Probl`eme d’identification des contraintes r´esiduelles

Les ´equations du paragraphe pr´ec´edent ont mis en ´evidence l’influence des contraintes r´esiduelles sur le comportement ´elastique lin´eaire d’un solide. Les ´equations ont ´et´e d´eduites (voir [28, 52, 53]) apr`es une lin´earisation soign´ee des ´equations de l’´elasticit´e finie. La contrainte r´esiduelle devient ainsi une quantit´e constitutive, caract´erisant le comportement de la mˆeme mani`ere que les modules ´elastiques ou la densit´e. Il est important de remarquer que les modifications ap- port´ees par la pr´esence de la contrainte r´esiduelle sur les ´equations de l’´elasticit´e lin´eaire sont du mˆeme ordre de grandeur que le rapport σo _{/L ≈ 10}−2_{− 10}−4. Les mesures supposent donc une m´etrologie de haute pr´ecision. N´eanmoins, regardons dans la suite l’importance de ces ´equations pour l’identification non destructive des contraintes r´esiduelles.

Parmi les m´ethodes exp´erimentales utilis´ees actuellement, seulement l’acousto- ´elasticit´e (les m´ethodes ultra-sonores, voir [60, 52]) tiennent compte d’une rela- tion entre la contrainte r´esiduelle et les modules ’´elastiques. La relation est donn´ee par le biais de la vitesse de propagation des ondes ultra-sonores qui dans ce cas

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d´epend du pseudo-tenseur de l’´elasticit´e. C’est int´eressant de remarquer que la plu- part des exp´eriences men´ees actuellement sont fond´ees sur une th´eorie qui suppose que le corps est hyper´elastique et que la contrainte mesur´ee provient d’un char- gement ´elastique `a partir d’une configuration naturelle d´echarg´ee du corps. Il est ´evident que ce n’est pas le cas avec les contraintes r´esiduelles qui sont produites par des d´eformations incompatibles (thermiques ou plastiques). Ce point a ´et´e mis en ´evidence dans un travail de Man et Lu [52], qui ont d´evelopp´e ensuite une th´eorie acousto-´elastique fond´ee sur les ´equations pr´esent´ees dans le paragraphe pr´ec´edent. Leur th´eorie permet d’identifier des champs de contraintes r´esiduelles homog`enes dans quelques cas simples, par exemple si on se place dans le rep`ere des directions principales des contraintes r´esiduelles ou s’il s’agit d’une plaque mince.

La difficult´e majeure qui reste encore non-r´esolue est l’identification des contraintes r´esiduelles, inhomog´en´ees.

Regardons dans la suite un r´esultat th´eorique d’identification des contraintes r´esiduelles et inhomog`enes des modules ´elastiques homog`enes due `a Hoger [28]. Il va sugg´erer une formulation du probl`eme d’identification des contraintes r´esiduelles dans le cas inhomog´ene. Une m´ethode possible de r´esolution pour ce probl`eme va ˆetre pr´esent´ee dans le paragraphe suivant.

Consid´erons un cylindre ´elastique de rayon r0 et de hauteur z0 contenant dans

la configuration initiale un champ de contrainte r´esiduelle de la forme suivante :

o σ (r, θ) =    o σrr(r, θ) o σ_rθ (r, θ) 0 o σ_rθ (r, θ) σo_θθ (r, θ) 0 0 0 0   

o`u (r, θ, z) d´esignent les coordonn´ees cylindriques. Le pseudo-tenseur d’´elasticit´e est donn´e par l’approche de Hoger, et on va supposer que les modules ´elastiques du corps sont ¯λ et ¯µ li´es `a LH par :

LHǫ= ¯λtr(ǫ)I + ¯µǫ (B.26)

A partir de deux solutions universelles 1 _{du syst`eme B.23 dans l’approche de Hoger,}

on va identifier d’un part les modules ´elastiques ¯λ et ¯µ suppos´ees homog´en´es et d’autre part la distribution de contrainte r´esiduelle.

La solution qui permet l’identification des modules ´elastiques correspond `a une compression axiale du cylindre entre deux blocs rigides et a la forme suivante :

u= 2ηr er+ γz ez

Avec la condition de fronti`ere lat´erale libre des contraintes, qui s’´ecrit : 2¯µη + ¯λ(2η + γ) = 0

1_{Une solution universelle est un champ de d´eplacements qui peut ˆetre maintenus dans un corps} seulement `a l’aide des tractions en surface [28].

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on obtient les modules ´elastiques suivantes : ¯

µ = −tz

2(η − γ) λ =¯

ηtz

(η − γ)(2η + γ)

o`u tz est la pression axialle applique. On remarque que la contrainte r´esiduelle n’in-

tervient pas dans cette solution. On peut seulement conclure que l’exp´erience de compression ne peut pas indiquer la pr´esence ou l’absence d’une contrainte r´esiduelle de la forme σo (r, θ).

Pour identifier la contrainte r´esiduelle Hoger a utilis´e une solution repr´esentant une rotation entre deux massifs rigides coll´es aux extr´emit´es du cylindre, dont le champ des d´eplacements est de la forme suivante :

u= αrz eθ

Si on suppose que tθ, la distribution de la composante θ du vecteur de traction

t= Θn, est connue dans chaque point de l’extr´emit´e du cylindre, alors la contrainte r´esiduelle est compl`etement d´etermin´ee par tθ, l’angle de torsion α et le module de

cisaillement µ, comme il est montr´e par les formules suivantes :

o σ_rr (r, θ) = 4µ r (r − r0) − 4 αr Z r r0 tθ(t, θ) t dt − 4 αr2 ∂2 ∂θ2 Z r r0 Z ρ r0 tθ(t, θ) t dt dρ o σ_rθ (r, θ) = 4 αr ∂ ∂θ Z r r0 tθ(t, θ) t dt − 4 αr2 ∂ ∂θ Z r r0 Z ρ r0 tθ(t, θ) t dt dρ o σrθ (r, θ) = 4µ − 4 αrtθ(t, θ)

Cet exemple montre qu’il est possible d’identifier une distribution des contraintes r´esiduelles `a partir de la mesure de d´eplacements (la rotation) et des forces (le vecteur de traction) sur la fronti`ere.

Comme dans l’identification des modules ´elastiques (voir chapitre 1) on peut consid´erer l’application DN :

Λ

L_,σo : u|∂Ω−→ Θn|∂Ω

qui pour un distribution de modules ´elastiques et une distribution des contraintes r´esiduelles fix´ees associe `a chaque d´eplacement sur la fronti`ere la force impos´ee cor- respondante. Le probl`eme d’identification des contraintes r´esiduelles devient ainsi :

D´eterminerσo connaissant L et Λ

L,σo

L’´etude d’identification des modules ´elastiques conduit `a imaginer une identification des contraintes r´esiduelles faite en deux temps : d´etermination du pseudo-tenseur de l’´elasticit´e C[σ] en tout point du solide, puis identification deo σo `a partir de C[σ].o

On remarque, que l’application des m´ethodes de r´esolution, comme celle pr´esent´ee au chapitre 2, n’est pas directement possible. Ce fait nous a amen´e `a proposer une autre m´ethode pour la r´esolution de ce probl`eme qui va ˆetre pr´esent´ee dans la suite.

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