Sorties : : booléen, : une tournée admissible ;
1 ; Mettre ; 2 Calcule pour le sommet ;
3 Si alors return ;
4 Sinon
5 | Calcule ;
6 | Mettre ;
7 | Mettre à jour pour le sommet ;
8 | Si alors
9 | | ;
10 | Sinon
11 | | Calculer ;
12 | | Pour le sommet et faire
13 | | | Calculer ;
14 | | | Mettre ;
15 | | | Mettre à jour pour le sommet est situé après le sommet ;
16 | | | Calcule pour le sommet ;
17 | | | Si , alors 18 | | | | ; 19 | | | Fin 20 | | Fin 21 | Fin 22 Fin
Nous utilisons la procédure « Evaluation_Cordeau_Laporte » (voir l’Algorithme 1) pour déterminer si la tournée « Charge-Admissible » est « Temps-Admissible » ou pas. Si la tournée admissible est déterminée par la procédure, les trois critères de la tournée :
4. Prétraitement
Cette section décrit la réduction des fenêtres de temps et l'élimination d’arcs du graphe qui peuvent être appliqués avant l'algorithme. Ces prétraitements permettent d’accélérer les calculs effectués par les heuristiques.
4.1. La réduction des fenêtres de temps
Ce prétraitement réduit au maximum les fenêtres de temps avant l’exécution de l’algorithme d’insertion. Afin de réduire les fenêtres de temps, on utilise les règles suivantes :
Les fenêtres de temps liées au dépôt et au dépôt peuvent être réduites par :
o ;
o .
La fenêtre de temps liée au sommet origine , peut être réduite par : o ;
o ;
o .
La fenêtre de temps liée au sommet destinataire peut être réduite par : o ;
o ; o .
4.2. L’élimination d’arcs
Soient deux demandes et , . Dans le cadre du prétraitement, nous pouvons vérifier la validité des tournées suivantes :
Dans le cas où le processus de vérification conclut qu'aucune des tournées ci-dessus n’est admissible, on dit que et ne sont pas compatibles, et nous notons . En raison des contraintes des fenêtres de temps et des durées maximum de transport, plusieurs arcs du graphe peuvent en effet être retirés car ils ne peuvent appartenir à une solution réalisable. Une analyse simple conduit aux observations suivantes :
, les arcs , et sont infaisables;
, les arcs sont infaisables si ;
, les deux arcs et sont infaisables si .
Les autres règles de l'élimination d’arc ont été proposées par Dumas et al. (1991) [58], combinant des fenêtres de temps et des contrainte d'appariement. On obtient des règles d'élimination encore plus forte :
, si le chemin est infaisable, alors l’arc est infaisable;
, si le chemin est infaisable, alors l’arc est infaisable;
, si deux chemins et sont infaisables, alors l’arc est infaisable ;
, si deux chemins et sont infaisables, alors l’arc est infaisable.
Dans le cas où l’arc ci-dessus n’est pas infaisable, on dit que les sommets et ne sont pas compatibles, c’est-à-dire, dans la tournée , le sommet ne se situe pas après le sommet , et nous notons .
5. La boucle principale
Dans la boucle principale, l’opération d’insertion est la composante la plus importante. Nous essayons deux stratégies différentes d'insertion. Ces deux stratégies sont conformes au schéma qui est présenté par la Figure 19 ci-dessous. Nous essayons de joindre une fonction de réparation et une fonction de réparation forte pour traiter le cas où une demande ne peut plus être insérée dans l’ensemble des tournées. Le but est de minimiser le coût total des tournées.
Choisir une demande Insertion Réussi Echec Réparation Ensemble de demandes Non Vide Réparation forte Vide Terminé Initialisation des tournées Echec Réussi Echec Réussi Rejet
5.1. Le mécanisme d’insertion
Etant donnés une tournée admissible , une demande et deux sommets et , l’opération insère la demande dans la tournée selon les sommets (positions d’insertion) et . Cet opération construit une nouvelle tournée en plaçant entre et et entre et ( peuvent être identiques). L’application de cette opération donne donc un résultat constitué de :
un booléen , qui indique si la tournée est « admissible » ou pas ; une valeur de coût de la nouvelle tournée admissible ;
la nouvelle tournée admissible ainsi construite.
La nouvelle tournée est évaluée en utilisant la procédure d’évaluation proposée par Cordeau et Laporte [77] décrite par l’Algorithme 1 dans la section précédente.
5.2. Processus de recherche d’insertion
À un moment donné en cours de processus, on considère une demande à insérer. On doit en principe regarder toutes les tournées . Pour chacune des tournées, tous les couples de sommet et sont testés par l’application d’opérateur . Dans tous les cas, on souhaite retenir l’insertion meilleure possible, c'est-à-dire celle qui correspond à la plus petite valeur . Si la tournée contient sommets (avec le dépôt de départ et le dépôt d’arrivée), on a positions différentes d’insertion pour la demande . Afin de diminuer le nombre des tests d’insertion et d’accélérer ce processus, on utilise et qui permettent :
d’éviter d’une insertion invalide de la demande dans une tournée qui contient une demande telle que ;
d’éviter d’une opération invalide.
5.2.1. L’intervalle d’insertion
Afin de diminuer le nombre d’opérations invalides, nous essayons de trouver deux intervalles d’insertion dans la tournée pour le sommet origine et le sommet destination de la demande :
la borne inférieure est donnée par le dépôt de départ de la tournée .
la borne supérieure est donnée par le premier sommet dans la tournée où il existe un conflit temporel avec le sommet de la demande tel que :
Soit ( ) la borne supérieure pour le sommet , les bornes supérieures sont définies comme suit :
o Si , alors les sommet et sont insérés uniquement après le sommet , (contrainte de précédence) ;
o Si , alors le sommet est inséré seulement après le sommet et le sommet est inséré seulement après le sommet ;
o Si le sommet n’est pas trouvé dans la tournée, alors le sommet ( ) peut être inséré à n’importe quelle position dans la tournée et .
La Figure 20 illustre la borne supérieure pour le sommet . Dans la tournée, est le premier sommet où il existe un conflit temporel avec : . L’intervalle d’insertion pour le sommet est .
3 0
o
1 4o
2 2 d1 5d
2 3o
3 5 d3 0x
] 100 , 0 [ [0,10] [2,8] [5,12] [10,16] ] 18 , 12 [ ] 18 , 14 [ 2 ] 30 , 20 [ [0,100] 5 ] , 3 [ 5 ] , 3 [ 7 ] , 2 [ 4 ] , 1 [ 5 ] , 2 [ 3 ] , 1 [ 2 ] , 0 [ x d Dist x o Dist x d Dist x d Dist x o Dist x o Dist x DistFigure 20 : La borne supérieure d’insertion pour un sommet
Lorsque deux intervalles et sont trouvés pour la demande , le sommet origine peut être inséré après un sommet tel qu’il n’existe pas ni . Le sommet destination peut être inséré après un sommet tel qu’il n’existe pas ni .
Pendant les tests d’insertion, la borne inférieure de l’intervalle d’insertion pour le sommet destination dépend de la borne inférieure du sommet origine : le sommet destination doit être situé après le sommet origine correspondant.
La Figure 21 montre l’intervalle d’insertion pour la demande dans la tournée . Supposons que et , la borne supérieure d’intervalle d’insertion pour le sommet origine est et la borne supérieure pour le sommet est . En raison de la contrainte de précédence, la borne supérieure du sommet est modifiée par . Nous supposons qu’il existe trois conflits temporels tels que , et . Pour le sommet origine , il reste encore 2 positions possibles (la position entre 0 et et la position entre et ). Si est inséré entre 0 et , il y a 3 positions possibles dans la tournée pour . Si est inséré entre et , alors il n’y a qu’une seule position (entre et ) dans la tournée pour . 0 0 0 0 4+ 1 o o2 1 o o2 1 d o3 o4 o5 1 d o3 o4 o5 i d 0 o1 o2 d1 oi o3 o4 o5 0 i d i o La borne supérieure
Figure 21 : L’intervalle de position insérée
5.3. Stratégie de recherche
Nous cherchons à priori la meilleure insertion possible pour la demande . Le temps de calcul nécessaire pour réaliser une recherche exhaustive étant long, on envisage de ne faire qu’une recherche partielle. Nous testons donc deux stratégies :
Stratégie exhaustive (voir l’Algorithme 2) : la demande étant donnée, on teste toutes les insertions compatibles avec et ;
Stratégie partielle (voir l’Algorithme 3) : on trie les valeurs selon l’ordre croissant des valeurs , et on arrête la recherche dès qu’une insertion
a été trouvée et que . (c’est-à-dire la tournée résultante est « Charge-Admissible » et « Temps-Admissible »)
Algorithme 2 : Insertion_Exhaustive (Stratégie1)