Max e Burkhart (1976) desenvolveram um modelo de afilamento por funções polinomiais segmentadas com pontos de junção (αi) definidos como parâmetros da regressão, o que o faz um modelo não linear em αi, que pode ser solucionado por método proposto por Gallant e Fuller (1973), que considera uma reparametrização e imposição de restrições para que a função e suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contínuas em cada ponto de junção, ou por método de mínimos quadrados não lineares de Gauss-Newton, ou de Levenberg-Marquardt para estimar os parâmetros βi (coeficientes) e αi (pontos de junção). Foram propostos três modelos, com um e dois pontos de junção, a partir dos quais é adicionado um termo
quadrático ou linear a uma função quadrática, que pode ser expressa como segue:
y
i=β
21(x
i− +1)
β
22(x
i2− +1)
β α
23(
21−x
i)
2I
1+e
i (2.8) onde I1 = 1 para α21 ≥ xi e I1 = 0, caso contrário.
y
i=β
31(x
i− +1)
β
32(x
i2− −1)
β α
32(
31−x
i)
2I
1+β α
33(
32−x
i)
2I
2+e
i (2.9) onde Ij = 1 para α3j≥ xi e Ij = 0, caso contrário, j = 1, 2.
y
i=β
41(x
i− +1)
β
42(x
i2− +1)
β α
43(
41−x
i)
2I
1+β α
44(
42−x
i)
2I
2+e
i (2.10) onde Ij = 1 para α4j≥ xi e Ij = 0, caso contrário, j = 1, 2.Os binômios adicionados tendem a zero quando x aproxima-se do ponto de junção, o que mostra que a função será suave. Particularmente para o segundo modelo, o termo adicionado cancela a parte quadrática para a seção média do tronco no intervalo [α31, α32] tendo-se um modelo quadrático-linear-quadrático. Nesse sentido, os modelos 2.8 e 2.10 são referidos como quadrático-quadrático e quadrático-quadrático-quadrático.
O segundo modelo foi referido pelos autores como suficiente para descrever o afilamento de florestas plantadas, enquanto para florestas naturais o terceiro modelo revelou-se mais eficiente, que creditaram à maior altura média das florestas naturais, onde o último ponto de junção ocorreu em alturas mais elevadas.
Czaplewski e McClure (1988) propuseram uma modificação do modelo de Max e Burkhart, de forma a condicioná-lo para assegurar os valores de diâmetros nas alturas do DAP e da altura de classe de forma de Girard (5,3m). Os coeficientes b1 e b2 são isolados no modelo não condicionado, para os pares (du, 5,3) e (DAP, 1,3) e sua expressão é substituída no modelo original. Para o ajuste do modelo, efetuaram exaustivo estudo preliminar da localização dos pontos de junção, explorando amplo intervalo de valores plausíveis (modelo linear, arbitrando valores para os pontos de junção) e selecionando as melhores estimativas como valores iniciais no modelo não linear (com pontos de junções como parâmetros).
O modelo foi comparado com o modelo de Max e Burkhart original, para dados de loblolly pine, para estimativas de diâmetros, de alturas e de volumes. Os modelos apresentaram viés aproximadamente igual, mas o modelo condicionado proporcionou redução do desvio padrão dos resíduos entre 10% e 25%, exceto para estimativas de alturas de árvores com DAPsc menores que 10 cm. Citam que a redução de desvio padrão observada pode ser de importância prática, dependendo
do objetivo particular e do custo relativo de uma medição adicional (a 5,3m) comparada ao custo de aumento do tamanho da amostra.
Perez, Burkhart e Stiff (1990) apresentaram estudo sobre a multicolinearidade entre as variáveis independentes do modelo de função potência com expoente variável de Kozak (1988), motivados pela deficiência na predição para dados com multicolinearidade, onde os coeficientes podem não ser estimados de forma precisa com a técnica de mínimos quadrados ordinários (citam Myers, 1986).
O modelo completo foi comparado com um modelo reduzido (ambos com ponto de inflexão fixo em 0,25h) e com o modelo de Max e Burkhart (1976), para dados de Pinus oocarpa Schiede provenientes de 190 parcelas localizadas em talhões naturais representando amplo intervalo de sítios, aspectos, inclinações e elevações em região central de Honduras.
O modelo reduzido apresentou qualidade de ajuste equivalente ao completo (Erro Médio Quadrático de 0,016842 para o modelo completo e 0,016977 para o reduzido e R2 de 0,959 para ambos). Para as estatísticas relacionadas à capacidade de predição (viés médio, desvio padrão das diferenças e soma total de erro quadrático), citam que ambos apresentaram a mesma capacidade de predição ao longo do tronco.
Como resultado da capacidade de predição, os três modelos apresentaram viés conforme Figura 1 (diâmetros medidos a 0,3, 0,8 e 1,3m e outras 10 seções igualmente espaçadas a cada décimo da altura restante), que citam como evidência de melhor habilidade de predição em relação ao modelo de Max e Burkhart.
FIGURA 1 - VIÉS MÉDIO AO LONGO DO TRONCO PARA DOIS MODELOS DE AFILAMENTO KOZAK (1988) E DE MAX E BURKHART (1976)
V ié s m é d io ( c m ) Altura relativa FONTE: Perez, Burkhart e Stiff (1990)
O gráfico (redesenhado, para expressar escala de alturas relativas para uma árvore de características médias: DAP = 27 cm e h = 19 m) apresenta o modelo de Kozak (Modelo 1, completo e Modelo 2, reduzido) com viés médio negativo para a porção inferior do tronco (até 0,48h, aproximadamente) e positivo na porção superior, enquanto que o modelo de Max e Burkhart apresenta oscilações entre negativo e positivo até aproximadamente 0,6h, passando a negativo na porção superior.
Sharma e Burkhart (2003) apresentaram estudo para seleção do nível de condicionamento da função polinomial segmentada de Max e Burkhart e determinaram, para dados de Pinus taeda em parcelas de estudo de desbastes, que um modelo com oito parâmetros, condicionado para diâmetro nulo na altura total e funções adjacentes contínuas nos pontos de junção, comparado a um modelo com seis parâmetros com uma restrição adicional para suavidade, não apresentou desempenho melhor em termos de ajuste e habilidade preditiva. Assumindo pontos de inflexão predeterminados às alturas de 11% e 75% da altura total (quatro parâmetros), proporcionou um modelo superior aos modelos com seis e oito parâmetros, bem como não apresentaram alterações significativas para pontos de inflexão inferior e superior situados nos intervalos de 9 a 12% e de 70 a 80% da altura total, respectivamente.
Entre os modelos segmentados tem-se, ainda, o modelo de Clark et al. (1991), que requer medição específica à altura de classe de forma de Girard (5,3m).
As funções de afilamento segmentadas por funções spline cúbica, utilizadas tanto para árvores individuais como para ajuste global, são apresentadas no item