Profil longitudinal de vitesse centrale

Les conséquences des variations des conditions initiales sur l’évolution du jet résultant, sont abordées dans cette partie.

A. Vitesse centrale moyenne

Ce paragraphe présente l’évolution de la vitesse centrale moyenneU . Dans un _c premier temps, il est décidé de se focaliser en particulier sur ce paramètre dans la région comprise entre 0 < x/D < 5. L’évolution de la vitesse centrale U normalisée par la vitesse _c moyenne centrale initialeU est reportée en figure 4.20. Si l’on excepte l’analyse de ₀ l’extension du cœur potentiel, que l’on commentera ultérieurement, le comportement affiché par ce paramètre marque une dépendance vis-à-vis du rapport L/D.

En analysant vers les rapports L/D décroissants, il apparaît pour L/D = {53.2, 20}, que dans la zone comprise entre 0 < x/D < 3.5 la vitesse centrale diminue continûment avec une pente dont le taux varie faiblement avec le nombre de Reynolds Re_b

La réduction du rapport L/D à la gamme L/D = {7.2, 4.4} s’accompagne d’une dépendance plus marquée vis-à-vis du nombre de Reynolds Re_b avec l’apparition de 2 régimes. Dans le premier que l’on évalue entre le nombre de Reynolds 1132 < Re_b < 4527 le taux de décroissance de la vitesse moyenne augmente avec le nombre de Reynolds Re_b. Dans le second régime, situé à partir de Re_b = 4527 le taux de décroissance n’est que très peu modifié.

Enfin, le rapport L/D = 1.2 se singularise des autres longueurs étudiées. Si l’on excepte le nombre de Reynolds Reb = 1132, on note pour l’ensemble des autres Reynolds une évolution spatiale en 2 temps de la vitesse : un premier avec une diminution marquée en sortie de tube, située entre 0 < x/D < 0.5, et un second présentant un « plateau » de vitesse. L’amplitude de cette première phase de diminution varie en fonction du nombre de Reynolds, et passe d’environ 6 % de la vitesse initiale pour Reb = 1698 à moins de 1 % de la vitesse initiale pour des nombres de Reynolds Reb≥ 4527.

Ces constatations effectuées dans le cas du rapport L/D = 1.2 sont à rapprocher de celles trouvées par Todde et al. (2009) travaillant sur des jets axisymétriques issus d’un convergent encastré dans un mur. Pour une gamme de Reynolds Reb < 7000, ils ont obtenu en fonction du nombre de Reynolds 3 régimes d’évolution de la vitesse centrale :

- Mise en place d’une chute de vitesse + plateau pour des Reynolds de Re_b 1620 < Re_b < 4050.

- Disparition de la chute au profit d’une pente continue pour des Reb > 4050.

La présence du 2^nd régime les a amenés à évoquer le comportement de celui d’un jet soumis à une excitation d’onde sinusoïdale, comparable à l’étude de Crow and Champagne (1971), et à y voir dans leur cas de figure une auto-excitation du jet provoquée par la géométrie de leur dispositif (convergent + présence du mur) entrainant la génération de tourbillons.

Malgré les différences de comportement dans l’évolution de la vitesse centrale en fonction du nombre de Reynolds entre nos deux études, la présence de la variation en 2 temps de la vitesse (diminution rapide + plateau), nous pousse à supposer un cas de figure similaire, et la signature de la contraction imposée à l’écoulement.

Figure 4.20: Zoom sur l’évolution longitudinale de la vitesse normalisée par la vitesse centrale uniforme 0 c U U

pour toute la gamme de Reynolds Re_b étudiée et L/D = {1.2, 4.4, 7.2, 20}.

• Le cœur potentiel

La conséquence de l’évolution de la vitesse centrale se retrouve dans la variation de l’extension du cœur potentiel. Comme nous l’avons défini lors du chapitre 2, l’extension du cœur potentiel correspond à l’abscisse dont la vitesse est égale àU_c =0.95U₀. L’évolution du cœur potentiel sous ce critère est représentée en figure 4.21 et comparée à deux modèles détaillés dans la suite du texte.

Dans le cas de Reynolds Reb ≥ 4527, il apparaît pour l’ensemble des rapports L/D une augmentation constante de l’extension du cœur potentiel avec le nombre de Reynolds Reb

passant globalement de x/D = 3 à x/D = 4.5.

En revanche, la diminution à des nombres de Reynolds Reb < 4527 conduit à des variations de l’extension du cœur potentiel nettement plus dépendantes vis-à-vis du rapport L/D. On constate ainsi :

- Dans le cas L/D = 53.2, à l’exception de Re_b = 3395 que l’augmentation du cœur potentiel se fait sur 1698 ≤ Re_b < 4527 avant de diminuer pour Re_b = 1132.

- Dans le cas L/D = 20, s’il y a augmentation du cœur potentiel avec la diminution du nombre de Reynolds, elle s’effectue sur une gamme de Reynolds Re_b telle que 2264 ≤ Re_b < 4527. On constate comme pour le cas L/D = 53.2 une diminution du cœur potentiel mais à partir d’un nombre de Reynolds Re_b = 2264.

- Dans les cas L/D = 4.4 et 7.2, l’évolution du cœur potentiel est monolithique avec une augmentation globale du cœur potentiel avec la diminution du nombre de Reynolds Reb

- Le dernier rapport L/D = 1.2 montre de nouveau une évolution singulière. Si l’on considère le critère de 95% de la vitesse initiale, il apparaît que la réduction du nombre de Reynolds Reb entre 4527 ≥ Reb ≥ 2264 conduit à une diminution du cœur potentiel jusqu’à des valeurs x/D < 1 avant d’augmenter à nouveau lorsque Reb < 2264. Cette très faible valeur du cône potentiel résulte de l’évolution longitudinale de la vitesse observée précédemment en figure 4.20, où une diminution nette de la vitesse supérieure à 5 % de la vitesse centrale initialeU ₀ précède une zone de vitesse constante. La présence de cette zone constante de vitesse implique l’existence d’un cœur dans l’écoulement. Néanmoins, le critère de 95 % se trouve être trop contraignant dans cette gamme de Reynolds pour en déterminer l’évolution.

Nos résultats nous fournissent d’une manière globale une diminution du cœur potentiel lorsque le nombre de Reynolds passe de Re_b = 11320 à Re_b = 4527, puis une augmentation lorsque Re_b est diminué jusqu’à Re_b = 1132. L’augmentation de l’extension du cœur potentiel dans la zone 4527 < Reb < 11320 nous met en contradiction avec certaines études antérieures aussi bien expérimentales (e.g. Kwon and Seo (2005), Todde et al. (2009)) que numériques (e.g. Bogey and Bailly (2006)), où dans une gamme de Reynolds équivalente à la notre (Reb < 10⁴), le cœur potentiel des jets évolue inversement. On interprète cette divergence dans les conditions initiales imposées dans ces études, et qui s’écartent notablement des nôtres. En effet, pour l’étude de Todde et al. (2009), celui-ci a travaillé avec un profil de vitesse initial présentant une épaisseur de couche limite inférieure ou égale à 0.1 D sur toute la gamme de Reynolds et un niveau d’intensité turbulente TU très nettement inférieur à notre étude avec 0.6 % au centre et 1.25 % sur les bords.

La comparaison avec des études travaillant sur des jets à des nombres de Reynolds Reb

> 10⁴ ((Harsha (1971), Sautet and Stepowski (1995), Lee (1997)) montre une évolution similaire du cœur potentiel avec le nombre de Reynolds. Nous avons donc rajouté en figure 4.21 l’évolution du cœur potentiel suivant les expressions obtenues par Harsha (1971):

0.097 b pc ) 4.3(Re D x = (4.8)

et Sautet and Stepowski (1995)

b 4 pc Re 10 1 D x ₋ + = (4.9)

Ces expressions ont été établies pour des nombres de Reynolds Re_b > 1.2×10⁴ et Re_b > 4700 respectivement pour Harsha (1971) et Sautet and Stepowski (1995). Il semble dès lors, et ce malgré la faiblesse de nos nombres de Reynolds que nous aboutissons à un comportement équivalent à des jets de nombres de Reynolds supérieurs et que la position du cœur potentiel ne dépende que de l’inertie de l’écoulement et se rapproche de ceux d’Harsha (1971), et Sautet and Stepowski (1995).

Il semble dès lors que le haut niveau de turbulence imposé par nos conditions d’entrée dans le tube (angle à 90°) engendre un niveau important de fines structures très tôt (au regard du nombre de Reynolds) modifiant sa dépendance vis-à-vis du nombre de Reynolds.

Figure 4.21 : Evolution du cœur potentiel en fonction du nombre de Reynolds Re_b pour L/D = {1.2, 4.4, 7.2, 20}.

• Zone de décroissance de la vitesse au-delà du cœur potentiel

Au-delà du cœur potentiel, la décroissance de la vitesse centrale est étudiée au regard du modèle généralement admis dans la zone auto-similaire du jet, et formulé par l’eq. (2.20) :

0 0 c x x D K U U − ⋅ ⋅ =

où l’on rappelle que K définit la coefficient de décroissance de la vitesse, et x₀ l’origine virtuelle. Ces deux paramètres définissent le comportement moyen de l’écoulement. Afin de les définir, le domaine de régression linéaire est choisi entre 10 < x/D < 20. L’ensemble des valeurs de K et x₀ ainsi que les coefficients de corrélation correspondant sont résumés en Tableau 4.3. Les tracés correspondants à l’évolution de l’inverse de la vitesse normalisée

c 0

U U

• Coefficient de décroissance K

Au regard du coefficient de corrélation R², dont les valeurs sont résumées en tableau 4.3, la validité du modèle établi par l’eq. (2.20) ne peut être envisagée et donc discutée pour l’ensemble des rapports L/D qu’à partir de Reb = 5659. Toutefois, la figure 4.23 permet dans un premier temps de mettre en évidence un lien entre la réduction du nombre de Reynolds Reb

en deçà de Reb = 5659 et la diminution de plus en plus prononcée de la vitesse centrale au-delà du cœur potentiel. Cette dépendance entre le nombre de Reynolds et la décroissance de la vitesse au-delà du cœur potentiel est supportée par d’autres expérimentations travaillant dans une gamme de Reynolds Reb équivalentes (e.g. Abdel-Rahman et al. (1996)). Cette diminution plus marquée de la vitesse centrale traduit une augmentation de l’angle de diffusion (Mallström et al. (1997)) et par conséquent une augmentation du mélange entre l’air ambiant et le jet, due à une probable augmentation de la taille des structures vorticelles (Russ and Strykowky (1993)).

Au-delà de Re_b = 5659, bien que la constante de décroissance n’évolue pas de façon similaire suivant le rapport L/D, il en ressort que l’augmentation du nombre de Reynolds Re_b implique une convergence du coefficient de décroissance K vers une valeur asymptotique pour l’ensemble des rapports L/D. A l’exception de L/D = 1.2, la distinction de la valeur du coefficient de décroissance suivant les rapports L/D ne semble pas se manifester.

Afin d’établir un lien simple de causalité, la série de figures 4.24 teste l’impact du niveau d’intensité turbulente TU et du profil de vitesse à travers le rapport U₀/U_bsur le coefficient de décroissance K. A la vue des résultats, il est difficile d’établir un lien clair avec un de ces paramètres et en particulier le niveau d’intensité turbulente. Cette constatation s’inscrit dans l’étude de Nottage (1951) rapportée par Mallström et al. (1997), où une modification de l’intensité turbulente initiale entre 4 % et 10 % pour une vitesse initiale donnée n’entrainait pas de variations dans le coefficient de décroissance.

Il pourrait nous y être opposé une série d’études telle que Xu and Antonia (2002), Mi

et al. (2001) et Russ and Strykowsky (1993) où l’augmentation du niveau d’intensité turbulente, dû soit par l’adjonction d’une grille (Russ and Strykowky (1993)) soit par l’extension de la géométrie (Xu and Antonia (2002), Mi et al. (2001)), entraînait une diminution de la décroissance de la vitesse. Une des raisons, pouvant justifier ces écarts dans les observations, pourrait venir du niveau de l’intensité turbulente initiale et de l’amplitude de ces fluctuations. Russ and Strykowky (1993) ont observé leur modification dans le coefficient de décroissance en élevant le niveau de turbulence d’environ 0.2 % à 1.8 % au centre de la

paroi, et d’environ 0.4% à 8% en proche paroi. Soit d’un rapport 10 pour le centre de la conduite et 20 en proche paroi. Les études de Xu and Antonia (2002) et Mi et al. (2001) ont eux multiplié l’intensité turbulente au centre d’environ 8 et de 2 en proche paroi. Dans notre étude, au-delà de Reb = 5659 les rapports maximum de l’intensité turbulente sont de 2.1 au centre et de 1.3 en proche paroi. On modifie donc très peu le niveau de turbulence aussi bien au centre de la conduite qu’en proche paroi au regard des autres études. De plus le niveau de turbulence est au départ élevé du aux conditions d’entrée.

Figure 4.23 : Evolution du coefficient de décroissance en fonction du nombre des Reynolds Reb, pour L/D = {1.2, 4.4, 7.2, 20, 53.2}.

Figure 4.24 : Test de différents paramètres

• ^{Origine virtuelle x}0

L’origine virtuelle est représentée en figure 4.25 et 4.26 en fonction respective du nombre de Reynolds et de la vitesse moyenne initialeU . On a comme pour le coefficient de ₀ décroissance K une évolution asymptotique de l’origine virtuelle aussi bien en fonction du nombre de Reynolds que de la vitesse initialeU . En revanche, on constate la présence de ₀ valeurs négatives de l’origine virtuelle x0. Uddin and Pollard (2007) interprètent ces valeurs négatives comme la conséquence d’un courant de retour à la sortie de la géométrie. Ils ajoutent que l’origine virtuelle est d’autant plus négative que le courant de retour est important. Cette constatation se base sur les résultats de Mallström et al. (1997), où pour un nombre de Reynolds Re_b ≈ 20000 des vitesses centrales initiales U₀ égales à 2.6, 4.9 et 8.7 m.s^-1 donnent respectivement comme valeurs d’origine virtuelle x₀/D 4.6, -0.3 et -2. Nos mesures ne mettent pas en évidence une corrélation aussi claire. La probable explication vient, qu’à Reynolds donné, la variation de la vitesse centrale initialeU d’un rapport L/D est au ₀ maximum de l’ordre de 1.07 alors que Mallström et al. (1997) impose des variations de 1.88 et 1.77. En revanche, on retrouve bien un déplacement généralisé vers l’aval de la position de l’origine virtuelle lorsqueU devient inférieure à U ≈ 4 m.s^-1. Ce comportement rejoint dans

b 0/U U

ce cas de figure celui obtenu par Mallström et al. (1997), seul le seuil de vitesse diffère (6 m.s

-1

pour Mallström et al. (1997)).

Figure 4.25 : Evolution de l’origine virtuelle x0 en fonction du nombre de Reynolds Reb.

B. Intensité turbulente

L’évolution longitudinale de l’intensité turbulente T_U selon l’axe du jet est représentée en figure 4.27. Pour les trois plus grands rapports L/D = {7.2, 20, 53.2}, on constate que pour un nombre de Reynolds Reb = 1132, l’allongement du rapport L/D conduit à garder le niveau d’intensité turbulente TU égale à TU,0 sur une distance plus importante. Cette distance de conservation de l’intensité turbulente initiale TU,0 passe ainsi de 0.6D pour L/D = 1.2 à 8D pour L/D = 53.2. L’augmentation du nombre de Reynolds entraîne la mise en place d’une augmentation en 3 temps de l’intensité turbulente, avec entre x/D = 0 et x/D ≈ 4 une croissance faible de l’intensité, puis une augmentation marquée entre x/D ≈ 4 et x/D ≈ 8, avant d’atteindre une zone constante lorsque x/D > 8. Toutefois, ce séquençage n’est pas figé, et évolue avec le nombre de Reynolds. Il apparaît en effet que le taux de variation de l’intensité turbulente, sur chacun de ces trois domaines diminue avec le nombre de Reynolds, impliquant que la similitude de Reynolds n’est pas atteinte.

La réduction au rapport L/D = 4.4 entraîne l’apparition pour un nombre de Reynolds Reb = 1698 d’un pic d’intensité turbulente évalué à TU = 15 % à une distance x/D ≈ 2.4. En diminuant le rapport à L/D = 1.2, ce pic d’intensité turbulente se déclenche cette fois pour une gamme de Reynolds 1132 < Re_b ≤ 2829. La figure 4.28 montre que la position du pic de turbulence n’est pas constante et varie avec le nombre de Reynolds en passant de x/D ≈ 0.7D à x/D ≈ 1. Au-delà de cette position l’intensité turbulente décroît jusqu’à un minimum dont le positionnement est plus difficilement évaluable, mais est estimé entre 2 < x/D < 3. Enfin, l’intensité turbulente croit de nouveau jusqu’à atteindre un « plateau » vers x/D = 6.

Le passage à la gamme de Reynolds Re_b comprise entre 2829 < Re_b ≤ 4527, entraîne une diminution de l’écart entre le maximum et le minimum d’intensité turbulente jusqu’à disparaître pour Reb = 4527.

La présence de ces pics de turbulence au voisinage de la sortie est comparable avec les études de Todde et al. (2009). Si l’on s’en réfère à cette étude, la présence de ces pics de turbulence semble manifester la mise en place d’un écoulement présentant une séquence de tourbillons dans la gamme de Reynolds 1132 < Reb < 4527. Il apparaît d’une part que la position des pics de turbulence dans Todde et al. (2009) se trouvent être à une distance moyenne de x/D ≈ 4.5, et d’autre part que l’augmentation du nombre de Reynolds Reb

provoque, à l’exception de Reb = 1620 une intensification constante du pic de turbulence et de l’écart avec le minimum. La position du début du « plateau » de turbulence

Figure 4.27 : Evolution longitudinale de l’intensité turbulente pour toute la gamme de Reynolds Re_b étudiée, pour L/D = {1.2, 4.4, 7.2, 20, 53.2}.

Figure 4.28 : Zoom de l’évolution de l’intensité turbulent dans le cas L/D = 1.2, pour 1132 ≤

Reb ≤ 4527.

est également bien plus en aval que pour notre cas d’étude : x/D = 10 (Todde et al. (2009)) contre x/D = 8. Ces écarts dans les positions laissent supposer que dans notre cas de figure, et dans la gamme de Reynolds 1132 < Re_b < 4527, l’évolution des tourbillons, de leur formation jusqu’à leur éclatement se fait sur une distance plus courte.

En ce qui concerne la divergence dans l’évolution en fonction du nombre de Reynolds, il apparaît d’après la figure 4.13, qu’à partir de Re_b = 2258 la couche limite s’épaississe avec le nombre de Reynolds, en passant de δ95 = 0.1D à δ95 = 0.2D, alors que dans le cas de Todde et

al. (2009) elle est maintenue constante à 0.1D. Cette augmentation de l’épaisseur de couche limite ajoutée au haut niveau de turbulence rend dès lors plus difficile sa perturbation et la création de structures tourbillonnaires cohérentes, conduisant à partir de Re_b = 4527, à une évolution de l’intensité turbulente T_U comparable à celles observées pour les rapports L/D supérieurs.

C. Facteur de dissymétrie et d’aplatissement

L’évolution des facteurs de dissymétrie et d’aplatissement sont représentés respectivement en figure 4.29 et 4.30.

On note d’une manière générale que le rapport L/D = 1.2 présente en sortie immédiate de la géométrie un facteur de dissymétrie SU ≈ 0 là où les autres rapports L/D affichent facteur SU ≈ -0.5, traduisant de fait le caractère gaussien de la distribution de vitesse dans le cas du rapport L/D = 1.2.

Pour l’ensemble des rapports L/D, l’éloignement de la sortie provoque un écartement des facteurs de dissymétrie SU et d’aplatissement FU des valeurs SU = 0 et FU = 3. Cette divergence traduit le développement des couches limites et de larges structures en périphérie de l’écoulement jusqu’à leur fusion matérialisée par les pics de ces facteurs. En s’éloignant au-delà de ce pic les valeurs de ces deux facteurs tendent de manières asymptotiques vers des valeurs SU ≈ 0 et FU ≈3, traduisant l’évolution du jet vers un comportement auto-similaire. A la différence de l’évolution en proche paroi, il est plus difficile de distinguer les rapports L/D

Figure 4.29 : Evolution du facteur de dissymétrie S_U pour toute la gamme de Reynolds Re_b étudiée, et L/D = {1.2, 4.4, 7.2, 20, 53.2}.

Figure 4.30 : Evolution du facteur d’aplatissement F_U pour toute la gamme de Reynolds Re_b étudiée, et L/D = {1.2, 4.4, 7.2, 20, 53.2}.

4.2.3 Conclusion

Dans cette première partie, on a étudié l’évolution d’un écoulement soumis à une géométrie couplant un réducteur avec un tube de longueur variable compris entre L/D = 1.2 et L/D = 53.2. La gamme de Reynolds s’échelonne de 1132 < Re_b < 11320. Cette étude a montré une double dépendance du profil de vitesse moyenne vis – à – vis du rapport L/D et du nombre de Reynolds. 3 types de modèles de profils de vitesse ont été testés : profil de Poiseuille, profil en puissance, profil dit en chapeau au de forme. D’une manière générale, l’augmentation du nombre de Reynolds conduit à l’établissement de profils de vitesse en puissance pour des rapports L/D ≥ 4.4. En revanche, pour le rapport L/D = 1.2 on assiste à l’établissement d’un profil trapézoïdale dont il apparaît qu’une modélisation est possible.

De façon analogue, les profils turbulents exhibent également cette double dépendance. Il apparaît cependant que l’augmentation du nombre de Reynolds conduit pour l’ensemble des rapports L/D étudiés à une diminution de l’intensité turbulente.

La forme des profils de vitesse moyenne à la sortie de la géométrie émettrice est étudiée au travers de la couche limite. Dans un premier temps, l’étude des épaisseurs de couche limite montre un écart important entre le rapport L/D = 1.2 et les rapports L/D supérieurs. Cette singularité du rapport L/D = 1.2 se retrouve dans l’étude en proche paroi. Les profils de vitesse révèlent un renforcement du sillage pour les Reynolds les plus élevés. Cette singularité se poursuit au travers de l’étude des ordres supérieurs, où il apparaît que le facteur de dissymétrie et d’aplatissement atteignent à une distance de y1⁺ = 150 S_U = -1.5 et F_U = 8. Ces fortes valeurs laissant supposer que l’on assiste à des transferts de quantité de mouvement depuis la périphérie de l’écoulement vers le centre.

Cette différence de comportement du rapport L/D =1.2 est également perçue dans