Proc´edure de calcul

1.2.5.1 Calcul de l’avanc´ee de fissure

L’avanc´ee de fissure ∆a sur une s´equence de chargement de N_s cycles est simplement donn´ee par : ∆a = Ns X i=1 δa_i = C_eff Ns X i=1 (∆K_{eff, i})^m (1.19)

o`u ∆K<sub>eff, i</sub> est calcul´ee `a partir des relations (1.15) ou (1.18) suivant que le Rainflow s’applique ou non.

En utilisant l’expression du facteur d’intensit´e de contrainte K(a) = σF (a)√ πa, o`u F (a) est un facteur de forme qui d´epend de la g´eom´etrie de l’´eprouvette consid´er´ee et des dimensions de la fissure, la relation (1.19) devient :

∆a = Ns X i=1 δa_i = C_eff Ns X i=1 (∆K_{eff, i})^m= C_eff Ns X i=1 [F (a_i)∆σ_{eff, i}√ πa_i]^m (1.20)

1.2.5.2 Hypoth`ese de stationnarit´e

L’´etat de stationnarit´e caract´erise ici l’´evolution des niveaux d’ouverture K_ouv d’une fissure. Le spectre de chargement est consid´er´e comme stationnaire si les niveaux d’ouver-ture K_ouvsignificatifs restent constants sur ce dernier, en d’autres termes s’ils ne d´ependent pas de l’avanc´ee de fissure.

Au sens d’Elber, on peut consid´erer les niveaux d’ouverture constants pour des s´e-quences r´ep´etitives d`es lors que la fissuration par s´equence reste contenue dans la zone plastique des maximums dominants (c’est-`a-dire KH_{max, mm=1, ..., n}), en raison de l’aspect r´ep´et´e de ces maximums. A.U. de Koning et H.H. van der Linden [dKvdL81] consid`erent que la position d’ouverture est stable sur 70 % de la zone plastique monotone engendr´ee par le maximum (unique ou non).

L´egitimit´e de l’hypoth`ese. Le mod`ele PREFFAS fait l’hypoth`ese que, de par l’aspect tr`es perturb´e des spectres a´eronautiques, les surcharges sont nombreuses et r´ep´etitives `a court terme. A. Davy et D. Aliaga consid`erent donc que les spectres a´eronautiques peuvent ˆetre simplifi´es en une s´equence repr´esentative des niveaux de charges vus par les

1.2. Mod`ele PREFFAS

structures a´eronautiques r´ep´et´ee le long du spectre. Sous cette hypoth`ese, ils peuvent ainsi l´egitimement consid´erer un ´etat stationnaire des effets d’interaction.

Effets mod´elis´es. L’hypoth`ese de stationnarit´e des effets d’interaction permet de mo-d´eliser un ´etat `a surcharges multiples, pour lequel l’effet d’´evanescence des maximums est n´eglig´e. D’une mani`ere g´en´erale, l’´evanescence de l’effet de surcharge porte sur la zone plastique monotone de surcharge et est atteinte lorsque la zone plastique g´en´er´ee par le cycle en cours, i. e. le cycle i, vient tangenter la zone plastique monotone de surcharge. Pour un ´etat `a surcharges multiples avec s´equences courtes, la zone plastique monotone de surcharge est recr´e´ee avant que la zone plastique cr´e´ee par le cycle i ne vienne la tangenter.

Impact sur le calcul de l’avanc´ee. L’hypoth`ese de stationnarit´e qui est retenue dans le mod`ele PREFFAS n´ecessite d’avoir des s´equences de chargement courtes pour lesquelles l’avanc´ee de fissure est faible. Sur de telles s´equences, on peut supposer que le facteur de forme F (a) reste constant et donc transformer l’´equation (1.20) en :

∆a = Ns X i=1 δa_i = C_eff[F (a_i)√ πa_i]^m Ns X i=1 [∆σ_{eff, i}]^m = C_eff[F (a_i)√ πa_i]^mEF (1.21)

ce qui permet de dissocier les effets du chargement des effets g´eom´etriques.

La quantit´e EF traduit les effets d’interaction de la s´equence de chargement et les niveaux de contraintes σ_minet σ_maxvus par la structure fissur´ee. Son calcul est r´ealis´e cycle-`a-cycle `a partir des ∆σ_{eff, i} = σ_{max, i}− σouv, i. L’ouverture de chaque cycle σ_{ouv, i} exprim´ee en termes de contrainte est d´etermin´ee de la mˆeme mani`ere que K<sub>ouv, i</sub>, c’est-`a-dire `a partir des valeurs d’histoire exprim´ees en termes de contraintes{σHmax; σHmin; σHouv}. EF est appel´ee efficacit´e de la s´equence, [Ren90].

1.2.5.3 R´esultat PREFFAS et algorithme

R´esultat PREFFAS. Le mod`ele PREFFAS permet de calculer l’efficacit´e de la s´e-quence EF `a partir d’une s´es´e-quence de chargement d’amplitude variable sur laquelle ∆a est suppos´ee petite. La donn´ee de EF permet de transformer la s´equence de chargement d’amplitude variable en une s´equence de chargement d’amplitude constante ´equivalente en termes d’avanc´ee de fissure, c’est-`a-dire qui donne la mˆeme avanc´ee de fissure que le chargement d’amplitude variable avec la loi de Paris, voir figure 1.14.

Figure 1.14 – Equivalence avec chargement d’amplitude constante avec PREFFAS.

Si l’on fixe le nombre de cycles N_fix de cette s´equence d’amplitude constante ainsi que le rapport de charge R_fix, l’´equivalence en termes d’avanc´ee de fissure s’´ecrit :

∆a = C_Rfix F (a)√

πa (1− Rfix)σ_eq m

N_fix= C_effF (a)√ πam

EF (1.22)

o`u σ<sub>eq</sub> est la contrainte maximale du chargement ´equivalent `a d´eterminer.

La contrainte σ_eq, appel´ee dans la suite s´ev´erit´e de la s´equence, est obtenue simplement ` a partir de l’expression (1.22) : σeq = EF N_fix 1 m 1 U (R_fix)(1− Rfix) ^(1.23)

Il est important de noter que la contrainte σ_eq ne d´epend que du chargement et pas de la g´eom´etrie de la structure ´etudi´ee. Ce r´esultat de PREFFAS sert dans la suite pour la va-lidation de la mod´elisation stochastique du chargement, bas´ee sur des donn´ees enregistr´ees en vol.

Temps de calcul. La dissociation des effets du chargement des effets g´eom´etriques dans PREFFAS, rendue possible grˆace `a l’hypoth`ese de stationnarit´e, conduit `a des proc´edures de calcul relativement simples et rapides, par comparaison `a la m´ethode Strip Yield par exemple. L’efficacit´e EF est calcul´ee `a partir des valeurs d’ouverture de l’histoire du char-gement KHouv, net de la m´ethode Rainflow lorsque celle-ci s’av`ere n´ecessaire. En principe, elle ne devrait ˆetre calcul´ee qu’une fois sur la s´equence. Cependant pour initialiser les

va-1.2. Mod`ele PREFFAS

leurs d’histoire de chargement KHouv, n, le calcul doit ˆetre effectu´e deux fois. L’efficacit´e de la s´equence calcul´ee la deuxi`eme fois est ainsi correctement ´evalu´ee.

Algorithme. A partir d’une description compl`ete de l’algorithme obtenue aupr`es de DGA/Techniques A´eronautiques dont la version correspond au PV A´erospatiale n˚47904, le mod`ele PREFFAS, tel que pr´esent´e, a dˆu ˆetre programm´e sous Matlab sous une forme vectoris´ee afin de rendre possible les calculs probabilistes men´es dans la suite des travaux de th`ese. Il est ainsi possible de traiter simultan´ement plusieurs chargements d’amplitude variable. La fonctionnalit´e de cette subroutine est donn´ee sur la figure 1.15.

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Figure 1.15 – Entr´ees/ sorties de la fonction PREFFAS.