Les perturbations ont plusieurs origines. Par exemple, dans la commande d’un avion, le changement de direction ou de vitesse du vent peut être considéré comme une perturbation. Pour maintenir la température d’une habitation, le changement de la
température à l’extérieur de l’habitation peut être considéré aussi comme une pertur-bation. Un autre exemple de perturbation est l’irrégularité de la route pour le problème de la commande des suspensions actives d’un chassis de véhicule. Ces perturbations sont appelées perturbations externes et peuvent être modélisées comme des entrées in-connues du système. En fonction de leur origine, certaines perturbations sont mesurables.
Pour éliminer l’influence des perturbations sur la sortie à réguler du système, il est nécessaire d’avoir des informations sur les perturbations et leur effet sur les états du système. Normalement, ces informations sont obtenues à partir des mesures (en utilisant des capteurs). Dans le cas où tous les états sont mesurables, on a le problème du rejet de perturbation par retour d’état. Dans le cas contraire, on a le problème du rejet de perturbation par retour de sorties mesurées. A côté de ces deux problèmes, il existe d’autres approches qui permettent de minimiser certaines normes de la matrice de transfert entre les perturbations et les sorties à réguler [Vidyasagar, 1987].
Le problème du rejet de perturbation par retour d’état a été traité par beaucoup d’auteurs. On peut citer par exemple l’approche géométrique de [Wonham, 1974] et l’approche algébrique de [Verghese, 1978; Bhattacharyya et al., 1983]. Ces résul-tats ont été interprétés en termes graphiques pour les systèmes linéaires structurés
[Commault et al., 1991; van der Woude, 1991b]. Pour résoudre le problème du
rejet de perturbation par retour de mesure, on a les résultats de l’approche géomé-trique [Schumacher, 1980; Willems & Commault, 1981] ou de l’approche algébrique [Bhattacharyya, 1982; Commault et al., 1984]. Pour les systèmes linéaires structurés, ce problème a été étudié en termes graphiques par [Commault et al., 1993; Commault et al., 1997; van der Woude, 1993; van der Woude, 1994; Bahar et al., 1996]. Un autre aspect de ces deux problèmes est la caractérisation des pôles fixes en boucle fermée [Malabre et al., 1997; Del-Muro-Cuéllar & Malabre, 2001]. Ces pôles ne dépendent pas du choix des lois de commande mais précisément du fait que ces problèmes sont résolus.
Dans les sections suivantes, nous rappelons le problème du rejet de perturbation et quelques résultats connus sur la solubilité de ce problème dans le contexte des sys-tèmes linéaires et puis des syssys-tèmes linéaires structurés. Quand les perturbations sont mesurables, leur influence sur les états est calculable grâce aux équations d’états. Ceci implique qu’on peut modifier la commande pour compenser l’effet des perturbations sur la sortie à réguler. Alors, dans le cadre de ce mémoire, on considère le cas où les pertur-bations sont non mesurables c’est-à-dire qu’elles ne sont pas accessibles directement à la mesure.
3.3 Rejet de perturbation dans le cas des systèmes
li-néaires classiques
3.3.1 Rejet de Perturbation par Retour d’Etat (RPRE)
Définition 3.3.1. Soit Σd un système linéaire décrit par la representation d’état :
Σd :
˙
x(t) =Ax(t) +Bu(t) +Ed(t)
y(t) =Cx(t) (3.3.1)
où x(t) ∈ Rn est le vecteur d’état, u(t) ∈ Rm est le vecteur d’entrée, y(t) ∈ Rp est le vecteur de sortie à réguler et d(t) ∈ Rq est le vecteur de perturbation. A, B, E et C sont des matrices de dimensions appropriées. Le problème du Rejet de Perturbation par Retour d’État (RPRE) consiste à chercher un retour d’état de la forme
u(t) = F x(t)
tel que en boucle fermée, le transfert entre la perturbation et la sortie à réguler soit nul :
C(sI−A−BF)−1E = 0 (3.3.2)
Le problème de l’existence de la matrice F est bien connu et a été résolu par exemple
par l’approche géométrique [Wonham, 1974]. Une introduction simple à la théorie géo-métrique peut être trouvée dans [Commault & Dion, 1992]. Rappelons d’abord une définition classique :
Définition 3.3.2. Un sous-espace d’état V est dit(A, B)-invariant si AV ⊂ V +ImB
En fait, un sous-espace d’étatV est(A, B)-invariant si et seulement si il existe un retour
d’étatF tel que(A+BF)V ⊂ V. D’un point de vue trajectoire, toute trajectoire d’état
initialisée dans un sous-espace (A, B)-invariant peut être maintenue dans ce sous-espace
par une commande adaptée. D’autre part, si on peut assurer queImEest toujours
main-tenue dans KerC, l’effet de la perturbation sur la sortie à réguler est nul. La condition
nécessaire et suffisante d’existence d’une matrice F satisfaisant la condition (3.3.2) est
donc :
Théorème 3.3.1. [Wonham, 1974] Le problème du rejet de perturbation par un retour d’état u(t) = F x(t) est soluble pour un système linéaire du type (3.3.1) si et seulement si
où V∗ est le plus grand sous-espace (A,B)-invariant contenu dans KerC.
Le sous-espace V∗
peut être calculé de manière itérative par l’algorithme suivant [Wonham, 1974; Basile & Marro, 1992], comme limite de la séquence de sous-espaces :
(
V0 =KerC
Vk =KerC ∩A−1(Vk−1 +ImB) aveck ≥1 (3.3.3)
Il faut remarquer que le terme A−1 ne correspond pas à une matrice inverse, mais qu’il
agit comme une inverse fonctionnelle opérant sur des sous-espaces linéaires.
3.3.2 Rejet de Perturbation par Retour de Mesure (RPRM)
Le problème du rejet de perturbation par retour d’état a été abordé précédemment. Quand tout l’état ne peut être utilisé, on s’intéresse au problème du rejet de perturbation par retour de mesure. Comme expliqué à la fin de la Section 3.2, on suppose toujours que les perturbations ne sont pas directement mesurables.
A partir du système linéaire (3.3.1), comme on ne peut pas mesurer tout l’état, un
vecteur de sorties mesurées z(t) = Hx(t) est donc introduit. Le système linéaire étudié
est défini par :
Σdz : ˙ x(t) =Ax(t) +Bu(t) +Ed(t) y(t) = Cx(t) z(t) =Hx(t) (3.3.4)
où x(t) ∈ Rn est le vecteur d’état, u(t) ∈ Rm est le vecteur d’entrée, d(t) ∈ Rq est le
vecteur de perturbation, y(t) ∈ Rp est le vecteur de sortie à réguler et z(t)∈ Rν est le
vecteur de sortie mesurée.A, B, E, C etH sont des matrices de dimensions appropriées.
Définition 3.3.3. Soit Σdz un système linéaire du type (3.3.4). Le problème du Rejet de Perturbation par Retour de Mesure (RPRM) consiste à chercher un retour dynamique de mesure Σzu: ˙ w(t) = Lw(t) +Rz(t) u(t) = Sw(t) +P z(t) (3.3.5)
où w(t) ∈Rµ, tel que, en boucle fermée, le transfert entre la perturbation et la sortie à réguler soit nul.
En termes de matrices de transfert, le problème du rejet de perturbation par retour
de mesure consiste à déterminer, si possible, un compensateur propre F(s)(voir Figure
1.2) oùu(s) =F(s)z(s)) tel que :
G(s), K(s), M(s)etN(s) sont les matrice de transfert d’un système linéaire de la forme (3.3.4) :