Problèmes et solutions

1. Donner l'espace échantillonnai associé au tirage simultané de deux cartes de jeu, si on s'intéresse seulement à la couleur des cartes obtenues (carreau, coeur, pique ou trèfle).

Solution. En notant Q un carreau, C un coeur, P un pique et T un trèfle, on trouve

1.2. Problèmes et solutions 9

2. Quelles sont les épreuves de l'expérience suivante : on extrait simultanément, deux boules d'une urne qui contient 3 boules blanches et 2 boules noires ?

Solution. Désignons les boules blanches par b_i, b₂, b₃ et les boules noires par n_i, n2. Représentons par {ai, ai}, ai, ai Є {bi, b2, b3, ni, n2} la réalisation qui consiste à extraire les boules a_i et a_i. Les épreuves (les événements élémentaires) de l'expérience sont :

Il y a (5/2) = 10 épreuves où (5/2) représente le nombre de combinaisons que l'on peut former en choisissant 2 objets parmi 5 sans tenir compte de l'ordre de sélection.

3. Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On extrait au hasard deux boules.

i) On considère les événements : Al - "obtenir deux boules noires",

A2 - "obtenir au moins une boule blanche", A3 - "obtenir une seule boule blanche", A4 - "obtenir une seule boule noire", A5 - "obtenir deux boules vertes".

Déterminer si chaque événement est d'une part, aléatoire, certain, impossible et, d'autre part, s'il est élémentaire ou composé.

ii) Trouver les réponses du point i), en utilisant les ensembles d'épreuves rattachées aux événements.

Solution. i) A1, A2, A3, A4 sont des événements aléatoires, car chaque fois que l'expérience est réalisée, chacun de ces événements se réalise ou ne se réalise pas.

Par exemple, si le résultat de l'expérience est {b₁, b₂}, l^'événement A_lne se réalise pas, mais si le résultat de l'expérience est {n₁, n₂}, l'événement A_l se réalise. (Ici on a utilisé la notation du problème précédent.)

L'événement A5 est l'événement impossible, car pour tout résultat de l'expérience, A5 ne se réalise pas.

10 Chapitre 1. Espace fini d'événements

Al est un événement élémentaire, car il se réalise seulement par une seule épreuve, à savoir : {n1, n2}.

A2 est un événement composé, car il se réalise par plusieurs épreuves.

A3 et A4 sont également des événements composés.

A₅ n'est ni élémentaire ni composé.

ii) On a :

4. On considère les événements A1, A2, A3, A4 du problème précédent. Trouver les paires d'événements équivalents, les paires d'événements compatibles, les paires d'événements incompatibles, les paires d'événements contraires, les paires d'événements dont le premier implique le second.

Solution. A3 = A4, car obtenir une seule boule blanche (la réalisation de l'événement A₃) implique l'obtention d'une seule boule noire, donc cela revient à la réalisation de l'événement A4, et vice-versa. On peut obtenir le même résultat de l'égalité des ensembles d'épreuves rattachées aux événements.

Les paires d'événements suivants sont compatibles : {A2, A3}, {A2, A4}, {A3, A4},

12 Chapitre 1. Espace fini d'événements

7.

8.

On contrôle la qualité de dix produits. Soit A l'événement "au moins un des produits est défectueux" et B l'événement "au plus deux des produits sont bons".

Décrire les événements A^c et B^c.

Solution. A^c est l'événement "tous les produits contrôlés sont bons", tandis que B^c est l'événement "au moins trois produits sont bons".

Soit Ω = {a, b, c}, A = {a} et B = {b}. Énumérer les éléments des événements suivants :

9. Dans l'ensemble des polynômes de degré plus petit que ou égal à net dont les coefficients appartiennent à l'ensemble des nombres entiers de l'intervalle [—5 000, 5 000], on choisit au hasard un polynôme, disons P(x). Soit A l'événement "P(x) est divisible par le binôme x — 1" et soit B l'événement

"la dérivée P'(x) est divisible par le binôme x -1". Décrire les événements A ∩ B et A U B.

Solution. L'événement A Ç B signifie que le polynôme P(x) ainsi que sa dérivée P'(c) sont divisibles par le binôme x — 1, autrement dit, le polynôme P(x) admet 1, au moins, comme racine double.

L'événement A È B signifie que P(1) = 0 ou P' (1) = 0, c'est-à-dire que 1 est une racine pour le polynôme P(x) ou P'(x), ou pour les polynômes P(x) et P'(x).

1.2. Problèmes et solutions 13

10. Trouver des expressions plus simples pour désigner les événements :

11. Soit A, B, C trois événements quelconques. Exprimer les événements suivants.

Parmi A, B, C :

Les trois événements se produisent en même temps.

Au moins un des événements se produit.

Au moins deux des événements se produisent.

Un et un seulement se produit.

Deux et deux seulement se produisent.

Aucun événement ne se produit.

Solution. i) A ∩ B^c ∩ C^c.

12. Une machine a produit n pièces. Soit Ai l'événement "la i-ième pièce est défectueuse", i = 1, . . . ,n. Écrire les événements suivants :

i) Bl - "aucune pièce n'est défectueuse^".

14 Chapitre 1. Espace fini d'événements

ii) iii) iv) v) vi)

B2 - "au moins une pièce est défectueuse".

B3 - "une seule pièce est défectueuse".

B4 - "deux pièces sont défectueuses".

B5 - "au moins deux pièces sont défectueuses".

B6 - "au plus deux pièces sont défectueuses".

Solution. i)

13. On choisit au hasard un nombre parmi les 5 000 premiers nombres naturels. Soit A l'événement "le nombre choisi commence par le chiffre 3^" et soit B l'événement "le nombre choisi finit par le chiffre 5.^" Que représente l'événement A \ B ?

A ∩ B^c

1.2. Problèmes et solutions 15

14. On choisit au hasard un nombre parmi les 5 000 premiers nombres naturels. Soit A l'événement "le nombre choisi est divisible par 2" ; B l'événement "le nombre choisi est divisible par 3" ; C l'événement "le nombre choisi finit par le chiffre 0". Décrire les événements :

Solution. i) Le nombre choisi finit par 0 et il se divise par 2, par 3 ou par 6.

ii) Le nombre choisi est divisible par 6, ou se termine par 0, ou est divisible par 6 et se termine par 0.

iii) Le nombre choisi est divisible par 2 et finit par 0, ou le nombre choisi est divisible par 3 et finit par 0, ou il est divisible par 6 et finit par 0.

15. Que peut-on dire des événements A et B d'un même espace d'événements si :

1.2. Problèmes et solutions 17 17. Montrer que

Solution. i) L'événement A^c ∩ B^c signifie la non réalisation de l'événement A et la non réalisation de l'événement B et par conséquent, l'événement contraire de cet événement à savoir (A^c n B^c)^c signifie la réalisation au moins d'un des événements A et B, donc

D'autre part, si l'événement A U B se réalise, donc au moins, un des événements A et B, alors l'événement A^c ∩ B^c ne se réalise pas, ce qui implique que l'événement (A^c ∩ B^c)^c se réalise, et

De (1.5) et (1.6) on obtient l'égalité désirée.

ii) En posant dans l'égalité i) A^c = C et B^c = D, on obtient

d'où en passant aux événements contraires,

Ce problème peut être résolu d'une autre façon en tenant compte des relations de De Morgan et du fait que (A^c)^c = A.

18. Montrer que les relations suivantes

20. On considère l'expérience qui consiste à tirer une boule d'une urne contenant 4 boules blanches numérotées 1, 2, 3 et 4, et une boule noire numérotée 5.

i) ii) iii) iv

Décrire l'espace probabilisable relié à cette expérience.

Combien d'événements y-a-t-il dans l'espace des événements ? Énumérer les événements élémentaires.

) Énumérer les implications de l'événement {1}.

Solution. i) L'espace probabilisable est (Ω, A) où Ω = {1, 2, 3, 4, 5} et A = P(Ω) est donc donné par l'ensemble

{

}

où i, j, k, l prennent indépendamment les valeurs de 1 à 5, mais avec la restriction que dans le cadre d'un même groupe tous les indices soient différents et deux groupes avec le même nombre d'indices diffèrent au moins par un indice. On a noté par {k} la sélection de la boule numérotée k, par {i, j} la sélection des boules numérotées i et j, etc. et {1, 2, 3, 4, 5} = Ω représente l'événement certain.

ii) Le nombre d'événements dans l'espace des événements est

20 Chapitre 1. Espace fini d'événements

iii) Les événements élémentaires sont :

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}.