1.4 Modélisation de la composition chimique de l’atmosphère
1.4.2 Processus modélisés
De nombreux processus interviennent dans un modèle numérique, même si dans la réalité tous ces processus interagissent entre eux en même temps, ils sont résolus les uns après les autres dans le cadre de la modélisation. Une schématisation des différents processus présents dans un modèle climatique est représenté sur la figure 1.13. Dans le cas de CTM, i.e. s’il n’y pas de couplage entre la composition chimique de l’atmosphère et la dynamique, la boucle de rétroaction (flêche en trait plein sur la figure 1.13) des concentrations des espèces chimiques vers la dynamique n’est pas présente.
Figure 1.13 – Processus physiques représentés dans les CCMs, d’après Delmas et al. (2005) Présentons succinctement ces différents processus et les problématiques de modélisation as-sociés. Cette présentation n’est pas exhaustive, nous ne faisons ici qu’un panorama de quelques méthodes existantes.
1.4.2.1 Noyau Dynamique
Le noyau dynamique décrit l’évolution temporelle des variables dynamiques comme le vent, la température ou la pression. Plusieurs schémas numériques existent afin de résoudre les équa-tions hydrostatiques primitives, elles peuvent être résolues dans l’espace physique ou dans l’es-pace spectral.
Dans l’espace physique, la plupart des modèles utilisent une grille tri-dimensionnelle (latitude, longitude et niveau d’altitude/pression). Ces grilles sont souvent rectangulaires, un traitement particulier est alors appliqué aux pôles. La coordonnée verticale peut être l’altitude ou la pression atmosphérique, mais elle pourra souvent être une coordonnée purement sigma (Phillips, 1957) ou hybride sigma-pression ou sigma-altitude. La coordonnée sigma est définie comme la pression
normalisée par sa valeur à la surface, on a alors σ = 0à la surface et σ = 1au sommet de l’ atmosphère. Cette coordonnée a l’avantage d’épouser le relief aux basses altitudes.
La transformée spectrale (Holton, 1992) permet de résoudre l’équation hydrostatique de manière efficace. Néanmoins, le transport est difficilement soluble dans le domaine des fréquences, on reste alors généralement dans l’espace physique.
Les équations primitives sont les équations fondamentales résolues dans le noyau dynamique des modèles.
L’équation de continuité pose le principe de conservation de la masse.
∂(ρv) ∂t +
− →
∇ ·(−→v ρ) = 0 (1.45)
ρest la masse volumique du fluide,~v la vitesse d’une particule de fluide.
L’équation de conservation de la quantité de mouvement est l’application du principe fonda-mental de la dynamique à un fluide :
D−→v Dt + 1 ρ − → ∇(p)−g+ 2−→Ω × −→v =−→F (1.46) Où D
Dt est la dérivée Lagrangienne, −→F l’ensemble des forces appliquées au fluide,−→Ω la vitesse de rotation de la Terre, p la pression et g l’accélération gravitationnelle.
L’équation de conservation de la température potentielle est dérivée du premier principe de la thermodynamique :
Dθ
Dt = 0 (1.47)
θest la température potentielle, c’est la température que prendrait une particule atmosphérique si elle subissait une transformation adiabatique la ramenant à une pression de référencep0. Elle est définie par :θ =T(p0
p)CpR, R étant la constant de Boltzmann et Cp la chaleur massique à pression constante. L’équation 1.47 est valide pour une transformation adiabatique, dans le cas contraire il faut prendre en compte les transferts de chaleur avec l’extérieur.
Dans la plupart des modèles globaux, on pose aussi l’hypothèse de l’équilibre hydrostatique, i.e. l’équilibre entre force de gravité et force de pression verticale :
−ρg=dp
dz (1.48)
1.4.2.2 Schéma Chimique
Afin de déterminer l’évolution temporelle et spatiale de la concentration des espèces chi-miques il faut résoudre numériquement les équations différentielles décrivant les réactions entre espèces. La thermodynamique de l’atmosphère impacte sa composition ; les vents déplacent les molécules, et les vitesses de réactions sont affectées par la température.
L’évolution de la concentration C d’une espèce chimique i est décrite par l’équation de continuité (Shepherd, 2003), deux formulations sont possibles :
Formulation eulérienne : ∂Ci ∂t =−−→v · ∇Ci+Pi−Li (1.49) Formulation lagrangienne : dCi dt =Pi−Li (1.50)
Où P et L sont les termes de production et de perte. On considère ici que la diffusion moléculaire est négligeable.
Si l’on veut détailler l’équation 1.49, on peut aussi mettre en évidence l’émission (E) et le dépôt sec ou humide (D) :
∂Ci
∂t =−−→v · ∇Ci+Pi0−L0i+Ei−Di (1.51) P’ et L’ représentent alors production et destruction non liés à l’émission ou au dépôt.
On souhaite ainsi résoudre un système d’équations différentielles représentant l’évolution de chaque espèce. Les échelles de temps entre chaque espèce sont très variables, certaines ont des durées de vies longues, donc un terme de perte L petit, on peut citer le CH4ou N2O par exemple. D’autres ont un L très élevé, donc une durée de vie très courte, on dit alors que le système à résoudre est raide. (Austin, 1991b)
Dans la pratique de modélisation de la chimie, on sépare l’advection des espèce chimiques de la production et perte que l’on considère locales. Dans le calcul des productions et pertes on sépare parfois l’émission et le dépôt de la production et perte due à des réactions chimiques.
On doit ainsi résoudre pour la chimie gazeuse des équations différentielles ordinaires (ODE) homogènes d’ordre un. Plusieurs schémas chimiques existent, ils doivent satisfaire plusieurs critères :
— Conservation de la masse : Tous les atomes ou groupe d’atomes doivent être conservés. — Précision : La solution numérique doit être la plus précise possible. Si l’on suppose
connaître le cas idéal, on doit s’en rapprocher le plus.
— Positivité : Les concentrations ne doivent pas être négatives, une concentration inférieure à zéro peut entraîner l’instabilité du schéma numérique.
— Flexibilité : Facilité d’ajout d’espèces chimiques. Détaillons maintenant certaines méthodes de résolution.
1.4.2.2.1 Résolution explicite et implicite :
La résolution explicite évalue la concentration C d’une espèce i au temps t avec la concentra-tion C de l’espèce au temps (t-h), où h est le pas de temps de discrétisaconcentra-tion choisi, la producconcentra-tion et la perte au temps (t-h) : Soit :
Dans le cas de la méthode explicite le pas h est dépendant de l’espèce chimique ayant la plus faible durée de vie. Si le pas de temps est trop élevé, le schéma de résolution devient instable. Cette méthode conserve la masse mais nécessite un pas de temps très court, son coût de calcul numérique devient ainsi élevé. Elle n’est donc que peu viable pour résoudre un système raide d’ODE chimique.
Dans le cas de la résolution implicite on évalue production et perte au temps t, on a alors :
Ci,t=Ci,t−h+h(Pi,t−Li,t) (1.53) Pour évaluer P et L au temps t, on utilise l’équation 1.52, pour le premier pas de temps une méthode itérative explicite est toutefois nécessaire.
La résolution implicite conserve la masse si la méthode converge et a l’avantage d’être in-conditionnellement stable. Néanmoins elle reste numériquement coûteuse, chaque pas de temps du modèle nécessitant plusieurs calculs afin d’assurer la convergence de la solution.
À partir de ces méthodes de résolution simple, de nombreuses méthodes de résolution plus complexes ont été developpées afin d’améliorer précision, stabilité, rapidité de calcul ou flexibi-lité. On peut citer notamment la méthode de Gear (Gear, 1971) ; la dérivée est exprimée comme l’interpolation de concentrations à différents temps :
∂C ∂t =
Ci,t−aCi,t−h−bCi,t−2h−cCi,t−3h...
hd (1.54)
Où a, b, c et d sont des scalaires. Une fois le système d’ODE exprimé sous forme matricielle, des techniques de décompositions matricielles et de résolution de système sont utilisées. À chaque itération les valeurs précédentes sont recalculées et la convergence est vérifiée.
1.4.2.2.2 Méthode des familles.
Un schéma chimique satisfaisant parfaitement à tous les critères cités précédemment n’existe malheureusement pas. Certaines espèces peuvent se regrouper en famille car les réactions entre membre d’une même famille sont plus rapides que les changement de concentration de toute la famille (Crutzen (1971), Turco and Whitten (1974), Austin (1991a)). On peut citer par exemple les familles regroupant les oxygènes (O, O(1D), O3, NO2, ...) , azotes (NO, NO2, NO3, ...) et hydrogènes impair (OH, OH2, H2O2). Regrouper ces espèces chimiques par famille permet entre autre de réduire le nombre d’espèces chimiques à advecter (Douglass et al., 1989). On part donc du principe qu’au sein d’une même famille de gaz les atomes s’échangent beaucoup plus rapidement qu’en dehors de cette famille. On peut prendre en exemple le cycle de l’oxygène :
O3+hν→O2+O(1D) (1.55)
O2+hν→O+O (1.56)
O(1D)→O (1.57)
O+O2+M →O3+M (1.58)
L’échange au sein de cette famille est très rapide mais la perte d’oxygène vers d’autres groupes de réaction est plus lent.
Pour résoudre le système, il faut en premier lieu calculer production et perte pour chaque individu de la famille. Suivons l’exemple de Jacobson (2005), soit deux familles :
[F am1] = [A] + [B] + [C] (1.59)
[F am2] = [D] (1.60) Les crochets indiquant une concentration pour les espèces A, B, C et D. Si les réactions sont :
A→B(ka) (1.61)
B→C(kb) (1.62)
C→D(kc) (1.63)
(1.64) On calcule alors taux de production et perte :
d[A] dt =−ka[A] (1.65) d[B] dt =ka[A]−kb[B] (1.66) d[C] dt =kb[B]−kc[C] (1.67) d[D] dt =kc[C] (1.68) (1.69) L’évolution temporelle des familles implique :
d[F am1] dt = d[A] dt + d[B] dt + d[C] dt =−kc[C] (1.70) d[F am2] dt = d[D] dt =kc[C] (1.71) (1.72) On calcule alors l’avancement temporel de la famille, par exemple avec un schéma d’Euler explicite : [F am]t= [F am]t−h+hd[F am]t−h dt (1.73) Soit : [F am1]t= [F am1]t−h−hkc[C]t−h (1.74) [F am2]t= [F am1]t−h+hkc[C]t−h (1.75) (1.76) Dans le cas de la famille 2, on obtient quasi directement la concentration de l’espèce D,
Pour la famille 1, il faut partitionner la concentration totale de la famille entre ses différents membres. [A]t= [F am1]t 1 + [B]t [A]t +[C]t [A]t (1.77) [B]t= [A]t [B]t [A]t (1.78) [C]t= [A]t [C]t [A]t (1.79) On considère que chaque espèce dans la famille est à l’état de repos, soit :
d[B]
dt =ka[A]−kb[B] = 0 (1.80)
d[C]
dt =kb[B]−kc[C] = 0 (1.81) (1.82) On peut ainsi supposer que :
[B]t [A]t ≈ [[BA]] = ka kb (1.83) [C]t [A]t ≈[[CA]] = [C] [B] [B] [A] = ka kb ka kb = ka kc (1.84) (1.85) On obtient alors : [A]t= [F am1]t 1 +ka kb +ka kc (1.86) [B]t= [F am1]t ka kb 1 +ka kb +ka kc (1.87) [C]t= [F am1]t ka kc 1 +ka kb +ka kc (1.88) (1.89) Pour partitionner on peut aussi linéariser le système d’ODE Jacobson (1994).
La méthode des familles est rapide, car on peut y utiliser des pas de temps longs, sa précision est correcte pour un système peu ou moyennement raide (Jacobson, 2005). La précision décroît en fonction de la raideur du système. La mise en place de cette méthode nécessite une validation rigoureuse pour chaque famille crée. La résolution explicite de la famille peut mener à des concentrations négatives, il faut alors réduire le pas temporel et refaire le calcul, cela peut augmenter le coût de calcul de cette méthode.
1.4.2.3 Transport
La distribution des espèce chimiques est déterminée par leur transport, le premier terme de l’équation de continuité (1.49). Différents schémas d’advections sont utilisés dans les CCMs ; le schéma des différences finies, des volume finis ou de développements en séries. Comme pour la résolution de la chimie plusieurs propriétés sont recherchées (Rasch and Williamson, 1990) :
— Précision — Stabilité
— Conservation de la masse : Un traceur inerte, i.e. une particule n’interagissant dans aucune réaction, ne doit pas voir sa masse totale changée.
— Monotonie : Pas d’exarcerbation des gradients spatiaux, un traceur distribué de manière homogène doit rester homogènement distribué, l’atmosphère tendant vers un état de mélange homogène.
Détaillons quelques schémas de résolution numérique.
1.4.2.3.1 Différences finies
Afin d’utiliser le schéma de différences finies on discrétise l’espace et le temps sur une grille. On approxime alors les dérivées partielles par des différences à droite, à gauche ou centrée.
∂u ∂x ≈δuδxi i = ui+1−ui−1 xi+1−xi−1 (1.90) ∂u ∂x ≈δuδxi i = ui+1−ui xi+1−xi (1.91) ∂u ∂x ≈δuδxi i = ui−ui−1 xi−xi−1 (1.92) (1.93) Pour des dérivées d’ordre supérieur, le théorème de Taylor nous permet d’écrire la vitesse u au point x : ux+δx=ux+δx∂ux ∂x + 1 2δx 2∂2ux ∂x2 +... (1.94) ux−δx=ux−δx∂ux ∂x −12δx2∂ 2ux ∂x2 +... (1.95)
Si l’on combine alors les deux équations précédentes on obtient :
∂2ux
∂x2 = ux+δx−2ux+ux−δx
δx2 +O(δx2) (1.96)
On peut obtenir de la même façon des approximations pour des dérivées d’ordre supérieur. À partir de ces différences finies des schémas plus complexes ont été développés.
Le schéma leapfrog évalue les variables au tempst−δtà partir des temps t ett−2δt. Ce dernier étant instable pour des équations non linéaires, il est généralement associé au schéma de Matsuno (Matsuno, 1966), un schéma explicite temporel. On peut citer quelques autres algorithmes : le schéma d’Heun, d’Adams-Bashforth ou encore de Runge-Kutta à différents ordres.
1.4.2.3.2 Volumes finis
La méthode des volumes finis consiste à discrétiser l’espace en volumes finis. Les équations aux dérivées partielles sont ensuite intégrées sur chaque volume. La valeur des variables de chaque volume est estimée comme la moyenne sur le volume. Les flux sont ensuite estimés et des échanges sont réalisés entre volumes adjacents. Cette méthode est détaillée plus précisément par (Durran, 2010).
1.4.2.3.3 Lagrangien
On peut adopter un point de vue lagrangien, i.e. le référentiel est alors en mouvement, on advecte et suit les différentes parcelles d’air, ce point de vue est toutefois peu adapté à la modélisation du climat car au cours du temps certaines parcelles peuvent s’accumuler et laisser des régions de l’atmosphère sans parcelle à advecter. L’existence des espèces est ainsi dépendante du pas temporel de résolution de la dynamique. La bonne discrétisation de l’équation de continuité y est importante pour réduire les sources d’erreurs.
1.4.2.3.4 Semi-Lagrangien
Afin de pallier aux problèmes associés au point de vue lagrangien, une méthode semi-lagrangienne est souvent utilisée (Williamson and Rasch, 1989), ici on évalue à chaque pas l’origine spatiale et temporelle de la variable. Par exemple supposons que l’on souhaite évaluer la concentration C d’un gaz au (x,t). On l’approxime par la valeur de concentration de ce gaz au temps (t−δt) et à une distance δx= V δtoù V est la vitesse du vent. Ensuite une étape d’interpolation est nécessaire car on ne tombe pas forcément sur un point de grille. L’avantage de cette méthode est qu’elle est stable pour des pas de temps longs ; néanmoins elle ne conserve pas la masse.
Certains modèles utilisent aussi des schémas de résolution différents pour les variables mé-téorologiques et les traceurs chimiques. Les avantages peuvent être les suivants : L’advection spectrale et les différences finies conservent la masse. Les schémas semi-lagrangiens permettent des pas de temps longs (temps de calcul plus courts), de plus on obtient la rétrotrajectoire de toutes les espèces chimique grâce à un seul calcul.
1.4.2.4 Diffusion horizontale
La diffusion horizontale permet de refermer les équations dynamiques horizontales. Plusieurs schémas numériques existent représentant la diffusion. Même si leurs caractéristiques diffèrent, l’objectif est ici de réduire l’instabilité dynamique avec le moins d’impact sur la dynamique de grande échelle (Morgenstern et al., 2010).
1.4.2.5 Radiation
Le rayonnement interagissant avec l’atmosphère s’étend des ultraviolets du Soleil à l’infra-rouge émis par la Terre. Des flux de chaleur sensible et latente participent au transfert de chaleur.
La chaleur sensible provient de l’énergie interne de l’air tandis que la chaleur latente vient de phénomènes comme la condensation ou l’évaporation.
Les processus radiatifs doivent aussi être traités dans un modèle numérique. Le schéma gé-néralement utilisé est l’approximation "two-streams" détaillée précédemment. On peut alors calculer les coefficients de photolyse dans le spectre ultraviolet. Cette méthode est dite "online", il existe aussi une version offline consistant à utiliser des tables de références pour chaque réac-tion de photolyse en foncréac-tion de différentes variables comme la pression, l’angle solaire zénithal, la colonne totale d’ozone et la température (Lary and Pyle, 1991). La méthode offline est numé-riquement beaucoup moins coûteuse mais peut souffrir d’approximation, notamment si certaines variables sont considérées uniformes (albédo de surface, nuages, aérosols) (Chipperfield, 1999a).
1.4.2.6 Conditions aux bords
Les conditions aux bords sont aussi source de différenciation entre modèle numérique. Au sommet de l’atmosphère, une éponge diffusive est parfois utilisée afin de réduire les réflexions des ondes atmosphériques. Cette éponge peut tout de même être source d’erreur dans les couches plus basses ((Shepherd et al., 1996), (Shepherd and Shaw, 2004)).
À la surface les sources de gaz, comme les gaz à effet de serre ou les ODS (Ozone Depleting Substance, gaz participant à la destruction de l’ozone) sont prescrites suivant les observations ou le scénario d’émission. Le dépôt sec est généralement définit comme le produit de la vitesse de déposition et de l’abondance d’un gaz. La vitesse de dépôt est spécifique pour chaque gaz et surface (Walcek and Taylor, 1986). Le dépôt humide est la récupération des gaz par les gouttelettes nuageuses, elle est soit résolue numériquement de manière explicite, soit représentée de la manière climatologique.
Des schémas représentant des flux de surface comme l’évaporation, ou les flux de chaleur sont nécessaires au fonctionnement du modèle, ils font partie de la gestion de la couche limite.
1.4.2.7 Nuages
Les nuages sont très difficiles à représenter dans un modèle et sont l’une des sources princi-pales d’incertitudes (IPCC, 2013). Historiquement une climatologie de la distribution nuageuse a été en premier lieu implémentée dans les modèles (Holloway Jr and Manabe, 1971). Puis vint la paramétrisation diagnostique de nuages, en fonction de l’humidité relative, de la vitesse verti-cale (Wetherald and Manabe, 1988) mais aussi de la stabilité et de la convection (Slingo, 1987). Les schémas les plus récents incluent la partie liquide ou glace des nuages. De plus des schémas microphysiques sont implémentés représentant les changements de phase, l’érosion des nuages ou encore les précipitations internes.
1.4.2.8 Autres processus physico-chimiques
Parmi les processus physico-chimiques développés récemment on peut citer la végétation dynamique, le cycle du carbone, la dynamique des glaces ou les effets des aérosols sur la formation des nuages.