Nous avons vu que dans certains contextes physiologiques, l’influence d’un terme source métabolique homogène dans le tissu peut être considéré comme négligeable ou de faible influence. Dans le cas de processus de browning, et bien que celle-ci soit difficilement estimable, l’intensité de ce terme source pourrait être importante sur l’influence quantita- tive des transferts thermiques entre vaisseaux. Il est à noter que la présence d’un terme source ne changera probablement pas les caractères qualitatifs des transferts de chaleurs que nous avons mis en évidence dans ce chapitre (présence d’un optimum à petit Péclet, saturation du transfert à grand Péclet). Pour conclure ce chapitre, nous souhaitons donner les grandes lignes d’une méthode prenant en compte un terme source homogène dans le tissu dans le contexte méthodologique des problèmes de Graetz généralisés.
Avec les adimensionnements déjà présentés, le problème de Graetz généralisé (dans l’échangeur) avec terme source devient :
Pe v?(x?, y?)∂?zT?− (∂2 x?+∂ 2 y?+∂ 2 z?)T ? = 0, dans le fluide (∂2 x?+∂ 2 y?+∂ 2 z?)T ? = P?, dans le solide (4.28)
On doit donc trouver la solution du problème homogène, qui est en fait la solution présentée précédemment de l’équation4.4qu’on notera Th?, et une solution particulière qu’on notera T?p. On choisit une solution particulière invariante en z?et on se ramène au problème suivant : (∂2 x?+∂ 2 y?)T ? p = 0, dans le fluide (∂2 x?+∂ 2 y?)T ? p = P?, dans le solide (4.29) qu’on peut résoudre numériquement par une formulation élément fini par exemple (il s’agit d’une équation de la chaleur avec un terme source discontinu). La solution du problème de l’échangeur est donnée alors par T?= Th?+ T?p. Il faut à présent "recoller" en
3D la solution de l’échangeur aux solutions des vaisseaux entrant/sortant de l’échangeur,
i. e. les solutions des problèmes de Graetz classique. On propose d’adapter la méthode
dePIERREet collab.[2014] en décomposant dans la fonctionnelle de recollement sur la partie fluide les faces entrantes/sortantes de l’échangeur. Sur la partie solide des faces en- trantes/sortantes de l’échangeur, on aura (en gardant à l’esprit que la solution particulière est invariante en z?) les conditions aux limites suivantes :
∇T ·~n = 0 surΩ0s etΩLs? (4.30)
c’est-à-dire des conditions de Neumann homogène sur les domaines solides en z?= 0
et z?= L?. Les conditions à imposer sur les domaines fluides entre l’échangeur et les
vaisseaux sont les même que dansPIERREet collab.[2014]
Tg? = Td? sur DH,C
0,L?
∂z?T?g = ∂z?Td? sur DH,C
0,L?
(4.31) avec Td?et T?g respectivement les températures "droite" et "gauche" au sens du passage à la limite sur les bords de l’échangeur en z?= 0 et z?= L?. Pour faciliter la lecture, on donnera la fonctionnelle pour un seul vaisseau entrant en z?= 0
On note à présent que si l’on projette la solution particulière Tp sur la base des vecteurs
propres du problème de l’échangeur comme Tp =P < Tp, Tn> Tn=P anTn, on obtient
une décomposition avec des coefficients anconnus. On peut donc suivre la méthode de
PIERREet collab.[2014] et on obtiendra un système linéaire de la forme :
(ML2+ Mp)x = b + bp (4.33)
avec Mpet bpla matrice et le vecteur second membre issus de la solution particulière.
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