Processus de tirage et chaîne de Markov

La consommation résidentielle d’eau chaude est un processus stochastique complexe. Il est important de pouvoir modéliser le plus fidèlement possible ce processus afin d’être en mesure d’appliquer un contrôle intelligent sur les CE domestiques sans compromettre le confort de l’usager.

Fairey et Parker (2004) rapportent différents profils de consommation résidentiels d’eau chaude retrouvés dans la littérature dont ceux de Becker et Stogsdill (1990), Bouchelle et al. (2000) et aussi Perlman et Mills (1985). Ce dernier est souvent cité comme un profil de ré- férence de consommation résidentielle d’eau chaude en Amérique du Nord. En analysant ces profils, des chercheurs ont développé différents modèles mathématiques de consommation, notamment Laurent et Malhamé (1994), qui proposent de représenter cette séquence de ti- rage d’eau par une chaîne de Markov à deux états. C’est ce modèle qui est utilisé ici pour décrire le comportement de consommation en eau chaude des usagers sur le réseau, ainsi que l’impact de cette consommation sur la demande en puissance vue du réseau électrique. Laurent et Malhamé (1994) décrivent le processus de tirage d’eau comme une chaîne de Markov à temps continu et à espace d’états discret. Tout d’abord, une chaîne de Markov est un processus de Markov et qui possède la propriété de Markov. Cette propriété indique que la distribution conditionnelle de probabilité des états futurs ne dépend plus des états passés, lorsque conditionné sur l’état présent. Autrement dit, toute l’information nécessaire pour prédire le futur est contenue dans l’état présent. Cette propriété rend le calcul de longues séquences efficace car il n’y a pas besoin de mémoriser les anciens états du système. Lorsque le choix de valeurs que peut prendre une variable aléatoire est fini ou dénombrable il s’agit d’un espace d’état discret. Dans le cadre de ce projet, une vision simplifiée des habitudes de consommation d’eau chaude est utilisée en supposant deux états possibles : tirage (état « 1 ») et non-tirage (état « 0 »). Cet espace d’état est présenté à la figure 4.2.

Soit l’espace d’état E = [0, 1] et un paramètre de saut q(t). Alors, la probabilité de saut à un temps t + h, où h est un incrément infinitésimal, est décrite par

Prq(t + h) = 1|q(t) = 0= α0(t)h (4.7) Prq(t + h) = 0|q(t) = 1= α1(t)h (4.8)

1

0

Figure 4.2 Chaîne de Markov à deux états

où αi(t) > 0 ∀i ∈ E. Les paramètres α0(t) et α1(t) représente respectivement la probabilité de sauter de l’état 0 (non-tirage) à 1 (tirage) et de l’état 1 à 0. Ceux-ci sont calculés à partir de profil de tirage d’eau chaude et varient en fonction du moment de la journée pour représenter les habitudes de consommation d’un usager. Les valeurs de ces paramètres de transition en fonction du temps sont présentées au tableau D.1 de l’annexe D. Intuitivement,

α0(t) peut être perçu comme la probabilité que l’usager consomme de l’eau chaude en fonction du moment de la journée, tandis que α1(t) est relié à la durée de l’événement de tirage. Il est possible de définir une matrice de transition P (t) tel que

P (t) =   1 − α0(t) α0(t) α1(t) 1 − α1(t)   (4.9)

Ce processus stochastique de tirage est inséré dans l’équation (4.3) en définissant le terme de débit d’eau ˙Vd de la manière suivante :

˙

Vd= q(t)V¯˙d (4.10)

oùV¯˙dest le débit moyen d’un événement de tirage. Puisque l’équation (4.3) doit être constante par morceau, chaque changement de l’état discret du tirage force une réévaluation des para- mètres αi et βi pour tous les nœuds du modèle de CE.

Une des limites de ce modèle à deux états est qu’il ne peut y avoir qu’une seule intensité de tirage (débit), puisqu’il n’y a qu’un seul état de tirage. Le débit sera donc le même, que l’usager se lave les mains ou qu’il prenne une douche bien qu’il soit reconnu que ces différentes activités ont une implication directe sur la consommation d’un CE (Lowenstein et Hiller, 1996). Il serait donc intéressant, suite à ce projet, de développer un modèle de chaîne de Markov multi-états et ainsi tenir compte des différents types de tirage (lavage de main,

bain, douche, lave-vaisselle, etc.).

4.2.1 Profil de tirage et chaîne de Markov

Les méthodes d’identification de la matrice de transition de la chaîne de Markov ne font pas partie du cadre de ce projet. Cependant, la connaissance des statistiques de tirage est cruciale pour estimer l’état d’énergie à partir de mesure de température, tel que montré au chapitre 5.

Les paramètres α0(t) et α1(t) ont été calculés à partir de données de tirage fournies par Hydro- Québec. Ces données présentent la consommation en eau chaude de 75 clients par intervalle de 5 minutes sur la période allant de novembre 2006 à avril 2007. Toutes ces données ont été analysées afin d’obtenir en sortie deux ensembles de 288 matrices de transition, soit un ensemble pour les jours de semaine et un second pour les jours de fin de semaine. En effet, les études montrent qu’il y a d’importantes disparités entre les habitudes des consommateurs durant la semaine de travail et la fin de semaine (voir Lowenstein et Hiller, 1996). Chaque ensemble contient 288 matrices, soit une matrice par tranche de 5 minutes sur une plage de 24 heures. Pour obtenir une échelle encore plus fine, une interpolation linéaire peut être utilisée.

Plus le nombre de dispositifs augmente et plus les simulations tendent vers le profil attendu présenté par les données d’Hydro-Québec. En effet, l’agrégation de la consommation en eau chaude de plusieurs chauffe-eau en un profil moyen minimise le comportement stochastique du processus pour tendre vers un scénario déterministe, représenté par la courbe bleue à la figure 4.3. Elle est obtenue en moyennant, pour tous les jours de la semaine ou de la fin de semaine, la consommation de chaque client par segment de 5 minutes. La figure 4.3(a) présente, d’une part, la séquence de tirage (chaîne de Markov) pour un usager et d’autre part la consommation moyenne d’une grande population de chauffe-eau. Il n’y a aucun événement avant 6 heures pour ensuite traverser deux période de pointe, une en matinée (entre 6 et 9 heures) avant le départ des usagers pour le travail, et une seconde en début de soirée alors qu’ils reviennent du travail. En moyennant plusieurs de ces séquences aléatoires de tirage, la courbe simulée tend bien vers celle correspondant aux mesures. Les Figures 4.3(b) et 4.3(c) présentent ces profils moyens pour une population respective de 100 et 10 000 CE.

Il est possible de conclure que le modèle stochastique, décrit par chaîne de Markov à deux états, permet de reproduire localement les habitudes de consommation de l’usager et de représenter globalement les dynamiques d’ensemble d’une population de CE.

0 3 6 9 12 15 18 21 24 0 1 2 3 4 5 6 7 Temps (h)

Consommation eau chaude (L)

Simulé Mesuré (a) 1 chauffe-eau 0 3 6 9 12 15 18 21 24 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Temps (h)

Consommation eau chaude (L)

Simulé Mesuré (b) 100 chauffe-eau 0 3 6 9 12 15 18 21 24 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Temps (h)

Consommation eau chaude (L)

Simulé Mesuré

(c) 10 000 chauffe-eau

Figure 4.3 Comparaison d’un profil aléatoire de consommation d’eau chaude pour un jour de semaine pour différentes tailles de population de chauffe-eau.