2.6.1.Comme indiqué dans l’introduction, je me limiterai à quelques re-marques simples et quelques problèmes.
Je reprends la présentation de ce sujet faite dans [32, Chap. II.2]. Soient X0 etX00 deux variétés lisses et connexes de même dimension. Quitte à les remplacer par des ouverts étales, on peut les supposer isomorphes.
Soit X = X0tX00 leur somme disjointe, et soitZk un sous-groupoïde de Jk∗(X). Quitte à remplacer X0 et X00 par des ouverts denses, on peut supposer que les propriétés 1.1.1 (a) et (b) sont satisfaites (la démonstration est analogue au cas «X connexe »). Pour ` 6 k, on désignera par Z` la
« projection deZk », et on désignera respectivement parZ`0, Z`00,Z`a,Z`b les composants deZ` au-dessus respectivement deX0×X0,X00×X00,X0×X00, X00×X0. On pose alors la définition suivante :
Définition 2.10. — Soit Z0k (resp. Z00k) un sous-groupoïde de Jk∗(X0) (resp.Jk∗(X00)) une équivalence de Z0k etZ00k est un sous-groupoïde de Zk⊂ Jk∗(X)possédant les deux propriétés suivantes :
(i) La restrictionZk0 deZk àX0×X0 est égale à Z0k, et de même avec Zk00 etZ00k
(ii) Les deux projections deZ0asurX0 etX00ont une image qui contient un ouvert dense.
On appellera (ii) « surjectivité essentielle » deZk. Il reviendrait au même de demander la même propriété pourZ0b, car c’est l’inverse deZ0a.
De même, siZ0 ={Z0k} et Z00={Z00k} sont des pseudogroupes respecti-vement surX0 etX00; une équivalence entreZ0 etZ00 est un pseudogroupe Z = {Zk} sur X, vérifiant les propriétés analogues à (i) et (ii) (pour la définition des pseudogroupes, voir 1.3.3 et [32]).
Dans [32], le problème de savoir si deux pseudogroupes donnés admettent une équivalence est résolu en termes de « groupes virtuels » associés. Néan-moins, ceci est une solution théorique qui ne permet pas de calcul systéma-tique.
Le problème de Cartan, un peu différent, est le suivant : on se donne une équivalence Zk entre deux groupoïdes Zk0 et Zk00, et on cherche à savoir si cette équivalencese prolonge aux pseudogroupes définis par Zk0 et Zk00.
On se limite au cas oùk= 1, et oùZ1est saturé (le cas oùk>2 pourrait être réduit à celui-là par réduction à l’ordre un ; je n’examinerai pas cette question).
Pour traiter ce problème, la méthode de Cartan consiste à faire surX les opérations de prolongement telles qu’elles ont été faites sur le cas d’un X connexe aux §§2.2, 2.3, 2.4, 2.5
(a) La première étape, expression en terme d’espaces de repères et de formes tautologiques est sans changement : les hypothèses de saturation et d’équivalence montrant que l’on peut prendre un (S, G) unique pour X0 etX00.
(b) Les changements interviennent dans le calcul de la torsion et la sa-turation : il faut avoir chaque fois lesmêmes invariantspourX0 etX00(ou, du moins pour des ouverts denses). Si, après toutes ces opérations, on a ob-tenu unZ1 sans torsion, et tel que sa « projection » vérifie (ii), alors on voit facilement que pr1Z1 sera encore une équivalence entre pr1Z10 et pr1Z100, et aussi que le changement de base deX àX×P ne modifiera pas ce résultat.
On pourra alors recommencer avecX remplacé par X×P, et GparG(1), et ainsi de suite.
(c) Supposons que nous ayons atteint la situation suivante :Z`⊂J`∗(X) est une équivalence, et d’autre part,Z`0 et Z`00 sont involutifs. Pour que Z` soit involutif, il faut et il suffit que pr1Z` →Z` soit surjectif (au moins en se restreignant à des ouverts denses), d’après le théorème de Goldschmidt rappelé au §1.3. Ceci est équivalent au fait que pr1Z` est une équivalence.
Mais alors, d’après le même théorème, tous les prolongements deZ` seront involutifs, donc seront des équivalences. En particulier, siZ est le pseudo-groupe engendré parZ`, il sera une équivalence entreZ0 etZ00, équivalence qui prolongera celle donnée au départ parZ`.
2.6.2.Je me contenterai de discuter rapidement le cas, un peu particu-lier, qui suit :S est un ouvert donné deCq de coordonnéess= (s1, . . . , sq) ; X0 et X00 sont des ouverts de Cn de coordonnées s et x0 = (x01, . . . , x0r), x00 = (x001, . . . , x00r) avec r = n−q. Enfin G est donné, sous-groupe algé-brique de Gl(n,C)×S, avec gij = δij pour 1 6 i 6 q, 1 6 j 6 n. On se donne (ω10, . . . , ωn0), ωi0 ∈Γ(X0,Ω1X0) et (ω100, . . . , ω00n), ωi00 ∈Γ(X00,Ω1X00), avec ωi0 = ωi00 = dsi, 1 6 i 6 q et l’on étudie l’équation Ω00 = gΩ0, avec Ω0 =t(ω01, . . . , ωn0) et de même pour Ω00.
Si Ω0et Ω00 sont donnés explicitement, l’étude de cette équation est rela-tivement élémentaire, et peut se faire par les méthodes usuelles de l’algèbre différentielle (par exemple « l’algorithme de Rosenfeld–Gröbner » [6]. Si et seulement si l’un des deux est explicite et l’autre « indéterminé » au sens ci-dessous, Neut [35] remarque que les mêmes méthodes pourront être appli-quées moyennant une élimination différentielle (sur ce dernier point, voir [33]
et [38]). Néanmoins ces méthodes pourront décider de l’équivalence, sans qu’elles donnent réellement les invariants qui lui sont attachés.
La supériorité de la méthode de Cartan est qu’elle permet de traiter le cas où les deux formes sont indéterminées : on se donneωi0= Σa0ji dsj+ Σb0ki dx0k, ωi00 = Σa00ji dsj + Σb00ki dx00k, (avec évidemment ω0i =ω00i = dsi, 1 6 i 6 q), avec a0ji, b0ki représentant des fonctions ∈ C[s, x0], et de même avec a00ji , b00ki , fonctions laissées indéterminées pour l’instant. On traite ces nouvelles variables comme des indéterminées différentielles ; pour cela on introduit de nouvelles variables a0jαi , b0kαi qui seront ultérieurement remplacées par les dérivées desa0ji ,b0ki par rapport auxsi et auxx0i et de même avec lesa00et b00. Aux notations précédentes, c’est essentiellement le point de vue adopté par les auteurs des articles cités.
La méthode de Cartan permet alors de donner des conditions d’équiva-lence en terme d’égalité des invariants obtenus au cours des divers prolon-gements. Je renvoie à la littérature pour les exemples. Il serait intéressant, en utilisant les bornes données ci-dessus, de décrire de manière générale les conditions que l’on obtient. Je n’aborde pas cette question qui nécessiterait un assez long développement sortant de mon sujet.
2.6.3.Dans le même ordre d’idées, remarquons que la majoration du théorème 1.5 permet de donner une indication sur le type des conditions auxquelles on peut s’attendre. Quoique la méthode que je vais indiquer soit impraticable dans les exemples (elle exige un nombre de prolongations beau-coup trop élevé), elle me paraît théoriquement intéressante.
(a) Donnons-nous d’abord une équation ω00 = gω0 (G et S sont don-nés), avec ω0i et ω00i explicites. SoitZ1 ⊂J1∗(X0, X00) le système différentiel
correspondant. Soient ` et m donnés comme au théorème 1.5. Soit alors Zm+1 le prolongement d’ordre m+ 1 de Z1, et soit Z`+1 la projection de Zm+1 dansJ`+1∗ (X0, X0). Alors,Zm+1etZ`+1ont même projectionZ0dans J0∗(X0, X00) = X0×X00. Donc le système donné sera une équivalence si et seulement siZ0 vérifie la définition 2.10 (ii).
(b) Revenons à desωi0etωi00indéterminés ; ceci peut se voir théoriquement au moyen de deux éliminations successives.
On se donne par exemple Gpar des équations : on part de (gij), coor-données deGl(n) (avecgij =δij pour i6q,j 6n), et on supposeGdéfini par des équationsP`(s, gij) = 0, P`∈C[si, gij, δ−1],δ= détgij.
On va maintenant considérerg= (gij) comme fonction des etx0, et on noteragijα (en abrégégα) les dérivées par rapport auxsi etx0j. On note|α|, comme usuel, l’ordre total d’une dérivation.
De même, on écriraa0α et b0α (resp.a00α et b00α) les dérivées des a0ji et b0ki par rapport à (s, x0) [resp. (s, x00)], en considérant provisoirement ces expressions comme des variables indépendantes. On fait la même convention sur|α|. Enfin, on notex00α les dérivées desx00j par rapport à (s, x0).
En explicitant les équations de G et l’équation ω00 = gω0, et en déri-vant ces équations jusqu’à l’ordrem+ 1, on trouve une famille d’équations Q`(s, gα, a0α, b0α, a00α, b00α, x00β) = 0, avec|α|6m,|β|6m+ 1. Les variables x0j et x00j ne figurent pas dans ces équations, contrairement auxsi. En élimi-nant lesgα etx00β, on obtient un ensemble constructible Edans l’espace de coordonnées (s, a0α, b0α, a00α, b00α).E est réunion finie d’ensemblesEi, qu’on peut supposer disjoints et connexes, avecEidéfini parRij = 0,Si6= 0, avec Rij etSj ∈C[S][a0α, b0α, a00α, b00α], |α|6m.
(c) Si maintenant on substitue auxa0, b0 (resp.a00, b000) des fonctions régu-lièresX0 (resp.X00), et auxa0αetc. les dérivées correspondantes, on obtient par image réciproque un ensembleE constructible dansX0×SX00(qui sera en fait vide, ou l’image réciproque d’un des Ei. La condition de la défi-nition 2.10 (ii) pour Zm+1, donc la condition d’équivalence s’obtiendra en regardant les projections deE0 dansX0 et X00, ce qui revient à éliminerx00 oux0 dansE.
En fait, en suivant plus attentivement la méthode de Cartan, on peut obtenir une description plus précise deEen termes d’invariants différentiels.
Je n’entre pas dans les détails qui demanderaient plus de développements.
3. Bornes
Le but de cette section est la démonstration du théorème 1.7. Nous avons vu dans les sections précédentes que les bornes qui interviennent dans le problème d’équivalence de Cartan se ramènent à ce théorème. Cette section est indépendant de la section 2.