3.2 Problèmes du couplage THHM-Endommagement
3.2.2 Prise en compte de la fissuration dans les lois de transfert
Tang, Tham, Yang et al. [192, 209] ont proposé un modèle de perméabilité pour les roches fracturées saturées. Des contraintes effectives σ0
ij sont définies, selon la théorie de Bishop :
σij0 = σij − bSATpwδij = σij − µ 1 − K0 Ks ¶ pwδij (3.108)
bSAT est le coefficient de couplage hydro-mécanique de Biot. K’ est le module de compression
volumique du massif, et Ks est le module de compression volumique du squelette solide. Une
variable d’endommagement scalaire ω est employée. Classiquement, le module d’Young dépend du module d’Young du matériau intact, et varie avec le niveau d’endommagement, selon la loi : E(ω) = (1 − ω)E0. La dégradation du module d’Young a des conséquences sur la dégradation
du module de compressibilité K’, et donc sur l’évolution de bSAT Les auteurs supposent que bSAT = 1 pour un matériau complètement endommagé. La perméabilité du liquide interstitiel
k (σii, pw) dépend de l’endommagement à travers une dépendance vis-à-vis du coefficient de Biot :
k (σii, pw) = ξk0exp ³ −βK ³ σii 3 − bSATpw ´´ (3.109)
βK est un coefficient de couplage, qui module l’influence des contraintes sur la perméabilité. ξ donne le taux de croissance de la perméabilité avec l’endommagement. Dans l’équation 3.109, la perméabilité dépend de la contrainte moyenne. On retrouve souvent une dépendance de la perméabilité vis-à-vis de la composante volumique d’une variable d’état en poromécanique [102]. Le modèle élasto-plastique d’endommagement de Jia [103] comporte une représentation des trans- ferts de fluide. Le degré de saturation évolue sur une surface d’état qui dépend de paramètres hydrauliques et de variables d’état hydrauliques, exclusivement. La perméabilité relative dépend du degré de saturation, selon une loi d’évolution purement hydraulique là encore. Les effets mé- caniques sont pris en compte à travers l’expression de la perméabilité intrinsèque, qui dépend notamment de la variable d’écrouissage plastique, mais qui ne dépend pas de l’endommagement. Finalement, les effets de la fissuration ne sont donc pas pris en compte dans le modèle de transfert des fluides proposé par Jia.
Au contraire, Shao et al. [180] ont utilisé une variable d’endommagement tensorielle qu’ils ont introduite dans l’expression du tenseur de perméabilité. Pour ce faire, ils ont défini une perméa- bilité spécifique au réseau de micro-fissures kc
ij qui endommagent le VER. Cette perméabilité
s’ajoute à la perméabilité du milieu poreux intact k0ij, si bien que la perméabilité totale du milieu poreux fissuré kij vaut :
kij = k0ij + kcij (3.110)
La définition de l’endommagement est micro-mécanique. On suppose que le Volume Elémentaire Représentatif est endommagé par N microfissures planes et circulaires, de vecteur normal nk, et
de rayon r(nk). L’endommagement est le tenseur de densité de fracturation d’ordre 2 obtenu par
intégration des densités de fracturation obtenues dans chaque plan, pour toutes les directions de l’espace (i.e. sur l’angle solide 4 Π) :
Ωij = 4 Π1 VN V ER Z SV ER ³ r(nk)3− r03 ´ nkinkjdS (3.111)
où r0 est le rayon des microfissures dans la configuration de référence, initialisé à la même valeur
pour toutes les microfissures, et donc pour toutes les directions de l’espace. Dans une fissure donnée, il est supposé que le flux est parallèle au plan de fissuration. En supposant de plus que l’écoulement est laminaire, l’équation de Navier-Stokes [203] qui caractérise le flux microscopique entre deux plans parallèles donne, pour une microfissure de vecteur normal nk :
vci(nk) = − 1 12µwe(n k)2³δ ij − nkinkj ´ ∇jpw (3.112)
où µw et pw sont respectivement la viscosité dynamique et la pression interstitielle du liquide qui
sature la roche étudiée. δij est le tenseur identité d’ordre 2. e(nk) est l’ouverture de la microfissure
de vecteur normal nk. Les auteurs supposent qu’on peut la déduire du rayon de la microfissure
au moyen d’une loi de dilatance linéaire :
de(nk) = χ dr(nk) (3.113)
où χ = 0.005 pour les roches fragiles. Après avoir utilisé une précédure d’homogénéisation, les auteurs déterminent finalement la perméabilité globale relative à la fissuration, définie à l’échelle du VER : kijc = N 48 VV ER Z SV ER R(nk)e(nk)3r(nk)2 ³ δij − nkinkj ´ dS (3.114)
R(nk) est un paramètre matériel supplémentaire que les auteurs ont introduit pour quantifier le
degré de connectivité des microfissures.
Les rares modèles d’endommagement qui comportent un volet sur les transferts de fluides tra- duisent tous l’influence de l’endommagement sur les transferts de liquide à travers une dépen- dance de la perméabilité intrinsèque vis-à-vis de l’endommagement. Pour instaurer un couplage hydro-mécanique incluant les effets de l’endommagement, il faudrait par exemple concevoir une surface d’état dépendant de la succion et de l’endommagement pour le degré de saturation. Ce dernier, une fois introduit dans l’expression de la perméabilité relative, permetttrait de coupler totalement les effets de fissuration aux effets capillaires et aux autres effets mécaniques au sein même de la formule de perméabilité globale.
Modélisation
« nous ne connaissons a priori des choses que ce que nous y mettons nous-mêmes »
E. Kant, traduit par A. Renaut, Critique de la raison pure, Préface de la deuxième édition (1787), GF Flammarion, p.79
Afin de donner une bonne description physique de l’endommagement au moyen d’une formu- lation mathématique efficace, on choisit de développer un modèle d’endommagement mixte. L’endommagement est une variable non-locale, issue de l’homogénéisation de paramètres de fis- suration locaux, sur un Volume Elémentaire Représentatif. C’est une définition micro-mécanique de l’endommagement. Les lois de comportement des variables d’état sont dérivées d’un poten- tiel thermodynamique dont l’expression est postulée, ce qui est une démarche typique de la modélisation phénoménologique. L’expression de l’énergie injectée dans le modèle dépend des rigidités endommagées, qui sont déterminées par application du Principe de l’Energie Elastique Equivalente, couramment utilisé en micro-mécanique. L’influence de l’endommagement dans les lois de transferts est analysé physiquement d’un point de vue micro-mécanique, et formalisé par homogénéisation à l’échelle du Volume Elémentaire Représentatif.