Dans ce travail de th`ese, nous nous sommes int´eress´es principalement `a une classe de processus `a m´emoire longue dont la fonction d’autocovariance varie r´eguli`erement `a l’infini avec un exposantdappel´eparam`etre de m´emoire.
L’exposant d encore appel´e coefficient de m´emoire est li´e au coefficient de Hurst par la relationd=H−1/2.(Voir [Doukhan et al., 2003, p.5-38]).
Nous nous sommes int´eress´es en particulier `a l’estimation du param`etre de m´emoire d. Il existe plusieurs m´ethodes pour estimer le param`etre de m´emoire d. Ces m´ethodes peuvent ˆetre divis´ees en deux principales cat´egories suivant les informations dont on dis-pose sur le processus : les m´ethodes param´etriques et les m´ethodes semi-param´etriques.
Dans un cadre param´etrique, la loi du processus est suppos´ee d´ependre d’un nombre fini de param`etres. Le plus classique des mod`eles utilis´es dans un cadre param´etrique est le mod`ele ARFIMA(p, d, q), qui est une extension des mod`eles ARIMA ; ces mod`eles poss`edent un pˆole fractionnaire au point z = 1 qui introduit une structure de vraisem-blance `a longue port´ee. Une autre classe de mod`ele, beaucoup moins populaire, sont les FEXP, qui ´etendent dans un cadre fractionnaire les mod`eles exponentiels de Chatfield.
Pour estimer les param`etres de ces mod`eles, l’approche la plus classique est celle du maxi-mum de vraisemblance propos´ee par Granger and Joyeux [1980], Hosking [1981] pour estimer le param`etre de m´emoire dainsi que les parties autoregressives et moyennes mo-biles pour un mod`ele ARFIMA(p, d, q) stationnaire (−1/2 < d < 1/2). Ce r´esultat a
´et´e ´etendu par Beran [1995] au cas non stationnaire (d≥1/2). On peut ´egalement citer
la m´ethode du maximum de vraisemblance approch´ee d´evelopp´ee dans Fox and Taqqu [1986] ou Dahlhaus [1989] par exemple, qui est bas´ee sur une approximation spectrale de la vraisemblance Gaussienne (approximation de Whittle).
Les m´ethodes semi-param´etriques permettent d’estimer le param`etre de m´emoire sans sp´ecifier de fa¸con compl`ete la distribution du processus (et en particulier, la densit´e spec-trale du processus). L’id´ee est de consid´erer l’estimation du param`etre de longue m´emoire comme l’estimation d’un param`etre d’int´erˆet, en pr´esence d’un param`etre de nuisance a priori infini-dimensionnel, qui est le spectre de la partie ”courte-m´emoire” du proces-sus. La m´ethode la plus classique et la plus connue est celle de la r´egression du log-p´eriodogramme introduite par Geweke and Porter-Hudak [1983], qui consiste `a r´egresser le log-p´eriodogramme par rapport au logarithme de la fr´equence normalis´ee dans un voisi-nage de la fr´equence nulle. La normalit´e asymptotique et la consistance de cet estimateur ont ´et´e ´etablies par Robinson [1995a] pour des processus Gaussiens stationnaires. Elle a ´et´e ´etendue dans un cadre non-stationnaire par Hurvich and Ray [1995] (qui ont mo-difi´e le p´eriodogramme en introduisant une diff´erentiation et ont propos´e d’appliquer une fenˆetre de pond´eration), Velasco [1999]). Un autre estimateur couramment utilis´e du pa-ram`etre de m´emoire est l’estimateur local de Whittle propos´e par K¨unsch [1987]. Au lieu de r´egresser le logarithme du p´eriodogramme `a la fr´equence nulle, cette m´ethode consiste
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a utiliser une approximation locale de la vraisemblance Gaussienne. La consistance et la normalit´e asymptotique de cet estimateur ont ´et´e ´etablies dans Robinson [1995b] pour des processus Gaussien stationnaires. Ces r´esultats ont ´et´e ´etendus par Velasco [1999] au cas des processus non stationnaire et par Phillips and Shimotsu [2004] au cas des processus racine unit´e et des processus pr´esentant une tendance polynomiale. Une autre approche consiste `a ajuster un mod`ele sur l’ensemble de la densit´e spectrale. Cette approche elle aussi semi-param´etrique mais globale a ´et´e consid´er´ee par Moulines and Soulier [1999] et Moulines and Soulier [2003].
Plus r´ecemment, une nouvelle classe d’approches a ´et´e introduite, bas´ee sur l’utili-sation de la transform´ee en ondelettes. En effet, la transform´ee en ondelette, s’est av´er´ee ˆetre un outil tr`es important en statistique ; s’il a ´et´e utilis´e principalement dans des probl`emes de r´egression et d’estimation de densit´e pour des donn´ees ind´ependantes, il s’est av´er´e aussi int´eressant pour le traitement des s´eries chronologiques, et en particulier pour l’analyse des processus asymptotiquement autosimilaire et/ou `a m´emoire longue ; voir par exemple Abry et al. [2000], Abry et al. [2003]. La transform´ee en ondelettes a ´et´e d´evelopp´ee d`es les ann´ees 80 (Meyer [1989]). Ces m´ethodes, bas´ees sur une d´ecomposition temps-´echelle des observations permettent d’extraire des observations des informations `a la fois temporelle et fr´equentielle. La transform´ee en ondelette pour l’analyse des s´eries chronologiques `a m´emoire longue a ´et´e originellement utilis´ee par Flandrin [1992] pour l’´etude du mouvement brownien fractionnaire et des processus Gaussiens
asymptotique-ment auto-similaires. Ces travaux ont suscit´e un vif int´erˆet et ont tr`es rapideasymptotique-ment ´et´e suivis d’un grand nombre de travaux de recherches dans ce domaine.
L’utilisation de la transform´ee en ondelette et plus pr´ecis´ement des scalogrammes (va-riance empirique des coefficients d’ondelettes) pour l’estimation du coefficient de m´emoire de processus stationnaires dans un cadre semi-param´etrique, s’est impos´ee comme une al-ternative aux m´ethodes de Fourier. Ces m´ethodes ont ´et´e introduites dans Flandrin [1992]
et Wornell [1993] et ont ´et´e popularis´es par les travaux de Abry and Veitch [1998] et Veitch and Abry [1999], qui ont montr´e l’int´erˆet de ces m´ethodes d’ondelette pour l’estimation du t´el´etrafic. L’analyse, dans un cadre semiparam´etrique, de ces m´ethodes a ´et´e entre-pris dans un travail de Bardet et al. [2000] (pour la transform´ee en ondelettes continues d’un processus gaussien longue m´emoire lui-mˆeme continue) ; des r´esultats partiels pour la transform´ee en ondelettes discr`etes ont ´et´e obtenus par Craigmile et al. [2005]. Une analyse exhaustive, dans un cadre semi-param´etrique similaire `a celui utilis´e pour l’analyse des estimateurs fr´equentiels, a ´et´e entreprise dans une s´erie de papiers Moulines et al. [2007a], Moulines et al. [2007b], Moulines et al. [2008] et Roueff and Taqqu [2009] : ces travaux
´etablissent la consistance et la normalit´e asymptotique du param`etre de m´emoire pour des processus gaussiens ou lin´eaires forts, dans un cadre stationnaire et non-stationnaire.
Notons finalement que des r´esultats pr´ecis ont ´et´e obtenus, pour des processus gaussiens continues asymptotiquement autosimilaires et dans un cadre param´etrique par Coeurjolly [2001], Coeurjolly and Istas [2001], Bardet [2000] et Bardet [2002].
Par rapport aux m´ethodes de Fourier, les approches par ondelettes pr´esentent un certain nombre d’avantages. D’une part, les m´ethodes par ondelettes se r´ev`elent plus effi-caces num´eriquement que les m´ethodes de Fourier (elles sont moins sensibles aux erreurs d’arrondis) et se prˆetent bien `a des calculs en ligne sur de grands ensembles de donn´ees (qui sont typiques dans l’analyse des s´eries `a longue-m´emoire). De plus, elles s’av`erent ro-bustes `a la pr´esence de tendances d´eterministes et de certaines formes de non-stationnarit´e dans les observations. Les m´ethodes de Fourier pour ˆetre rendues robustes, doivent ˆetre pr´ec´ed´ees de pr´e-traitements des observations. Par exemple, pour ´eliminer la pr´esence de tendances il est n´ecessaire de diff´erentier la s´erie initiale puis d’appliquer un fenˆetrage. Ces pr´e-traitements ne sont pas toujours faciles `a contrˆoler sur le plan pratique, ni `a justifier sur le plan th´eorique (voir par exemple Hurvich et al. [2002], Hurvich et al. [2005].
L’utilisation des scalogrammes s’est av´er´ee tr`es prometteuse pour l’estimation du pa-ram`etre de m´emoire pour des processus int´egr´es non-stationnaires. Moulines et al. [2007a]
ont montr´e que la vitesse de l’estimateur ´etait optimale (pour une classe de mesures spec-trales g´en´eralis´ees localement lipschitziennes dans un voisinage de l’origine) et satisfaisait un th´eor`eme de la limite centrale. Ces r´esultats permettent une comparaison rigoureuse des m´ethodes de Fourier op´erant sous des conditions ´equivalentes (en particulier, dans un cadre semi-param´etrique). N´eanmoins, un certain nombre de points d’int´erˆet `a la fois
pratique et th´eorique restent `a ´etudier.
Les travaux pr´esent´es dans ce m´emoire de th`ese s’inscrivent dans les probl´ematiques suivantes
i- Test de non stationnarit´e pour des processus `a m´emoire longue ou courte dans le domaine des ondelettes.
ii- Calcul r´ecursif de la matrice de covariance des coefficients d’ondelettes pour un processus `a m´emoire longue pas n´ecessairement stationnaire mais qui devient sta-tionnaire apr`es un nombre fini de diff´erentiation. Ce calcul r´ecursif a ´et´e r´ealis´e pour proposer de nouvelles m´ethodes d’estimation du param`etre de m´emoire, bas´ees sur une approche de maximum de vraisemblance local.
iii- Estimation robuste du param`etre de m´emoire dans des s´eries chronologiques gaus-siennes. L’id´ee est de d´evelopper des m´ethodes qui r´esistent `a l’introduction de donn´ees parasites dans les observations.
Cette th`ese a ´et´e effectu´ee en cotutelle entre l’Ecole Nationale Sup´erieure de Polytechnique Yaound´e et T´el´ecom ParisTech.