Problème de décision sur les morphismes de torsion

Proposition 2.2.16. Le problème _{Matrix power boundedness} est décidable.

Démonstration. Considérons une matrice carrée M à coefficients rationnels, µ(x) son po-lynôme minimum et notons ν(x) = pgcd(µ(x), µ⁰(x)). Alors µ(x) et ν(x) sont calculables à partir de M en temps polynomial [11]. En effet, l’algorithme suivant nous permet de calculer le polynôme minimum d’une matrice donnée :

Soit une matriceM de dimensionn×n. Initialisation :i←1.

Calculer M², M³, . . . , Mⁿ. Tant quei≤n, répéter :

Si le système linéaire de n2 équations

i

X

j=0

y_jM^j = 0

possède une solutiony= (y0, y1, . . . , yi) dans les rationnels, avec yi 6= 0, rendreµ_M(x) =Pi

j=0y_jx^j i←i+ 1.

Fin de la procédure.

Cet algorithme nous rend le polynôme de degré minimal, qui est un multiple du po-lynôme minimum. De plus, la procédure s’effectue en temps polynomial (en la longueur de l’entréen) car la solution du système d’équations linéaires peut être obtenue en temps polynomial.

Ensuite pour calculer ν(x), il reste à calculer le pgcd de µ(x) = Pn

i=0a_ixi et de sa dérivée, que l’on calcule comme suit

µ⁰(x) =

n

X

i=1

ia_ixⁱ⁻¹

où les a_i sont les coefficients du polynôme µ(x).

Ainsi, étant donné le Lemme 2.2.15, déterminer si M est borné en puissance revient à vérifier les conditions (i) et (ii). Cela peut se faire en utilisant la procédure de décision de Tarski. En effet, grâce aux algorithmes précédents on sait calculer les polynômes ν et

µ. De plus, les deux assertions (i) et (ii) sont des formules du premier ordre donc grâce à la procédure d’élimination des quantificateurs de Tarski [21], on arrive à décider si les deux formules sont vraies en même temps ou pas (c’est-à-dire déterminer si M est borné en puissance).

2.3 Problème de décision sur les morphismes de

tor-sion

Définition 2.3.1. Pour tout alphabet Σ, notons hom(Σ∗) l’ensemble de tous les mor-phismes de Σ^∗ dans lui-même. On définit ainsi le problème_{Morphism Torsion} suivant :

étant donnés un alphabet fini Σ et un morphisme σ ∈ hom(Σ^∗), déterminer si σ est de torsion (pour la composition de fonctions).

La taille d’une entrée (Σ, σ) de _{Morphism Torsion} est égale à P

a∈Σ(1 +|σ(a)|).

Définition 2.3.2. Soient Σ un alphabet fini,d la cardinalité de Σ eta₁, a₂, ..., a_d tels que Σ ={a₁, a₂, ..., a_d}. Lamatrice d’incidence de σ (relative à l’ordre choisi des lettres de Σ) est définie par

      |σ(a1)|a1 |σ(a2)|a1 · · · |σ(ad)|a1 |σ(a₁)|_a2 |σ(a₂)|_a2 · · · |σ(a_d)|_a2 .. . .._. . .. .._. |σ(a₁)|_ad |σ(a₂)|_ad · · · |σ(a_d)|_ad       ∈_N^d×d.

Pour tousi, j ∈ {1, . . . , d}, la (i, j)ème entrée de la matrice d’incidence est égale au nombre d’occurrence de a_i dans σ(a_j).

Proposition 2.3.3. SoitΣun alphabet fini. Pour chaque morphismeσ ∈hom(Σ^∗), notons P_σ la matrice d’incidence de σ. Alors

(i) on a l’égalité P_σP_τ =P_στ pour tous σ, τ ∈ hom(Σ^∗);

(ii) pour tout P ∈ _Nd×d, il existe un nombre fini de morphismes τ ∈ hom(Σ^∗) tels que P_τ =P.

Démonstration. Pour démontrer le point (i), on aimerait obtenir l’égalité

|(στ)(aj)|ai =

d

X

k=1

|σ(ak)|ai|τ(aj)|a_k

pour tousi, j ∈ {1, . . . , d}. On sait qu’il existe des lettres b₁, . . . , b_n∈Σ telles que τ(a_j) =

b₁· · ·b_n. Ensuite σ(τ(a_j)) =σ(b₁· · ·b_n) =σ(b₁)· · ·σ(b_n). Donc on obtient que

|σ(τ(a_j))|_ai = n X l=1 |σ(b_l)|_ai = d X k=1 n X l=1 bl=ak |σ(a_k)|_ai = d X k=1 |τ(a_j)|_ak|σ(a_k)|_ai.

Pour le point (ii), on se convainc facilement que pour toute matrice à coefficients naturels, on trouve un nombre fini de morphismes dont la matrice d’adjacence est égale à la matrice de départ. Par exemple, si on considère l’alphabet fini Σ ={a₁, a₂} et la matrice

P = ^{1 2} 3 1 !

,

on observe que les morphismes τ ∈ hom(Σ^∗) possibles pour avoir P = P_τ sont tels que

2.3. PROBLÈME DE DÉCISION SUR LES MORPHISMES DE TORSION 29

Théorème 2.3.4. Le problème _{Morphism Torsion} est décidable en temps polynomial.

Démonstration. Vu le Théorème 2.2.12, il suffit de montrer qu’il existe une réduction po-lynomiale de _{Morphism Torsion} à _{Matrix Torsion}. Pour cela, nous allons montrer qu’un morphisme est de torsion si et seulement si sa matrice d’incidence l’est.

Soient (Σ, σ) une instance de_{Morphism Torsion}etdla cardinalité de Σ. Pour chaque morphisme τ ∈ hom(Σ^∗), notons P_τ la matrice d’incidence de τ. Clairement, (d, P_σ) est une instance de _{Matrix Torsion} calculable en temps polynomial.

Vérifions que (Σ, σ) est une instance positive de _{Morphism Torsion} si et seulement si (d, P_σ) est une instance positive de_{Matrix Torsion}. Vu le point (i) de la Proposition 2.3.3, Pn

σ =P_σP_σ· · ·P_σ =P_σn pour tout n ∈_N. Donc, si σ est de torsion, alors P_σ le sera aussi, car s’il existe p < q tels que σ^p = σ^q alors P_σ^p = P_σp = P_σq = P_σ^q. Inversement, si on suppose que P_σ est de torsion, alors l’ensemble de matrices P = {P_σ, P2

σ, P3

σ, P4

σ,· · · }

est fini. Par le point (ii) de la Proposition 2.3.3, il existe un nombre fini de morphismes

τ ∈ hom(Σ^∗) tels que P_τ ∈ P. Comme P_σn ∈ P pour tout entier n ≥ 1, alors l’ensemble

{σ, σ2, σ3, σ4, ...} est fini, et donc σ est de torsion par définition.

Corollaire 2.3.5. Pour tout alphabet Σ, le problème _Free(1)[hom(Σ^∗)] est décidable en temps polynomial.

Démonstration. Ce problème se réduit au problème complémentaire de _Morphism

Tor-sion ^{car un morphisme σ} ∈ hom(Σ^∗) est de torsion si et seulement si ce n’est pas un code.

Pour tout alphabet fini Σ contenant au moins un élément et pour tout nombre entierk >

1, la décidabilité du problème _Free(k)[hom(Σ^∗)] n’est pas encore prouvée. On abordera la question de la décidabilité du problème_Free(2)[hom(_W)] dans le Chapitre 4.

Le cas des groupes et du produit

direct de semi-groupes

Dans ce chapitre, nous allons tout d’abord démontrer que pour tout semi-groupe S

et tout sous-ensemble X ⊆ S contenant au moins un élément, X n’est pas un code si et seulement si les éléments de X satisfont une équation non triviale, qui sera dite équilibrée. On examinera ensuite plusieurs conséquences de ce résultat qui feront appel au caractère simplifiable des semi-groupes ainsi qu’à leur produit direct. Nous nous concentrerons sur des matrices à coefficients rationnels et à coefficients entiers pour établir un premier résultat important : le problème _Free(k)[_Q^d×d] se réduit au problème _Free(k)[_Z^d×d] pour tous nombre entiers k, d≥1.

Nous terminerons ce chapitre par l’étude du problème de décision traitant du caractère libre dans le cas des groupes. Pour cela, nous introduirons le problème d’acceptation qui revient à déterminer si un automate donné accepte un élément d’un groupe donné. Grâce à l’étude de ce problème, on démontrera un deuxième résultat important qui traite de la décidabilité de problème _Free[G] où Gest un groupe.

3.1 Équations équilibrées

Une partie du chapitre repose sur les conséquences du lemme qui suit :

Lemme 3.1.1. Soient S un semi-groupe et X un sous-ensemble de S de cardinalité plus grande que 1. L’ensemble X n’est pas un code si et seulement si il existe x, x⁰ ∈ X et z, z⁰ ∈X+ tels que x6=x⁰ et zxzx⁰z⁰ =zx⁰z⁰xz.

Démonstration. Soient Σ un alphabet et σ: Σ+ →S un morphisme tels que σ induit une bijection de Σ dans X. Supposons que X n’est pas un code. Vu la Proposition 1.3.3, σ

n’est pas injectif. Par conséquent, il existew, w⁰ ∈Σ+ tels que w6=w⁰ et σ(w) = σ(w⁰).

• Si on suppose que w n’est pas un préfixe de w⁰ et que w⁰ n’est pas un préfixe de w, alors il existe a, a⁰ ∈Σ et u, v, v⁰ ∈Σ^∗ tels que a6= a⁰, w =uav et w⁰ =ua⁰v⁰. Donc