Processus d'obtention des fonctions pour l'expansion de la fonction impulsionnelle

L'objectif au sein de mon groupe au CIO était d'atteindre la super-résolution optique de façon fiable, systématique et répétable. Nous avons travaillé à la conception de nouveaux filtres, qui pouvaient être facilement reproductibles avec des dispositifs numériques, e.g. des modulateurs à cristaux liquides (CL) et des MEMS (MicroElectroMechanical Systems). Je parlerai dans le chapitre quatre des contraintes techniques pour matérialiser les filtres. Je tiens à expliquer brièvement que ces contraintes nous ont poussés à concevoir des filtres complexes et de profil continu contrairement aux filtres binaires mentionnés plus haut. La proposition de mon groupe consiste à montrer la conception des filtres super-résolvants par l'utilisation de séries Bessel par le simple expédient d'une réduction à zéro de la FI à un rayon prédéterminé et avec l'aide d'un algorithme d'optimisation. Quelques fonctions de base vont nous permettre de contrôler le rayon, le rapport de Strehl et l'intensité des lobes (les anneaux de la FI).

ARTICLE 1[31]:

Noé Alcalá Ochoa, J. García-Márquez, A. González-Vega, "Hybrid pupil filter design using Bessel series," Opt. Comm., 284, 4900–4902 (2011)

ABSTRACT: We propose a simple method of designing pupil filters for transverse super-resolution. For this end we represent the amplitude Point Spread Function (PSF) as a series expansion, constructed from the Fourier transform of a basis of Bessel functions. With this representation we optimize the intensity PSF according to certain desired characteristics, such as a smaller disk diameter than the corresponding, clear aperture, Airy disk. It is proved that by using few basis functions, it is possible to design pupils with similar or better PSF characteristics than previously reported.

Les pupilles super-résolvantes sont utilisées dans des domaines techniques divers tels que l’astronomie [32], l’ablation laser [33], la microscopie confocale 4Pi [34–36] ou le stockage de données à haute densité [43]. Dans le cadre de notre travail, nous avons supposé une distribution d'amplitude complexe normalisée 𝐺(𝛿, 𝜂) d'une fonction de pupille complexe 𝑃(𝜌) de symétrie axiale [30,44]:

𝐺(𝛿, 𝜂) = 2 ∫ 𝑃(𝜌)₀¹ 𝑒^{(−𝑖2𝜋𝛿𝜌2)}𝐽₀(𝜂𝜌)𝜌𝑑𝜌, (3.5.3) Où ρ représente la coordonnée radiale normalisée et δ, η sont les coordonnées optiques axiale et transversale et sont respectivement définies par 𝜂 = 2𝜋𝑟 NA/𝜆 et 𝛿 = 𝜋𝜉𝑁𝐴2/2𝜆, d’où r et 𝜉 = 𝑧 − 𝑓 sont respectivement les distances radiale et axiale du foyer, NA est l’aperture numérique et λ la longueur d’onde.

On peut décrire une fonction de pupille comme

𝑃(𝜌) = ∑^𝐾_𝑛=0𝐶_𝑛𝐽₀(𝛼_𝑛𝜌), (3.5.4)

avec 𝐽₀(𝑥) étant la fonction Bessel de premier type et ordre zéro, 𝛼_𝑛 sont les racines de 𝐽₁(𝑥), 𝐶_𝑛 sont les coefficients, possiblement complexes, qui seront calculés et 𝐾 + 1 le nombre de fonctions base adoptées dans cet article. Pour calculer l’amplitude transverse en 𝑃(𝜌) on fait 𝛿 = 0 dans l’équation (3.5.3). En injectant l’équation (3.5.4) en (3.5.3) on peut obtenir

𝐺(𝜂) = 𝐺(0, 𝜂) = ∑^𝐾_𝑛=02𝐶_𝑛∫ 𝐽₀¹ 0(𝛼_𝑛𝜌)𝐽₀(𝜂𝜌)𝜌𝑑𝜌, (3.5.5) après, nous évaluons l’intégrale tel que montré en [44] et ainsi (3.5.5) peut se réécrire comme

𝐺(𝜂) = ∑^𝐾_𝑛=0𝐶_𝑛𝐺_𝑛(𝜂), (3.5.6) avec

𝐺_𝑛(𝜂) = 2𝐽₀(𝛼_𝑛)𝜂𝐽₁(𝜂)/(𝜂2− 𝛼_𝑛2). (3.5.7) La fonction 𝐺_𝑛(𝜂) ressemble à une fonction d’Airy normalisée avec un maximum principal décalé à la coordonnée radiale 𝜂 = 𝛼_𝑛. Il faut aussi trouver les coefficients 𝐶_𝑛 de l’équation (3.5.6) qui annulent

l’intensité de la FI (PSF) au rayon prédéterminé. Une fois les coefficients calculés, il faut les recalculer selon 𝐶_𝑛/𝑚𝑎𝑥[|𝐹(𝜌)|] de telle façon que la condition |𝐹(𝜌)| ≤ 1 soit satisfaite. 𝐹(𝜌) peut prendre des valeur positives ou négatives, ce qui correspond à un filtre hybride, c’est-à-dire, un filtre à amplitude et phase variable même si les variations de phase sont restreintes aux valeur se trouvant entre 0 et π. Par contre, dans le cas de filtres de pupille uniquement d’amplitude, |𝐹(𝜌)| > 1 et dans les filtres uniquement à phase |𝐹(𝜌)| = 1, ce qui implique des transmissions d’amplitude complexes constantes. De la même façon que dans [45,46], la réduction de la taille ε du cercle, le rapport de Strehl S et l’intensité relative du lobe latéral Γ sont les paramètres à contrôler et sont définis par

𝜀 = ^𝐷 𝐷_𝑐, (3.5.8) 𝑆 =_𝑃𝑆𝐹^{𝑃𝑆𝐹(0)} 𝑐(0), (3.5.9) Γ = ^{𝑃𝑆𝐹(0)} 𝑃𝑆𝐹₀(𝜇₁), (3.5.10)

D est le diamètre du cercle central, le sous index c se réfère à l’aperture à vide, et 𝜇₁ est la position du premier maximum secondaire. Des équations (3.5.6) et (3.5.7) on peut déduire :

𝐼(𝜀𝜂₁) = |𝐺(𝜀𝜂₁)|2, (3.5.11)

I est l’intensité de la FI (PSF), 𝜂₁ est le premier zéro de la fonction d’Airy et 𝜀 < 1 est le paramètre de gain super-résolvant. Cela signifie que le processus d’optimisation a été effectué à la coordonné radiale 𝜀𝜂₁. Le rapport de Strehl et l’intensité du lobe latéral dépendent de la valeur 𝐾 + 1 qui est le nombre de fonctions impliquées dans le processus d’optimisation. Plus la valeur de K est grande, plus la réduction de S et le grossissement de Γ sont importants.

Les résultats obtenus et publiés dans cet article ont servi à fixer le cahier de charges pour nos manipulations pratiques, à améliorer les performances de nos modulateurs spatiaux de lumière et à préparer les pupilles qui ont, par la suite, été utilisées pour obtenir les résultats qui seront montrés dans la section suivante. Trois coefficients 𝐶_𝑛 (0,2959 ; -0,8860 et 1,1571) ont été nécessaires pour satisfaire l’équation (3.5.11) et pour nous permettre d’obtenir une FI avec 𝑆 = 0,0876 et Γ = 4,41 avec 𝜀 = 0,64 et 𝐾 = 3. La figure 3.9 montre nos résultats comparés aux résultats obtenus par Canales et Cagigal [46]. La FI que nous avons optimisée (ligne continue) et celle de Canales et Cagigal ont la même valeur de 𝜀. Pour presque la même valeur de Γ, le rapport de Strehl que nous avons obtenu est plus basque le leur.

Figure 3.9. FI normalisé obtenu avec notre méthode (ligne continue) et comparée avec celle obtenue par la méthode proposée en [46].

Les trois coefficients 𝐶_𝑛 injectés dans (3.5.4) nous permettent de reconstruire la fonction de pupille montrée dans la figure 3.10.

Figure 3.10. Fonction de pupille correspondant à la FI montrée dans la figure 3.9.

Notre pupille est hybride et peut être vue comme une pupille annulaire de phase et modulée par une fonction positive continue et non lisse. Elle ressemble plutôt à la pupille présentée par Gundu et al. [45] avec presque la même valeur de Γ.

Un calcul rapide nous a permis d’estimer le degré de super-résolution théorique qui peut être atteint avec ces filtres de pupille. Dans la figure 3.11, les courbes du rapport de Strehl du maximum central S₀ et du premier lobe latéral S₀ sont montrées pour un paramètre de gain super-résolvant ε donné et K = 6. Théoriquement, il est possible d’obtenir presque n’importe quelle quantité de super-résolution du cercle central avec des conséquences négatives dans la réduction du rapport de Strehl et l’augmentation du rapport de Strehl du lobe secondaire. Pour une ε = 0,47 on est sur le point d’intersection des courbes.

Figure 3.11. Courbes du rapport de Strehl pour le cercle (ligne continue) et premier anneau (ligne discontinue) comme fonction du paramètre ε de gain super-résolvant.

3.5.3 Obtention d’une pupille super-résolvante et de sa fonction impulsionnelle à l’aide