T C -produit et op´erateur S C

dt

₁

V

₀

(t

₁

) +O(V

₀²

), (A.18)

donc hA(t)i = hA(t)i

0

−i

Z

_t −∞

dt

₁

h[A

₀

(t), V

₀

(t

₁

)]i

0

+O(V

₀²

). (A.19)

C’est la formule de Kubo. Pour ´evaluer les ordres sup´erieurs, cette m´ethode s’av`ere rapidement

laborieuse notamment pour trouver hA(t

₁

)B(t

₂

)i (Eq. (A.17)) o`u il y a trois op´erateurs S `a

d´evelopper et ordonner temporellement. On utilise alors le formalisme de Keldysh qui est plus

syst´ematique `a utiliser aux ordres ´elev´es car, comme on va le voir, il n’y a qu’un seul op´erateur

S

_C

(qui diff`ere peu deS) `a d´evelopper en puissance de V

₀

.

A.3.2 T

C

-produit et op´erateur S

C

On effectue quelques manipulations alg´ebriques sur les valeurs moyennes que l’on souhaite

calculer. Prenons un exemple qui nous est utile dans ce m´emoire, le corr´elateur `a deux temps

du courant dont la transform´ee de Fourier donne le bruit :

hI(t

₁

)I(t

₂

)i = hS(−∞, t

₁

)I

₀

(t

₁

)S(t

₁

, t

₂

)I

₀

(t

₂

)S(t

₂

,−∞)i

0

= hS(−∞, t

₁

)I

₀

(t

₁

)S(t

₁

,+∞)S(+∞, t

₁

)S(t

₁

, t

₂

)I

₀

(t

₂

)S(t

₂

,−∞)i

0

= hT [^e S(−∞,+∞)I

₀

(t

₁

)] T [S(+∞,−∞)I

₀

(t

₂

)]i

0

. (A.20)

Ici T est l’anti T-produit qui ordonne les op´erateurs dans le sens contraire du T-produite

(Eq. (A.14)) :

e

T[A(t)B(t

⁰

)] = θ(t

⁰

−t)A(t)B(t

⁰

) +ε θ(t−t

⁰

)B(t

⁰

)A(t). (A.21)

avec ε= +1 si les op´erateurs sont bosoniques, et−1 si ils sont fermioniques.

On introduit alors un op´erateurT

C

qui ordonne de droite `a gauche les op´erateurs le long du

contour temporel de KeldyshC. Il est fait d’une branche«+»allant de−∞`a +∞ suivi d’une

branche«−» allant de +∞ `a −∞, comme le montre la figure A.1. Finalement, on aboutit `a :

hI(t

₁

)I(t

₂

)i = hT

_C

S

_C

I

₀

(t

⁻₁

)I

₀

(t

⁺₂

)

i

0

(A.22)

avec S

C

= T

C

exp

−i

Z

C

dtV

0

(t)

(A.23)

= T

_C

exp

−i

Z

_+∞ −∞

dt

⁺

V

₀

(t

⁺

) +i

Z

_+∞ −∞

dt

⁻

V

₀

(t

⁻

)

.

Pour l’op´erateur courant seul on obtient

hI(t)i=hT

_C

S

_C

I

₀

(t

⁺

)

i

0

=hT

_C

S

_C

I

₀

(t

⁻

)

i

0

. (A.24)

On peut alors calculer les valeurs moyennes r´e´ecrites sous cette forme en d´eveloppant l’op´erateur

8

+

8

−

8

− branche +

branche −

Fig. A.1:Le contour C de Keldysh.

A.3.3 Fonctions de Green

Le th´eor`eme de Wick reste valable le long du contour de Keldysh, mais maintenant les

fonctions de Green `a deux temps sont des matrices 2×2 car chaque indice temporel de la

fonction de Green peut se situer sur la partie + ou− du contour de Keldysh.

On d´efinit par exemple une fonction de Green libre matricielle de la fa¸con suivante :

ˇ

g

_kσ

(t

₁

, t

₂

) =

g

_k⁺⁺_σ

(t

₁

, t

₂

) g

⁺_kσ⁻

(t

₁

, t

₂

)

g

_k⁻_σ⁺

(t

₁

, t

₂

) g

⁻⁻_kσ

(t

₁

, t

₂

)

(A.25)

= −i hT[a

_kσ

(t

₁

)a

^†_kσ

(t

₂

)]i

0

−ha

^†_kσ

(t

₂

)a

_kσ

(t

₁

)i

0

ha

_kσ

(t

₁

)a

^†_kσ

(t

₂

)i

0

hT^e[a

_kσ

(t

₁

)a

^†_kσ

(t

₂

)]i

0

!

(A.26)

avec g

^ε1ε2 kσ

(t

₁

, t

₂

) =−ihT

_C

[a

_kσ

(t

^ε1 1

)a

^†_kσ

(t

^ε2

2

)]i

0

,ε

_i

=±. Les quatre composantes de cette matrice

ne sont pas toutes ind´ependantes. Si on fait le changement de base suivant on obtient :

ˇ

g→ ^1ˇ1−√^iτˇ

²

2 ^τˇ

³

g

⁺⁺

g

⁺⁻

g

−+

g

−−

_ˇ

11 +iτˇ

₂

√

2 ⁼

g

^R

g

^K

0 g

A

, (A.27)

avec g

_k^A_σ

(t

₁

, t

₂

) = +iθ(t

₂

−t

₁

)h {a

_kσ

(t

₁

), a

^†_kσ

(t

₂

)} i

0

(A.28)

g

_k^R_σ

(t

1

, t

2

) = −iθ(t

1

−t

2

)h {a

kσ

(t

1

), a

^†_kσ

(t

2

)} i

0

(A.29)

g

_k^K_σ

(t

₁

, t

₂

) = −ih[a

_kσ

(t

₁

), a

^†_kσ

(t

₂

)]i

0

. (A.30)

Les matrices τ

_i

(i= 0,1,2,3) sont les matrices de Pauli. On peut ensuite utiliser les m´ethodes

perturbatives standards `a deux diff´erences pr`es : les fonctions de Green sont ici des matrices

2×2, rt pour des potentiels ext´erieurs chaque vertex sort avec une matrice ˇτ

3

car le signe devant

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• Current-current correlations in hybrid superconducting and normal-metal multiterminal

structures

G. Bignon, M. Houzet, F. Pistolesi, and F. W. J. Hekking

Europhysics Letters 67, 110 (2004) , also cond-mat/0310349.

Publications dans des conf´erences internationales

• Cross current correlations in superconducting/normal metal structures

G. Bignon, M. Houzet, F. Pistolesi, and F. W. J. Hekking

in Quantum Information and Decoherence in Nanosystems, edited by D. C. Glattli, M.

Sanquer, and J. Trˆan Thanh Vˆan, XXXIXth Rencontres de Moriond.

• Detecting crossed andreev reflection by cross-current correlation

G. Bignon, M. Houzet, F. Pistolesi, and F. W. J. Hekking

in Realizing controllable quantum states, edited by H. Takayanagi and J. Nitta, World

Scientific 2005.

Publications soumises

• Energy dependence of current noise in double-barrier normal-superconducting structures

G. Bignon, F. Pistolesi, and M. Houzet

cond-mat/0502453 .

Corr´elations de courant dans les structures m´esoscopiques

supraconducteur - m´etal normal

Auteur :

Guillaume BIGNON

´

Etablissement :

Laboratoire de Physique et Mod´elisation des Milieux Condens´es

Titre : Corr´elations de courant dans les structures m´esoscopiques supraconducteur - m´etal

nor-mal

R´esum´e : Grˆace aux progr`es exp´erimentaux de ces vingt derni`eres ann´ees en miniaturisation

et cryog´enie, il est maintenant possible de r´ealiser des circuits ´electriques de taille suffisamment

petite pour que le comportement ondulatoire des ´electrons devienne important `a basse

tem-p´erature et modifie les propri´et´es du transport ´electrique comme le courant ou le bruit. C’est

l’´echelle m´esoscopique. Si, de plus, un supraconducteur est connect´e `a un tel circuit, les effets

d’interf´erences entre ´electrons augmentent car le supraconducteur est une source macroscopique

de paires d’´electrons coh´erents : les paires de Cooper. Dans cette th`ese, nous ´etudions les

corr´ela-tions du courant dans les structures m´esoscopiques m´etal normal - supraconducteur. Nous nous

int´eressons d’abord `a la d´ependance en ´energie du bruit en courant dans une jonction tunnel

simple m´etal normal - isolant - supraconducteur en prenant en compte les effets du d´esordre et

les interactions. Nous montrons que si les r´eservoirs ne sont pas `a l’´equilibre thermodynamique,

le courant et le bruit sont ind´ependants. On consid`ere ensuite une structure o`u le

supraconduc-teur est connect´e `a deux m´etaux normaux par des jonctions tunnel. Nous montrons alors que

la corr´elation crois´ee du courant peut changer de signe et qu’elle contient des informations sur

la taille des paires de Cooper. Enfin, `a l’aide de la th´eorie quasi-classique d’Usadel, on ´etudie la

d´ependance en ´energie du bruit dans une double jonction en s´erie m´etal normal - m´etal normal

- supraconducteur et montrons que la transparence des jonctions joue un rˆole important.

Mots cl´es : supraconductivit´e m´esoscopique, bruit de grenaille, fluctuations de courant,

r´e-flexion Andreev, jonction tunnel, corr´elations

Title : Current correlations in superconductor - normal metal mesoscopic structures

Abstract : Thanks to the experimental progress in miniaturization and cryogenics over the

last twenty years, it is now possible to build sufficiently small electric circuits where the wave like

nature of electron becomes significant. In such electric circuit transport properties like current

and noise are modified. It corresponds to the mesoscopic scale. Moreover, connecting a mesocopic

circuit to a superconductor enhances the effects due to interference between electrons since a

superconductor is a macroscopic source of coherent electrons pairs : the Cooper pairs. In this

thesis, we study current correlations in mesoscopic normal metal - superconductor structures.

First, the energy dependence of current noise in a normal metal - superconductor tunnel junction

is analysed taking into account weak disorder and interactions. We show that if the normal metal

is out of equilibrium, current and noise become independent. Next, we consider the case of a

superconductor connected to two normal metals by tunnel junctions. We show that it is possible

to change the sign of current crossed correlation by tuning the voltages and that it can be used

to probe the size of the Cooper pairs. Lastly, using Usadel’s quasi-classic theory, we study the

energy dependence of noise in a normal metal - normal metal - superconductor double junction.

We show that barrier’s transparencies modifies significantly both current and noise.

Keywords : mesoscopic superconductivity, shot noise, current fluctuations, Andreev

Dans le document Corrélations de courant dans les structures<br />mésoscopiques supraconducteur - métal normal (Page 119-131)