Problème inverse statistique

multi-échelle

Sommaire

1 Introduction . . . 36

2 Hypothèses retenues et stratégie proposée pour l’identifi-cation inverse statistique multi-échelle . . . 38

2.1 Hypothèses retenues . . . 38

2.2 Problème inverse statistique multi-échelle et difficultés associées 39

2.3 Stratégie proposée . . . 42

2.4 Améliorations de la méthode d’identification inverse statistique multi-échelle . . . 43

3 Configuration expérimentale multi-échelle. . . 44

4 Construction des indicateurs numériques macroscopique, mésoscopiques et multi-échelle. . . 47

4.1 Construction de l’indicateur numérique macroscopique . . . . 47

4.2 Construction des indicateurs numériques mésoscopiques . . . 48

4.3 Construction de l’indicateur numérique macroscopique-mésoscopique (multi-échelle) associé à l’homogénéisation nu-mérique stochastique . . . 52

5 Problème d’optimisation multi-objectif associé au pro-blème inverse statistique multi-échelle . . . 55

5.1 Formulation du problème d’optimisation multi-objectif . . . . 55

5.2 Résolution du problème d’optimisation multi-objectif . . . 56

5.3 Modèle probabiliste des hyperparamètres aléatoires . . . 64

1 Introduction

Dans la section1du chapitre 1, un modèle stochastique prior a été présenté pour la représentation stochastique non-paramétrique du champ de tenseur d’élasticité aléatoire d’ordre quatre {Cmeso(b) ; b ∈ Bmeso} décrivant les propriétés mécaniques (élastiques) d’un domaine à l’échelle mésoscopique Ωmeso ⊂ Rd occupé par une microstructure complexe anisotrope hétérogène et aléatoire, afin de surmonter les difficultés liées à la modélisation et la simulation numérique pour la caractérisation d’un tel milieu élastique hétérogène aléatoire. Les deux principaux avantages d’un tel modèle stochastique prior sont : (i) il est paramétré par un nombre optimal d’hyperparamètres b = (δ, `, c), à savoir le paramètre de dispersion δ, le vecteur des d longueurs de corrélation spatiale ` = (`1, . . . , `_d), ainsi que la représentation vectorielle c regroupant les composantes algébriquement indépendantes du tenseur d’élasticité moyen Cmeso, et (ii) il possède les propriétés mathématiques et statistiques fondamentales requises par le champ d’élasticité aléatoire pour la construction des opérateurs aux dérivées partielles elliptiques stochastiques intervenant dans les problèmes aux limites elliptiques stochastiques (tels que le problème d’élasticité linéaire statique avec un champ de tenseur d’élasticité aléatoire considéré dans ce travail) [Soize 2006,Soize 2008,Soize 2017]. L’identification inverse statistique des hyperparamètres de ce modèle stochastique prior avec de l’information expérimentale est faite en cherchant la solution optimale bopt d’un problème d’optimisation d’une fonction-coût multi-objectif par rapport au vecteur des hyperparamètres b du modèle stochastique prior.

Les deux plus grandes difficultés pour résoudre un tel problème inverse statistique multi-échelle sont : (i) toutes les composantes du vecteur des hyperparamètres b ne peuvent pas être identifiées par résolution du problème inverse statistique formulé à partir du problème aux limites elliptique stochastique (problème d’élasticité linéaire statique stochastique) défini sur un sous-domaine Ωmeso à l’échelle mésoscopique avec les mesures expérimentales de champs disponibles à cette échelle, et (ii) un seul échantillon est testé expérimentalement et soumis à un chargement externe statique imposé à l’échelle macroscopique, ce qui implique que les mesures expérimentales de champs sont non seulement partielles et limitées, mais aussi qu’elles doivent être effectuées simultanément sur l’unique échantillon aux deux échelles macroscopique et mésoscopique. Face à la complexité du problème inverse statistique considéré, une première tentative de réponse a été apportée par les travaux de recherche pré-cédemment menés dans [Nguyen et al. 2015] et a conduit à l’élaboration d’une méthodologie d’identification multi-échelle (à deux échelles) innovante à partir de mesures expérimentales obtenues aux deux échelles (macroscopique et mésoscopique) en introduisant, d’une part un problème aux limites elliptique déterministe modé-lisant la configuration expérimentale de l’échantillon à l’échelle macroscopique, et d’autre part un problème aux limites elliptique stochastique modélisant la configura-tion expérimentale d’un sous-domaine à l’échelle mésoscopique, et en utilisant une

Introduction 37

méthode d’homogénéisation numérique stochastique pour transférer les informations statistiques de l’échelle mésoscopique à l’échelle macroscopique sous l’hypothèse classique de séparation des échelles. Le problème inverse statistique multi-échelle est alors formulé comme un problème d’optimisation multi-objectif qui vise à minimiser une fonction-coût multi-objectif (à valeurs vectorielles) constituée de plusieurs indi-cateurs numériques qui sont des fonctions-coût mono-objectif (à valeurs scalaires) sensibles à la variation des hyperparamètres à identifier. Ces indicateurs numériques permettent de quantifier et minimiser la distance (définie par rapport à une mé-trique donnée) entre des quantités d’intérêt provenant des mesures expérimentales multi-échelles de champs aux échelles macroscopique et mésoscopique d’une part, et leurs homologues obtenus par des simulations numériques du modèle déterministe à l’échelle macroscopique et du modèle stochastique à l’échelle mésoscopique d’autre part. Cette procédure d’identification multi-échelle a été appliquée avec succès à l’identification expérimentale des propriétés élastiques d’un tissu biologique (de l’os cortical de bœuf) dans le cadre de l’élasticité linéaire en 2D contraintes planes à partir de mesures optiques multi-échelles de champs de déplacement réalisées si-multanément aux échelles macroscopique et mésoscopique sur un seul échantillon soumis à un chargement externe statique (compression uni-axiale verticale) à l’échelle macroscopique [Nguyen et al. 2016].

Dans ce travail de recherche, on propose une amélioration de la formulation du problème d’optimisation multi-objectif multi-échelle à travers l’introduction d’une fonction-coût mono-objectif (indicateur numérique) supplémentaire à l’échelle méso-scopique permettant de quantifier la distance (par rapport à une métrique donnée) entre la (les) longueur(s) de corrélation spatiale des champs cinématiques mesurés expérimentalement et celles des champs correspondant simulés numériquement. Cette reformulation du problème d’optimisation multi-objectif a pour objectif de munir chaque hyperparamètre du modèle stochastique prior de sa propre fonction-coût dé-diée, afin d’éviter l’emploi d’un algorithme d’optimisation globale (tel que l’algorithme génétique utilisé dans [Nguyen et al. 2015]) qui peut s’avérer très coûteux en terme de temps de calcul, et d’utiliser à la place un algorithme plus efficace numériquement, tel qu’un algorithme itératif de point fixe, pour accélérer la résolution du problème d’optimisation multi-objectif sous-jacent. Par ailleurs, nous construirons une base de données associée à l’ensemble de ces indicateurs numériques qui permettra d’entraîner un réseau de neurones artificiels pour l’identification des hyperparamètres b. Un tel réseau de neurones artificiels n’est à entraîner qu’une seule fois indépendamment des mesures expérimentales alors qu’avec la stratégie d’optimisation utilisant l’algorithme itératif de point fixe ou l’algorithme génétique, les calculs doivent être réalisés à nouveau pour chaque nouvelle mesure expérimentale.

Par ailleurs, si des mesures expérimentales des champs cinématiques étaient disponibles sur plusieurs sous-domaines mésoscopiques, il n’est pas évident que l’information expérimentale contenue dans chacune de ces mesures expérimentales

soit identique. Numériquement, il a été vérifié que ce n’était pas le cas. Par consé-quent, si l’identification multi-échelle des hyperparamètres n’était menée qu’avec une seule mesure expérimentale donnée, nous obtiendrions très probablement une valeur identifiée bopt du vecteur des hyperparamètres différente de celle obtenue si l’identification était menée avec une autre mesure expérimentale. Ainsi, la valeur optimale identifiée bopt du vecteur des hyperparamètres n’est pas robuste par rapport à la mesure expérimentale. C’est la raison pour laquelle dans [Nguyen et al. 2015], plusieurs mesures expérimentales ont été utilisées à partir de différents sous-domaines mésoscopiques pour améliorer la robustesse de l’identification de bopt en moyennant les valeurs identifiées bmeso

1 , . . . , b^meso_Q des hyperparamètres obtenues avec Q mesures expérimentales. Dans ce présent travail, une autre stratégie sera développée et consis-tera à construire un modèle probabiliste prior du vecteur b des hyperparamètres en utilisant le principe du MaxEnt et l’information disponible. Ainsi, on introduit un vec-teur aléatoire B = (D, L, C) dont bmeso

1 , . . . , bmeso

Q sont supposés être Q réalisations statistiquement indépendantes.

2 Hypothèses retenues et stratégie proposée pour