Le problème rigide

Dans cette section nous établissons les équations modélisant le passage de l'air dans un matériau poreux type laine de verre, matériau dont le squelette ne peut pas bouger. Cette première étape dans la modélisation nous permet de comprendre que le découplage des équations en température d'une part, et en déplacement d'autre part, est dû à l'hypothèse d'incompressibilité du uide.

Pour cette étude, nous commençons par admettre les propriétés suivantes  le système est conservatif ce qui justie l'utilisation d'une équation de

conser-vation de la masse,

 l'air est assimilé à un gaz parfait, ce qui nous permet d'utiliser la formule des gaz parfaits P V = nRT ,

 on se place en situation adiabatique an de pouvoir utiliser la formule K = γp,  l'air est assimilé à un milieu incompressible, ce qui se traduit par la nullité de

la divergence de la vitesse.

Remarque 1.5 (Sur incompressibilité du uide)

Un uide est dit incompressible lorsque son volume demeure constant sous l'action d'une pression externe. L'air n'est donc pas un uide incompressible, mais dans notre étude, la vitesse, la pression et le température oscillent autour d'un état d'équilibre, ce qui va rendre cette hypothèse plus justiable d'un point de vue physique. En eet, nous étudions les oscillations de la cellule de périodicité Y plus que les variations de volume de cette même cellule. Cela revient à considérer que le domaine est assez grand pour que le volume de uide déplacé par la pression exercée par une paroi reste constant mais change de place.

D'autre part, d'un point de vue mathématique, cette hypothèse simplie grande-ment les calculs puisqu'elle a pour conséquence le découplage des équations en vitesse et en température.

On assimile l'air à un gaz qui vérie cinq équations linéarisées autour d'un état d'équilibre : la conservation de la masse, la conservation de la quantité de mouve-ment, la conservation de l'énergie écrite en variable entropique, et deux équations

Chapitre 1. Propagation du son dans la laine de verre Section 1.2 issues de la thermodynamique. On obtient ainsi le système (1.2)-(1.6) suivant :

∂ρ ∂t ^{+ ρf}∇ · V = 0, (1.2) ρ_f^∂V ∂t ^{= −∇p + η4V +}  ζ +^η 3  ∇ (∇ · V ) , (1.3) T0ρf ∂E ∂t ^{= κ4Θ,} (1.4) Θ = ¹ ρfcp p + ^T0 cp E, (1.5) ρ = ¹ c2p − ρ_f c_p  E. (1.6)

Comme cela est expliqué par J. F. Allard et N. Atalla dans [AA09] au chapitre 4, Kirchho et Rayleigh ont résolu ces équations dans le cas du modèle canonique : domaine périodique dont la cellule de référence Y est traversée par un cylindre dans la direction z des côtes, une telle cellule est représentée en Fig. 1.4.

Figure 1.4 - Cellule élémentaire.

Cependant, les résultats obtenus sont compliqués et diciles à exploiter physi-quement dans notre cas puisqu'un matériau comme la laine de verre est composé a priori de bres de verres dans toutes les directions (voir la Fig. 1.2 à la page 10 pour s'en convaincre).

Nous reformulons donc les équations données par (1.2)-(1.6) sous la forme :              ρf ∂V ∂t ^{= −∇p + η4V +}  ζ +^η 3  ∇ (∇ · V ) , ∇ · V = −^∂ ∂t  p P₀ − ^Θ T₀  , ρ_fc_p^∂Θ ∂t − ^∂p ∂t ^{= κ4Θ.} (1.7)

Remarque 1.6 (Sur la reformulation (1.7))

Cette reformulation du système (1.2)-(1.6) est intéressante puisque nous résolvons le même problème avec pour seules inconnues la pression, la température et la vitesse. 16

Chapitre 1 Section 1.2. Le problème rigide Nous choisissons de travailler sur le système d'équations en vue de le simplier, plutôt que de simplier les solutions obtenues par Kirchho et Rayleigh.

Montrons que (1.7) découle de (1.2)-(1.6).

Tout d'abord, la première équation de (1.7) est exactement (1.3). Ensuite l'équation (1.5) permet d'écrire

T₀E = c_pΘ − ^p ρf

. (1.8)

En dérivant l'équation (1.8) par rapport à t et en utilisant l'équation (1.4) on obtient la dernière équation.

Enn, on obtient la deuxième équation de (1.7) à partir de (1.2) si on montre que ρ ρf = ^p P0 − ^Θ T0 .

Les équations (1.5) et (1.6) nous donnent ρ grâce au calcul suivant : ρ = 1 c2 + ¹ T0cp  p − ρ_f ^Θ T0 .

Il nous reste donc à montrer que 1 c2 + ¹

T₀c_p ⁼ ρf

P₀^. (1.9)

D'une part, le module de compressibilité à l'équilibre K0 est tel que K0 = γP₀ et c =pK₀/ρ_f. On obtient alors

1 c2 = ^ρf

γP₀^. (1.10)

D'autre part, pour exprimer 1/(T0c_p), il faut utiliser des propriétés de l'air assimilé à un gaz parfait. Ainsi, on a la relation P V = nRT où R est la constante des gaz parfaits, n est la quantité de matière et V est le volume de l'air. En écrivant n = m/M, où m est la masse de l'air et M sa masse molaire, et en remarquant que ρ = m/V, on obtient

P₀ = ρ_f^RT0

M ^. (1.11)

Enn une dernière relation thermodynamique relie M, à γ, cp et R M^{γ − 1}

γ ⁼ R

c_p^. (1.12)

En combinant (1.11) et (1.12), on obtient que 1 T₀c_p ⁼  1 − ¹ γ  ρ_f P₀^. (1.13)

Finalement en mettant (1.10) et (1.13) bout-à-bout, on obtient (1.9), ce qui donne la deuxième équation.

Chapitre 1. Propagation du son dans la laine de verre Section 1.3 Remarque 1.7

Les résultats précédents ne nous permettent pas, a priori, de dire que la divergence de la vitesse est nulle. Cependant, an de suivre la démarche proposée par Laurent Leylekian dans [Ley01], nous allons considérer que celle-ci est nulle (c'est-à-dire que le uide est incompressible). Cette approximation peut se justier physiquement en étudiant les quotients p/P0 et Θ/T0 qui varient peu en espace et en temps parce que les oscillations de p (respectivement de Θ) sont faibles autour de l'état d'équilibre P0

(respectivement T0).

En fait cette hypothèse est primordiale d'un point de vue mathématique puisque les équations peuvent alors se découpler et donc se résoudre beaucoup plus simple-ment. Cela nous permet de faire l'étude du problème physique dans un domaine plus général (et donc plus physique) que celui proposé par Kirchho et Rayleigh.

Enn, on traduit le fait que nous travaillons à fréquence xée en écrivant que la pression, la vitesse et la température sont harmoniques en temps c'est-à-dire que nous pouvons découpler les variables temporelle et d'espace en écrivant :

p(x, t) = p(x)e^iωt, V (x, t) = V (x)e^iωt et Θ(x, t) = Θ(x)e^iωt. (1.14) Cette modélisation donne alors de manière formelle, d'une part le système mécanique

 η4V − iωρ_fV − ∇p = 0,

∇ · V = 0, (V)

et d'autre part l'équation thermique

iωρ_fc_pΘ − iωp = κ4Θ. (T) Nous avons nalement obtenu deux systèmes (V) et (T) découplés qui modélisent le problème rigide. Cette modélisation est faite à partir de l'hypothèse très restrictive selon laquelle le squelette est immobile, et ne correspond donc pas à la réalité. C'est pourquoi nous consacrons la section suivante à la modélisation de la vibration des matériaux poreux en autorisant le déplacement (élastique) du squelette.