Processus de Poisson général : non stationnaire ou régionalisé

, les points sont indépendants et uniformément distribués en . La démonstration est disponible dans Lantuéjoul (1993) et Stoyan (1995).

– La probabilité pour qu’aucun point ne tombe dans l’ensemble est :

3 )

2.2.2 Processus de Poisson général : non stationnaire ou régionalisé

Dans les cas modélisés par un processus de Poisson stationnaire, les points sont distribués dans le milieu de façon homogène, c’est à dire, le nombre moyen de points tombés par unité de volume ne varie pas dans l’espace. Ceci est représenté par une mesure qui est, dans ce cas, proportionnelle au volume de la région étudiée (eq. 2.5). La constante de proportionalité , appelée intensité, donne le nombre moyen de points par unité de volume.

Cependant, de nombreux phénomènes présentent des variations impossibles à modéliser par un modèle stationnaire. Dans ce cas, le processus de Poisson général fournit un modèle stochastique plus général, où le nombre moyen de points par unité de volume n’est plus constant, mais il peut varier dans l’espace. Par la suite, nous allons introduire brièvement la généralisation des concepts, présentés dans cette section (la mesure, l’intensité du processus, etc.), qui caractérisent le modèle général.

Le processus de Poisson général est caractérisé par une intensité qui n’est plus constante. Elle est une fonction de l’espace et on va la supposer positive et intégrable localement. La mesure s’exprime, dans ce cas, comme :

pour tout ensemble mesurable de . La paramètre est maintenant une fonction, lafonction d’intensité du processus de Poisson général. Le terme est la probabilité pour qu’un point de tombe dans une région de volume infinitésimal placée en .

Définition 4 Un processus de Poisson général, , avec la mesure vérifie les propriétés suivantes : 1. Le nombre de points tombés dans un ensemble mesurable borné , est une variable aléatoire

qui suit une distribution de Poisson de paramètre

:

)

2. Les nombres de points tombant en ensembles mesurables deux à deux disjoints constituent va-riables aléatoires indépendantes.

Théorème 3 Soit un sous-ensemble mesurable de tel que . Si , les points sont distribués indépendamment dans selon la densité .

2.2. PROCESSUS DE POISSON 31 2.2.2.1 Espérance, variance et covariance

Nous pouvons généraliser les expressions 2.5, 2.6 et 2.7 pour le processus de Poisson général de la façon suivante :

7

!

!

/

Le processus de Poisson est à la base du modèle booléen que nous introduirons ultérieurement. Dans ce chapitre nous avons posé les bases de la théorie des processus ponctuels en particularisant pour le processus de Poisson, dans les cas stationnaire et non stationnaire. Les processus ponctuels en général peuvent être décrits aussi bien comme des ensembles fermés aléatoires, que comme une mesure de comptage. Cette seconde notion est celle que nous avons utilisée dans les processus de points puisqu’elle nous permet de les décrire d’une façon intuitive : en dénombrant le nombre de points tombés dans une certaine région de l’espace. Dans le cas du processus de Poisson, ce nombre suit une loi de Poisson. Ainsi, nous avons introduit un paramètre qui sera très important dans ce travail : lafonction d’intensité de Poissonqui va déterminer le nombre moyen de points tombant dans un volume et aussi leur distribution dans ce volume. La détermination de ce paramètre à partir des informations concernant les chenaux dans un réservoir constitue une grande partie du corps de cette thèse.

32 CHAPITRE 2. PROCESSUS DE POISSON

Chapitre 3

Modèle booléen

Le modèle booléen est surement le plus important des modèles d’ensembles fermés aléatoires. Il cor-respond à la réunion d’objets implantés au hasard. Il s’agit d’une famille de modèles très flexibles, utilisés principalement quand les objets à simuler ont une interprétation physique ou génétique.

Ce modèle est un processus de jetons ou de type objet («marked point processes») basé sur un pro-cessus de Poisson. Dans chaque point du propro-cessus ponctuel, on implante un jeton ou objet qui est une réalisation indépendante d’un sous-ensemble aléatoire. Le modèle booléen est caractérisé par le fait que ces sous-ensembles sont identiquement et indépendament distribués (i.i.d.). Un exemple très élémentaire de construction d’un modèle booléen est le suivant : supposons des points dispersés dans un plan selon un pro-cessus de Poisson stationnaire d’intensité . Sur chacun de ces points on place un disque de rayon constant.

L’union de tous ces disques est un exemple de modèle booléen. Les points du processus de Poisson sont appelés lesgermesdu modèle et les disques, lesgrains primairesouobjets. Le schéma booléen divise ainsi l’espace en deux parties : le milieu desgrainset son complémentaire, le milieu despores.

Cette construction peut être généralisée pour obtenir le modèle booléen général pour lequel le processus de Poisson n’est plus stationnaire mais de fonction d’intensité . Soient les points du processus de Pois-son général qui se trouvent aux points^+. . Prenons plusieurs réalisations de l’ensemble aléatoire des grains primaires et implantons-les aux points ^2. du processus de Poisson général : ^+. . Les différents

.

sont, donc, mutuellement indépendants et indépendants du processus . Le modèle booléen est la réunion de tous les ^. . Encore une généralisation du modèle booléen consiste à prendre la loi des objets dépendant de leur point d’implatation.

Une propriété élémentaire de ce type de modèle est l’infinie divisibilité(voir section 1.2.1.4) qui im-plique que le modèle peut être considéré comme l’union d’un certain nombre d’ensembles aléatoires indé-pendants de la même famille. De plus, si un modèle booléen est défini en , ses restrictions en ou en

sont toujours des modèles booléens en ou en .

Le modèle booléen a été très largement utilisé, surtout dans les sciences naturelles. Des exemples d’ap-plications de ce modèle concernent la microstructure du papier, la cristallisation dans les métaux, l’étude des matériaux en général, l’étude des systèmes des gouttes d’eau dans les transition de phase ..., et plus récemment l’étude des structures géologiques générées par sédimentation. C’est à ce dernier cas que nous nous intéressons.

Dans ce chapitre nous introduisons les éléments de base de la théorie du modèle booléen qui seront utilisés pour la suite de ce travail. Les principaux ouvrages utilisées dans ce chapitre sont ceux de Serra (1982), Lantuéjoul (1993,2002), Stoyan (1995), Molchanov (1997) et Chilès et Delfiner (1999).

33

34 CHAPITRE 3. MODÈLE BOOLÉEN

3.1 Définition du modèle booléen

Les éléments de base pour construire un modèle booléen dans sont :

1. Un ensemble de points^"., lesgermes du modèle : ils appartiennent à un processus de Poisson, , caractérisé par sa fonction d’intensité , positive et intégrable.

2. Une famille de sous-ensembles compacts indépendants et non vides de , . Le sous-ensemble

.

est l’objetougrain primaireimplanté au point de Poisson^2..

Définition 5 Soit un processus de Poisson ponctuel en . Soit une famille de compacts aléatoires non vides mutuellement indépendants et de même loi. Le schéma booléen est la réunion de tous les compacts implantés aux points ^. du processus de Poisson :

4 .

Le modèle booléen dépend, donc, de deux paramètres : l’intensité du processus de Poisson, , et la loi des grains primaires, caractérisée par leur capacité de Choquet, ^{4 , .} .