Projectile

D’après l’expression des variables dynamiques (2.52), l’initialisation du projectile repose, pour une vitesse d’impact donnée, sur la détermination de la distance initiale qui sépare le projectile à la cible et l’échantillonnage de la valeur du paramètre d’impact (par le RNG).

a- Distance de séparation initiale R0

Pour une collision H++ H(n) ou H++ H(nl), il est nécessaire de déterminer la distance de séparation initiale adéquate entre le projectile et le centre de masse de la cible : cette distance doit être suffisamment grande, mais sans excès pour éviter des temps de calcul inutilement excessifs, pour que les potentiels VP eet VP T puissent être considérés comme de faibles perturbations pour la trajectoire liée de l’électron autour du noyau-cible. D’après la géométrie de collision adoptée dans cette étude (Figure 2.9), la distance R0 entre la cible et le centre de masse de la cible au temps initial ti de collision (fixé par simplicité à ti= 0) s’écrit

R²₀= b2+ Z2

R. (4.2)

Dans le cas d’une collision entre un ion nu (de charge q_P) et l’atome d’hydrogène dans son état fondamental, Olson et Salop [46] ont évalué à l’aide de tests de convergence que cette distance peut s’exprimer sous la forme suivante

R0= 10q_Pa0, (4.3)

avec a0 le rayon de la première orbite de Bohr. En ce qui concerne nos simulations impliquant des états initialement excités de la cible et caractérisés par le nombre quantique

n, la distance initiale a été évaluée approximativement comme

R0= 50q_Pn². (4.4)

Ce critère est plus strict que celui de Olson et Salop mais assure la convergence des résultats pour tous les états initiaux considérés. Finalement nous arrivons à l’expression de ZR qui caractérise la position du projectile suivant l’axe parallèle à la vitesse d’impact

− ZR = −^qR²₀− b2. (4.5)

b- Paramètre d’impact maximal bmax

Le paramètre d’impact est déterminé en tirant aléatoirement b2 dans l’intervalle [0,b2 max], avec bmax la valeur au delà de laquelle le processus étudié a une probabilité nulle d’avoir lieu.1De nouveau, cette valeur, doit être fixée suffisamment grande pour assurer la qualité des résultats (b → +∞ dans l’absolu) mais sans excès pour éviter des temps de calculs exagérément longs, puisque la méthode de tirage aléatoire "favorise" les trajectoires à grandes valeurs de b. La détermination de bmax est donc une étape essentielle avant tout calcul de sections efficaces. Pour chaque vitesse considérée et chaque type d’état atomique initial, celui-ci a été déterminé par des séries de tests de convergence pour assurer un choix optimal permettant d’économiser le temps de calcul.

En particulier pour le cas des collisions avec une cible excitée H(n), de très nombreux tests doivent être réalisés : ceux-ci sont particulièrement longs car les temps de calcul deviennent très grands pour n croissant, et évidemment pour des hautes vitesses pour lesquelles les sections efficaces (et donc les probabilités) sont très faibles. Pour éviter de réaliser cette pénible procédure pour chaque vitesse considérée, nous avons analysé et comparé les différents bmax pour les états excités H(n) pour quelques valeurs typiques de vitesses et nous en avons tiré deux simples relations pour l’estimation de la valeur de

bmax : pour les basses vitesses, nous avons estimé la valeur de bmax comme suit

b_max= 5n2 (4.6)

1. Il faut noter que, pour b suffisamment grand, la probabilité des processus s’annule plus brusquement dans la méthode CTMC que dans les méthodes semi-classiques où la décroissance est approximativement exponentielle.

alors qu’au-delà l’expression ci-dessous a été retenue

bmax= 4,5n/v (4.7)

Afin d’illustrer ces deux relations, nous présentons dans les figures (4.1), (4.2) et (4.3) les probabilités de capture en fonction du paramètre d’impact pour les cibles H(n = 1),

H(n = 2) et H(n = 7), respectivement. La valeur de bmax calculée par la relation (4.6) est marquée par une ligne verticale en pointillé alors que celle calculée par la relation (4.7) l’est par une ligne verticale en trait plein. Comme nous pouvons remarquer dans les graphes (a), la valeur de bmax estimée par la relation (4.6) (cas des basses vitesses) est très pratique car elle se compare bien avec les résultats des tests. Pour les vitesses intermédiaires les graphes (b) et (c) montre un excellent accord avec la relation (4.7). En revanche, pour les vitesses supérieures à ≈ 0.5 u.a. (graphes (d)) la relation (4.7) ne réussit pas à bien estimer la valeur optimal de bmax et ces calculs ont nécessité une vigilance accrue pour en assurer la convergence, à la fois statistique et liée à des valeurs trop faibles de bmax.

0 1 2 3 4 5 6 0.0 1.0x10 -3 2.0x10 -3 3.0x10 -3 4.0x10 -3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.0 1.0x10 -4 2.0x10 -4 3.0x10 -4 4.0x10 -4 0 1 2 3 4 5 6 0.0 2.0x10 -3 4.0x10 -3 6.0x10 -3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.0 2.0x10 -6 4.0x10 -6 6.0x10 -6 8.0x10 -6 H(1s) 5 v=0,5 u. a. (a) H(1s) (c) 1.63 b (u. a.) v=2,75 u. a. (b) v=1,0 u. a. H(1s) 4,5 (d) 0,71 b (u. a.) v=6,3245 u. a. H(1s) b P ( b ) b P ( b )

Figure 4.1: Probabilité réduite, bP (b), de capture électronique pour la collision H+

+

H(n = 1) en fonction du paramètre d’impact pour une basse vitesse (a) ; deux vitesses intermédiaires (b) et (c)) ; une grande vitesse (d).

0 1 2 3 4 5 6 7 0.0 5.0x10 -5 1.0x10 -4 1.5x10 -4 2.0x10 -4 2.5x10 -4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.0 2.0x10 -3 4.0x10 -3 6.0x10 -3 8.0x10 -3 1.0x10 -2 1.2x10 -2 1.4x10 -2 1.6x10 -2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0 1x10 -5 2x10 -5 3x10 -5 4x10 -5 5x10 -5 6x10 -5 7x10 -5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0.0 1.0x10 -3 2.0x10 -3 3.0x10 -3 4.0x10 -3 5.0x10 -3 6.0x10 -3 7.0x10 -3 8.0x10 -3 9.0x10 -3 (c) 6 v=1,5 u. a. H(n=2) (a) (b) 18 v=0,5 u. a. H(n=2) (d) b (u.a.) b P ( b ) b P ( b ) v=2,0 u. a. b (u.a.) H(n=2) 4,5 v=0,1 u. a. H(n=2) 20

Figure 4.2: Probabilité réduite, bP (b), de capture électronique pour la collision H+

+

H(n = 2) en fonction du paramètre d’impact pour une basse vitesse (a) ; deux vitesses intermédiaires (b) et (c)) ; une grande vitesse (d).

0 50 100 150 200 250 0.0 2.0x10 -3 4.0x10 -3 6.0x10 -3 8.0x10 -3 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.0 3.0x10 -4 6.0x10 -4 9.0x10 -4 1.2x10 -3 0 5 10 15 20 25 30 0.0 4.0x10 -6 8.0x10 -6 1.2x10 -5 0 50 100 150 200 250 0.0 1.0x10 -3 2.0x10 -3 3.0x10 -3 4.0x10 -3 5.0x10 -3 6.0x10 -3 (b) H(n=7) v=0,14 u. a. 225 126 (c) b P ( b ) b (u. a.) H(n=7) v=0,25 u. a. 31,5 (d) b (u. a.) H(n=7) v=1,0 u. a. v=0,05 u. a. b P ( b ) H(n=7) 245 (a)

Figure 4.3: Probabilité réduite, bP (b), de capture électronique pour la collision H+

+

H(n = 7) en fonction du paramètre d’impact pour une basse vitesse (a) ; deux vitesses intermédiaires (b) et (c)) ; une grande vitesse (d).

c- Résolution numérique

Le système d’équations couplées (2.15) régit la dynamique de collision entre un ion nu et un atome hydrogénoïde dans un état classique donné. La résolution de ces équations diffé-rentielles a été réalisée par une méthode numérique robuste qui doit assurer une précision

des calculs tout au long des trajectoires, en assurant des temps de calcul raisonnable : nous avons choisi une méthode de type Runge-Kutta à pas variable qui se base sur le schéma de Cash-Karp (voir Annexe B). Celle-ci est disponible dans le Numerical Recipes [70] sous le nom de subroutine ODEINT. En effet, la discrétisation de l’intervalle tem-porelle est une étape très importante dans les méthodes numériques pour résoudre des équations différentielles couplées. Dans notre cas, en absence du projectile, les équations du mouvements s’intègre de façon précise pendant une période longue (typiquement su-périeure à tf− ti) en utilisant la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 avec un pas fixe raisonnable. En présence du projectile en mouvement, les interactions varient brutale-ment et il faut alors un pas bien plus petit qui augbrutale-mente de façon prohibitive les temps de calcul. C’est la raison pour laquelle nous avons été obligé d’implanter un méthode à pas variable (ODEINT) qui permet de garantir une précision équivalente des résultats avec des gains importants en temps de calcul.

Le système d’équations couplées est initialisé à l’instant initial ti = 0 suivant la procé-dure décrite plus haut et doit être résolu pas à pas sur un intervalle de temps [ti, tf] suffisamment long pour assurer que le projectile et la cible soient suffisamment éloignés l’un de l’autre pour que ces deux systèmes n’interagissent quasiment pas : les processus électroniques ayant eu éventuellement lieu peuvent être alors bien identifiés (voir Eqs. (2.53) et les conditions au-dessous) de telle sorte que les valeurs des sections efficaces correspondantes soient convergées (indépendantes de la valeur de tf). Le temps final tf

peut être approximativement évalué par la relation

t_f = R(tf)/v (4.8)

où la distance R(tf) est la distance entre le projectile et la cible qui assura la convergence des résultats. Olson et Salop ont estimé cette grandeur R(tf) à 103 qpa0 pour l’impact d’un ion de charge qP sur l’atome d’hydrogène dans son état fondamental. Pour les cibles initialement excitées H(n), nous avons généralisé cette relation sous la forme suivante

avec an le rayon de l’orbite de Bohr pour l’hydrogène excité H(n) (an= n2 a0).