge Wq associ´e `a (q, M ) par le th´eor`eme de Tumanov (voir le Chapitre2, Th´eor`eme2.2). Le Lemme3.6prouve que le graphe Γ

e f de

4. Projection sur l’ensemble d’arriv´ee 87 e

f est inclus dans T_p(f ). Comme π|_Γ

e

f est un biholomorphisme sur W_q, ouvert de Cⁿ, le rang g´en´erique de π|Tp(f ) est ´egal `a n.

Le lieu de branchement de π|_{Tp(f )}, not´e B := {(z, z⁰) ∈ T_p(f ) : rg_(z,z0)π|_{Tp(f )} < n}, est un sous-ensemble analytique complexe strict de T_p(f ). Le mˆeme argument que pour S = Sing Tp(f ) dans la d´emonstration du Lemme4.1prouve que Γf∩B est un ferm´e d’int´erieur vide de Γf au voisinage de (q, f (q)) et qu’il existe un voisinage U⁰ de q dans Cn et un voisinage V⁰ de f (q) dans Cn⁰ tels que Σ⁰ := π(Γ_f ∩ B ∩ (U0× V0)) est un ferm´e d’int´erieur vide de M ∩ U⁰. Pour tout point q⁰ ∈ (M ∩ U0) \ Σ⁰, le rang de π|T_p(f ) est alors constant ´egal `a n au voisinage de (q<sup>0</sup>, f (q<sup>0</sup>)) et le th´eor`eme des fonctions implicites holomorphe termine la d´emonstration du Lemme 4.2.

Remarque 4.3. Nous avons pu obtenir l’´ecriture (4.1) de T_p(f ) sous forme de graphe en proc´edant en deux ´etapes (Lemmes 4.1 et 4.2). Cette m´ethode est `a rapprocher du Chapitre 1, Lemme 4.2, o`u de la mˆeme fa¸con, on “´evite” tout d’abord le lieu singulier d’un ensemble analytique complexe, puis le lieu de branchement de la projection canonique.

Dans la suite, on note π : Cⁿ × Cn0

→ Cn et π⁰ : Cⁿ × Cn0

→ Cn0

les projections canoniques et T_p(f )|_M l’ensemble analytique r´eel d´efini au voisinage de (p, p⁰) dans Cn+n⁰ par T_p(f ) ∩ π⁻¹(M ).

Nous pouvons maintenant ´enoncer une propri´et´e essentielle de l’ensemble analytique r´eel T_p(f )|_M, qui n´ecessite les r´esultats techniques de la Section2

et qui est essentielle pour la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1 :

Proposition 4.4. Si deg_zf est constant au voisinage de p dans M , il existe Σ ⊂ M un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour tout point q ∈ M \ Σ suffisamment proche de p, il existe un voisinage Ω de (q, f (q)) dans Cn+n⁰ tel que

π⁰(T_p(f )|_M ∩ Ω) ⊂ M⁰.

D´emonstration. Notons s le degr´e d’analyticit´e partielle de f en p. Soit Σ ⊂ M le ferm´e d’int´erieur vide donn´e par le Lemme 4.2 et fixons un point q ∈ M \ Σ suffisamment proche de p. D’apr`es le Lemme 4.2, T_p(f ) peut ˆetre d´efini au voisinage de (q, f (q)) par (4.1), et comme le graphe de f est inclus dans T_p(f ),

(4.2) h(z) = T_q(z, g(z)), pour tout z ∈ M proche de p.

Par ailleurs, soient ρ⁰_k(z⁰, z0) = 0, k = 1, . . . , d⁰, des ´equations analytiques r´eelles d´efinissantes pour M⁰ ⊂ Cn⁰ au voisinage de p⁰. La relation fondamen-tale f (M ) ⊂ M⁰ ´equivaut `a

pour tout z ∈ M . Alors, (4.2) et (4.3) entraˆınent que

(4.4) ρ⁰_k(g(z), T_q(z, g(z)), g(z), T_q(z, g(z))) = 0, k = 1, . . . , d⁰,

pour tout z ∈ M proche de p. Pour chaque k = 1, . . . , d⁰, on d´efinit la fonction H_k holomorphe pr`es de (q, q, g(q), g(q)) dans Cn z × Cn ζ × Cs ν × Cs w par H_k(z, ζ, ν, w) := ρ⁰_k(w, T_q(z, w), ν, T_q(ζ, ν)). Vu (4.4), H_k(z, z, g(z), g(z)) ≡ 0, k = 1, . . . , d⁰,

au voisinage de q dans Mz. Par l’absurde, si Hk(z, z, ν, w) 6≡ 0 au voisinage de (q, g(q), g(q)) dans M_z×Cs

ν×Cs

w, le Lemme2.3d´emontre l’existence d’une suite qn→ q de points de M tels que deg_qng < s ; ce qui est en contradiction avec l’hypoth`ese deg<sub>z</sub>f ≡ s pr`es de p (donc pr`es de q, pour q suffisamment proche de p). Ainsi,

(4.5) Hk(z, z, ν, w) ≡ 0, k = 1, . . . , d⁰, au voisinage de (q, g(q), g(q)) dans M_z× Cs

ν × Cs w.

Soit (z₀, z⁰₀) ∈ T_p(f ), suffisamment proche de (q, f (q)), et notons z₀⁰ = (u⁰₀, v₀⁰) ∈ Cs× Ct. Vu (4.1),

(4.6) v₀⁰ = T_q(z₀, u⁰₀). Si de plus z₀ ∈ M , (4.5) entraˆıne que

H_k(z₀, z₀, ν, w) ≡ 0, k = 1, . . . , d⁰, au voisinage de (g(q), g(q)) sur C^sν× Cs

w. En particulier, H_k(z₀, z₀, u⁰₀, u⁰₀) = 0, k = 1, . . . , d⁰, ce qui ´equivaut, par d´efinition de H_k, `a

(4.7) ρ⁰_k(u⁰₀, T_q(z₀, u⁰₀), u⁰₀, T_q(z₀, u⁰₀)) = 0, k = 1, . . . , d⁰.

Les ´equations (4.6) et (4.7) impliquent que ρ⁰_k(z₀⁰, z₀⁰) = 0, k = 1, . . . , d⁰, c’est-`

a-dire, que z₀⁰ ∈ M0. On a ainsi prouv´e qu’il existe un voisinage Ω de (q, f (q)) dans Cn+n⁰ tel que π⁰(T_p(f )|_M ∩ Ω) ⊂ M0 (cf. figure10, page 91).

5. Feuilletages holomorphes locaux 89

5. Feuilletages holomorphes locaux

Nous reprenons les notations de la Section 3 : M est suppos´ee minimale en tout point, T_p(f ) et deg_pf sont d´efinis comme `a la Section1. De plus, nous notons π : Cn× Cn⁰ → Cn et π⁰ : Cn× Cn⁰ → Cn⁰ les projections canoniques et T_p(f )|_M l’ensemble analytique r´eel d´efini au voisinage de (p, p⁰) dans Cn+n⁰

par T_p(f ) ∩ π⁻¹(M ).

Cette section est consacr´ee `a l’´etude des propri´et´es de feuilletage de l’en-semble analytique r´eel T_p(f )|_M.

Proposition 5.1. On suppose que le degr´e d’analyticit´e partielle de f est constant ´egal `a s sur un voisinage de p dans M et on note r le rang maximal de f sur ce voisinage. Alors, il existe un ferm´e d’int´erieur vide Σ ⊂ M tel que pour tout q ∈ M \ Σ suffisamment proche de p, il existe un voisinage Ω de (q, f (q)) dans Cⁿ⁺ⁿ⁰ tel que

π⁰(T_p(f )|_M ∩ Ω)

est une sous-vari´et´e analytique r´eelle de Cⁿ⁰ de dimension r⁰ ≥ r, passant par f (q), et biholomorphe au produit cart´esien N × D, o`u N est une sous-vari´et´e analytique r´eelle g´en´erique de Cν, ν ≤ n, et D est un domaine born´e de Cs. D´emonstration. Comme le probl`eme consid´er´e est local, on peut sup-poser, sans perte de g´en´eralit´e, que le degr´e d’analyticit´e partielle de f est constant sur tout M et que r est le rang maximal de f sur tout M . Nous proc´edons en quatre ´etapes :

Etape 1 : Minoration du rang de π⁰|T_p(f )|M. Le rang maximal de π⁰|_Γf est ´egal au rang maximal de f , c’est-`a-dire, ´egal `a r. Par ailleurs, comme Γ_f ⊂ T_p(f )|_M, le rang maximal r⁰ de π⁰|Tp(f )|M est n´ecessairement ≥ r. Remarquons que r⁰ est aussi le rang g´en´erique de l’application analytique r´eelle π⁰|Tp(f )|M, c’est-`a-dire qu’il est atteint en dehors d’un sous-ensemble analytique r´eel strict de T_p(f )|_M.

Etape 2 : Feuilletage canonique de T_p(f )|_M. Le Lemme4.2implique qu’il existe Σ ⊂ M un ferm´e d’int´erieur vide tel que pour tout point q ∈ M \ Σ suffisamment proche de p, il existe un voisinage Ω = U × V de (q, f (q)) dans Cⁿ× Cn⁰ tel que

T_p(f ) ∩ Ω = {(z, z⁰) ∈ U × V : v⁰ = T_q(z, u⁰)}, o`u V 3 z⁰ = (u⁰, v⁰) ∈ V1 × V2 ⊂ Cs

× Ct, t = n⁰ − s, est un syst`eme de coordonn´ees holomorphes et T_q est holomorphe dans U × V₁. En tant que graphe, T_p(f ) ∩ Ω est canoniquement biholomorphe au produit cart´esien

U × V₁ par le biholomorphisme

Φ : U × V₁ ⊂ Cn+s −→ T_p(f ) ∩ Ω ⊂ C^n+s+t (z, u⁰) 7−→ (z, u0, T (z, u⁰)).

Par cons´equent, la vari´et´e analytique r´eelle Tp(f )|M ∩ Ω est canoniquement biholomorphe (toujours par Φ) au produit cart´esien (M ∩U )×V₁; en d’autres termes, T_p(f )|_M ∩ Ω est canoniquement feuillet´ee par des vari´et´es complexes de dimension s (cf. figure 10).

Etape 3 : Transfert du feuilletage de T_p(f )|_M par π⁰. Notons Ψ l’applica-tion holomorphe

Ψ := π⁰◦ Φ : U × V₁ −→ Cn⁰

(z, u⁰) 7−→ (u0, T (z, u⁰))

et eΨ l’application analytique r´eelle eΨ := Ψ|_{(M ∩U )×V1}. D’apr`es les ´etapes 1

et2, Φ|_{(M ∩U )×V1} est un diff´eomorphisme analytique r´eel sur Tp(f )|M∩ Ω et le rang g´en´erique de π⁰|_{Tp(f )|M} est r⁰. Par suite, le rang g´en´erique de eΨ = (π⁰ ◦ Φ)|_{(M ∩U )×V1} est r⁰. Par ailleurs, comme pour chaque z ∈ M ∩ U , eΨ|_{z}×V1 est un biholomorphisme sur son image, il existe Σ⁰ ⊂ M ∩ U un ferm´e d’int´erieur vide (c’est mˆeme un sous-ensemble analytique r´eel strict de M ∩ U ) tel que

e

Ψ|_{(M ∩U \Σ}0)×V1 est de rang constant ´egal `a r⁰.

Soit q⁰ un point quelconque de M ∩ U \ Σ⁰. D’apr`es le th´eor`eme du rang (analytique r´eel), il existe un voisinage Ω⁰ = U⁰ × V⁰ de (q⁰, f (q⁰)) dans Cⁿ× Cn⁰, V⁰ = V₁⁰× V0

2 ⊂ Cs× Ct, tel que

(5.1) N⁰ := eΨ((M ∩ U⁰) × V₁⁰)

est une sous-vari´et´e analytique r´eelle de Cn⁰ de dimension r⁰. De plus, comme pour chaque z ∈ M ∩ U⁰, eΨ|{z}×V0

1 est un biholomorphisme sur son image, il existe N ⊂ M ∩ U⁰ une sous-vari´et´e analytique r´eelle de Cnde dimension r⁰− 2s et passant par q⁰, telle que eΨ|_{N ×V}0

1 est un diff´eomorphisme analytique r´eel sur N⁰. Enfin, comme Φ((M ∩U⁰)×V₁⁰) = T_p(f )|_M∩Ω0, (5.1) ´equivaut `a N⁰ = π⁰(T_p(f )|_M ∩ Ω0) (cf. figure 10). Nous avons ainsi construit une application holomorphe Ψ : U⁰× V₁⁰ ⊂ Cn

× Cs

→ Cn0

telle que la restriction Ψ|_{N ×V}0 1 est un diff´eomorphisme analytique r´eel sur N⁰ = π⁰(T_p(f )|_M ∩ Ω0), o`u N ⊂ U⁰ est une sous-vari´et´e analytique r´eelle passant par q⁰.

Etape 4 : Construction du biholomorphisme. Rappelons tout d’abord qu’une sous-vari´et´e analytique r´eelle M ⊂ C^νζ est CR g´en´eriquement, c’est-`

a-dire en dehors d’un sous-ensemble analytique r´eel strict de M. En effet, si τ_k(ζ, ζ) = 0, k = 1, . . . , δ, d´esignent des ´equations d´efinissantes analy-tiques r´eelles de M pr`es du point ζ<sub>0</sub> ∈ M et si ρ d´esigne le rang maximal de (∂τ<sub>1</sub>, . . . , ∂τ<sub>δ</sub>) pr`es de ζ₀, le lieu Σ des points ζ ∈ M proches de ζ₀ o`u

5. Feuilletages holomorphes locaux 91 π⁰ Ω h(q) M⁰ ⊂ Cn⁰ z0 0 C^su0 C^tv0 q M ⊂ Cⁿz g(q) Tp(f )|M∩ Ω f (q) U ∩ M (q, f (q)) V₁ V2 Γf∩ Ω f (U ∩ M )

Figure 10. La sous-vari´et´e analytique r´eelle T_p(f )|_M ∩ Ω est feuillet´ee par des vari´et´es complexes de dimension s ; cette structure de feuilletage se projette sur M⁰ par π⁰

M n’est pas CR est le sous-ensemble analytique r´eel strict de M d´efini par rg_ζ(∂τ₁, . . . , ∂τ_δ) < ρ.

Fixons maintenant un point ζ₁ ∈ M \ Σ. Comme M est CR analytique r´eelle pr`es de ζ1, il existe une sous-vari´et´e complexe X ⊂ C<sup>ν</sup> d´efinie au voisinage de ζ1, contenant M, et telle que M soit g´en´erique dans X. En particulier, il existe un syst`eme de coordonn´ees holomorphes locales Cν 3 ζ = (ζ⁰, ζ⁰⁰) ∈ Cν⁰ × Cν⁰⁰ au voisinage de ζ₁ = (ζ₁⁰, ζ₁⁰⁰), tel que X est d´efinie dans ces nouvelles coordonn´ees, au voisinage de (ζ₁⁰, ζ₁⁰⁰), par {ζ⁰⁰ = ζ₁⁰⁰}.

Il existe donc Σ⁰⁰ ⊂ N un sous-ensemble analytique r´eel strict tel que pour tout q⁰⁰ ∈ N \ Σ00, il existe U⁰⁰ ⊂ Cn un voisinage de q⁰⁰ tel que N ∩ U⁰⁰ est CR. Comme Ψ est holomorphe et comme Ψ|_{N ×V}0

1 est un diff´eomorphisme sur N⁰, Ψ|_{(N ∩U}00)×V₁⁰ est un CR diff´eomorphisme analytique r´eel sur N⁰; par cons´equent, N⁰ est CR au voisinage de f (q⁰⁰). De plus, quitte `a effectuer un

changement de variables holomorphes locales, centr´ees en q⁰⁰ dans Cⁿ (resp. centr´ees en f (q⁰⁰) dans Cn⁰), on peut supposer que N (resp. N⁰) est une sous-vari´et´e analytique r´eelle g´en´erique au voisinage de 0 dans Cν, ν ≤ n (resp. dans Cν⁰, ν⁰ ≤ n0).

L’application holomorphe Ψ s’´ecrit alors dans ces nouvelles coordonn´ees Ψ^∗ : U^∗ × V∗

1 → V∗, o`u U^∗ (resp. V₁^∗, V^∗) est un voisinage de 0 dans C^ν (resp. C^s, C^ν0) et Ψ^∗|_{N ×V}∗

1 est un CR diff´eomorphisme analytique r´eel sur N⁰. Comme, de plus, N × V₁^∗ (resp. N⁰) est g´en´erique dans Cν+s (resp. Cν⁰), n´ecessairement ν⁰ = ν + s et Ψ^∗ est un biholomorphisme au voisinage de 0. Cela se d´emontre facilement en utilisant les relations T₀(N × V₁^∗) + i T₀(N × V₁^∗) = C^ν+s, T₀N⁰+ i T₀N⁰ = C^ν0 et d(Ψ^∗)₀(T₀(N × V₁^∗)) = T₀N⁰.

Nous avons ainsi prouv´e que N⁰ = π⁰(Tp(f )|M ∩ Ω0) est une sous-vari´et´e analytique r´eelle de Cn⁰ de dimension r⁰ ≥ r, passant par f (q00), et biholo-morphe (par Ψ^∗) au voisinage de f (q⁰⁰) au produit cart´esien N × V₁^∗, o`u N est une sous-vari´et´e analytique r´eelle g´en´erique de C^ν, ν ≤ n, et V₁^∗ est un domaine de C^s.

6. Fin des d´emonstrations

Nous terminons maintenant les d´emonstrations des r´esultats ´enonc´es `a la Section1 :

Fin de la d´emonstration du Th´eor`eme 1.1. Il suffit de combiner les r´esultats des Sections 4 et 5. La Proposition 4.4 ´enonce que N<sup>0</sup> := π<sup>0</sup>(T<sub>p</sub>(f )|<sub>M</sub> ∩ Ω) est inclus dans M0 et la Proposition 5.1 ´etablit que N<sup>0</sup> est une sous-vari´et´e analytique r´eelle de C<sup>n0</sup> de dimension r<sup>0</sup> ≥ r, passant par f (q), et biholomorphe au produit cart´esien N × D, o`u N est une sous-vari´et´e analytique r´eelle de Cν, ν ∈ N, et D est un domaine born´e de Cs. Dans ce qui pr´ec`ede, q est un point quelconque d’un ouvert dense de M , suffisamment proche de p, et Ω est un voisinage de (q, f (q)) dans Cn+n⁰. Ainsi, nous avons prouv´e que M⁰ est (r⁰, s)-plat en f (q), pour q dans un ouvert dense de M , q suffisamment proche de p (avec r⁰ ≥ r).

D´emonstration du Corollaire 1.3. Le Th´eor`eme1.1implique, par contrapos´ee, que si deg<sub>z</sub>f est constant au voisinage de p et si M<sup>0</sup> ne contient pas de vari´et´e complexe de dimension s au voisinage de p<sup>0</sup> = f (p), deg<sub>p</sub>f < s. Par ailleurs, d’apr`es le Corollaire 3.5, il existe un ferm´e d’int´erieur vide Σ ⊂ M tel que pour tout q ∈ M \ Σ, deg_zf est constant au voisinage de q. Pour un tel q, suffisamment proche de p, M⁰ ne contient pas de vari´et´e complexe de dimension s au voisinage de f (q), et donc deg_qf < s.

6. Fin des d´emonstrations 93 D´emonstration du Corollaire 1.4. C’est un cas particulier du Co-rollaire 1.3 pour s = 1. On obtient qu’il existe un ferm´e d’int´erieur vide Σ ⊂ M tel que pour tout q ∈ M \ Σ, suffisamment proche de p, deg_qf = 0. Le Lemme 3.7 permet de conclure qu’il existe un voisinage V_q de q dans M tel que f est analytique r´eelle sur un ouvert dense de V_q, pour tout q ∈ M \Σ. Ainsi, il existe un voisinage V de p dans M tel que f est analytique r´eelle sur un ouvert dense de V (et se prolonge alors holomorphiquement `a un voisinage dans Cn de cet ouvert dense de V , d’apr`es le Chapitre 2, Lemme2.4).

D´emonstration du Corollaire 1.5. Il suffit d’appliquer le Cha-pitre 1, Corollaire1.7, en un point q ∈ M au voisinage duquel f se prolonge holomorphiquement (par le Corollaire 1.4).

D´emonstration du Corollaire 1.6. Comme f est une submersion en p, le rang de f et constant ´egal `a r := dim M<sup>0</sup> pr`es de p. Par ailleurs, comme M⁰ est s-holomorphiquement non d´eg´en´er´ee, M⁰ n’est (r, s)-plate en aucun point. Par contrapos´ee, le Th´eor`eme 1.1 implique alors que si deg<sub>z</sub>f est constant au voisinage de p dans M , deg<sub>p</sub>f < s. Comme pour la d´emonstration du Corollaire 1.3, le Corollaire 3.5 permet de conclure en se pla¸cant en un point de M o`u deg_zf est constant au voisinage.

D´emonstration du Corollaire 1.7. C’est un cas particulier du Co-rollaire 1.6 pour s = 1. Comme pour la d´emonstration du Corollaire 1.4, le Lemme 3.7 permet de conclure qu’il existe un voisinage V de p dans M tel que f est analytique r´eelle sur un ouvert dense de V (et se prolonge alors holomorphiquement `a un voisinage dans C<sup>n</sup>de cet ouvert dense de V , d’apr`es le Chapitre 2, Lemme 2.4).

Conclusion

Le travail pr´esent´e dans cette th`ese concerne l’analyticit´e et l’alg´ebricit´e d’applications CR C<sup>∞</sup>. Tout d’abord, nous avons ´etabli deux nouvelles condi-tions en termes de “premi`ere et seconde vari´et´es caract´eristiques” qui as-surent l’alg´ebricit´e d’une application holomorphe locale envoyant une vari´et´e CR alg´ebrique r´eelle dans une autre (voir le Chapitre 1). Par ailleurs, intro-duisant la notion de “vari´et´e caract´eristique” associ´ee `a une vari´et´e analy-tique r´eelle g´en´erique M , `a un ensemble analytique r´eel M⁰ et `a une appli-cation CR C<sup>∞</sup> f : M → M<sup>0</sup>, nous avons prouv´e que si M est minimale au point p ∈ M et si la vari´et´e caract´eristique en p est de dimension z´ero, f est analytique en p (voir le Chapitre2). Enfin, nous avons donn´e une estimation sup´erieure de l’analyticit´e partielle de f , en fonction des feuilletages holo-morphes locaux contenus dans M<sup>0</sup>, dans la situation o`u M est minimale ; en particulier, si M⁰ ne contient pas de courbe complexe, f est analytique sur un ouvert dense de M (voir le Chapitre 3).

Les r´esultats des Chapitres2 et3 donnent des r´eponses affirmatives par-tielles `a la conjecture suivante : Toute application CR C<sup>∞</sup>, entre une vari´et´e analytique r´eelle g´en´erique minimale et un ensemble analytique r´eel ne conte-nant pas de courbe complexe, est analytique (en tout point). Nous ´enum´erons ci-dessous des perspectives de recherche qui nous paraissent int´eressantes et qui poursuivent les id´ees d´evelopp´ees dans cette th`ese :

1. Etudier plus pr´ecis´ement la seconde vari´et´e caract´eristique V_p² introduite au Chapitre 1 dans le cadre alg´ebrique. La famille des V2

p, pour p ∈ M , est contenue dans M⁰; forme-t-elle un feuilletage holomorphe (alg´ebrique) local, dans l’esprit du Chapitre 3?

2. G´en´eraliser, dans le cadre analytique des Chapitres 2 et 3, la notion de seconde vari´et´e caract´eristique introduite au Chapitre 1 dans le cadre alg´ebrique.

3. Appliquer les notions et les m´ethodes d´evelopp´ees dans cette th`ese au probl`eme de la convergence d’une application formelle entre vari´et´es CR analytiques r´eelles. Si la g´en´eralisation au cadre formel de la (premi`ere) vari´et´e caract´eristique semble donner des r´esultats analogues `a ceux des Chapitres 1 et 2, en revanche, nous avons rencontr´e jusqu’`a pr´esent des obstacles `a une d´efinition correcte de la seconde vari´et´e caract´eristique et `a

la construction de feuilletages holomorphes locaux contenus dans M⁰. Ces obstacles sont essentiellement dus `a l’impossibilit´e dans le cadre formel de d´elocaliser le probl`eme en un point g´en´erique q ∈ M , contrairement aux situations des Chapitres1 et 3.

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