Le théorème suivant est démontré dans [PS] seulement dans le cas où α est un symbole. Rappelons ici la preuve pour nous assurer que l’hypothèse que α est d’indice l suffit.
Théorème 2.4.1. Soit K le corps des fonctions d’une surface projective et lisse, géométrique-ment intègre S, définie sur un corps fini F. Soit l un entier premier, (l, car.K) = 1. Supposons que K contient une racine primitive l-ième de l’unité. Soit α ∈ H2(K,Z/lZ) un élément d’in-dice l et soit ξ ∈ H3(K,Z/lZ). Les assertions suivantes sont équivalentes :
(ii) pour tout point x ∈ S de codimension 1, il existe un élément non nul fx dans le com-plété Kx de K en x tel que ξ − α ∪ fx∈ H3
nr(Kx,Z/lZ).
Soit K le corps des fonctions d’une surface régulière propre, géométriquement intègre S, définie sur un corps k. Soit l un entier premier, (l, car.k) = 1. Supposons que K contient une racine primitive l-ième de l’unité. Soit α ∈ H2(K,Z/lZ) un élément d’indice l. Pour démontrer le principe 2.4.1 on va utiliser la théorie de ramification d’algèbres à division, développée par Saltman ([Sal97], [Sal98]).
Soit ramS(α) le diviseur de ramification de α dans S. D’après la résolution des singulari-tés de surfaces, quitte à éclater S, on peut supposer que le support de ramS(α) est réunion de courbes régulières intègres à croisements normaux. On note C1, . . . Cnces courbes. D’après Salt-man, après éventuellement quelques éclatements, on peut associer à chaque Cison coefficient si. La construction de si tient compte de la ramification de α au-dessus des points d’intersections des divers Ci et Cj. Pour la suite on n’aura pas besoin de détailler cette construction.
Soient F1, . . . Fr des courbes irréductibles régulières et propres dans S, telles que {C1, . . . Cn, F1, . . . Fr} soient à croisements normaux. Soient m1, . . . mr des entiers. L’assertion suivante est démontrée dans [PS], 2.2 (et utilise [Sal97], 4.6 et [Sal98], 7.8) :
Proposition 2.4.2. Avec les notations précédentes, il existe f ∈ K∗ tel que
divS(f ) = n X i=1 siCi+ r X s=1 msFs+ t X j=1 njDj+ lE′ où
(i) D1, . . . Dt sont des courbes irréductibles, distinctes de C1, . . . Cn, F1, . . . Fr; (ii) E′ est un diviseur sur S ;
(iii) (nj, l) = 1 ;
(iv) la spécialisation de α en Dj est dans H2
nr(κ(Dj)/Dj,Z/lZ).
Remarque 2.4.3. La spécialisation ¯α de α en Dj est définie par ¯α = ∂OS,Dj(α∪ π) où π est une uniformisante de OS,Dj, κ(Dj) est son corps résiduel. Le groupe H2
nr(κ(Dj)/Dj,Z/lZ) désigne ici le sous-groupe de H2(κ(Dj),Z/lZ) formé des éléments qui sont non ramifiés pour toute valuation discrète de κ(Dj) au-dessus d’un point fermé de Dj. Cette définition ne néces-site pas d’hypothèse de régularité de Dj.
On passe maintenant à la preuve du principe local-global de [PS]. Démonstration du théorème 2.4.1.
L’implication (i) ⇒ (ii) est immédiate. Montrons que (ii) ⇒ (i). On dispose alors des éléments fx dans le complété Kx de K pour tout point x ∈ S de codimension 1. Notons κ(x) le corps résiduel de Kx.
Soit C un ensemble fini de points de codimension 1 de S, qui consiste exactement des points de ramS(α)∪ ramS(ξ). Par l’approximation faible, il existe un élément f ∈ K∗ tel que, pour
tout x ∈ C, f/fx est une puissance l-ième dans Kx. On écrit : divS(f ) = C− r X s=1 msFs+ lE où C est à support dans C et où Fs* SuppE, s = 1, . . . r.
Ensuite, par l’approximation faible, on choisit u ∈ K∗ tel que (i) la valuation de u en Fi est mi;
(ii) u est une unité en chaque point x ∈ C et l’image ¯ux de u dans κ(x)∗/(κ(x)∗)l est ¯
ux=
∂x(α), x∈ ramS(α); non nul, sinon.
On pose L = K(√l
u). On note Y → S la normalisation de Sπ L. Notons que la condition (mj, l) = 1 assure que Y → S est ramifié en Fπ i. Ainsi on trouve une seule courbe ˜Fi dans la préimage de Fi et, de plus, κ( ˜Fi) = κ(Fi). Soit ˜Y → Y un modèle régulier de Y , tel queη ramY˜αL et les transformés stricts des ˜Fi, que l’on note aussi ˜Fi, soient à croisements normaux.
On applique ensuite la proposition 2.4.2 à ˜Y , αLet ˜Fi. On trouve g ∈ L∗ tel que divY˜(g) = C′+ r X s=1 msF˜s+ t X j=1 njDj+ lE′
où C′ est à support dans ramY˜αL. De plus, la spécialisation de αL en Dj est dans Hnr2 (κ(Dj)/Dj,Z/lZ).
Soit ξ′ def= ξ− α ∪ fNL/K(g). Montrons que ξ′ ∈ H3
nr(K/S,Z/lZ). Soit x ∈ S(1). On a trois cas à considérer :
1. si x /∈ ramS(α)∪ ramS(ξ)∪ Supp(fNL/K(g)), ξ′ est non ramifiée en x.
2. Supposons que x ∈ ramS(α)∪ ramS(ξ). D’après le choix de f , on a ∂x(ξ− α ∪ f) = ∂x(ξ− α ∪ fx) = 0. Montrons que ∂x(α∪ NL/K(g)) = 0. On étend la valuation sur K donnée par x en une valuation v sur L. D’après le choix de u, αLest triviale sur Lv. Ainsi ∂x(α∪ NL/K(g)) = ∂x(CoresLv/Kx(αL∪ g)) = 0.
3. Supposons que x ∈ Supp(fNL/K(g))\ (ramS(α)∪ ramS(ξ)). On a alors ∂x(ξ′) = ∂x(α∪ f NL/K(g)). On a
divS(f NL/K(g)) = divS(f )− π∗η∗(divY˜(g)). Puisque κ( ˜Fi) = κ(Fi), on en déduit divS(f NL/K(g)) = C′′+
t
X
j=1
njπ∗η∗(Dj) + lE′′, où C′′ est supporté sur C.
Soit D′
j = π(η(Dj)). Si π∗η∗(Dj) = cD′
j est non nul et si l ∤ c, on a nécessairement que κ(D′
j) = κ(Dj). Ainsi soit ∂x(α∪ fNL/K(g)) est nul, soit c’est un multiple de la spécialisation de α en D′
j, qui est dans H2
nr(κ(Dj)/Dj,Z/lZ) par le choix de g. Puisque Dj
est une courbe sur un corps fini, H2
nr(κ(Dj)/Dj,Z/lZ) = 0. On obtient donc ∂x(ξ′) = 0. Ainsi ξ′ ∈ Hnr3 (K/S,Z/lZ). D’après [CTSS83], p.790, ce groupe est nul (cf. [CT95a] 2.1.8 pour l’identification de divers groupes de cohomologie non ramifiée), ce qui termine la preuve.
Chapitre 3
Invariants birationnels dans la suite
spectrale de Bloch-Ogus
Résumé. Dans ce chapitre, on établit l’invariance birationnelle des groupes Hi(X,Hn+d(µ⊗jlr )) pour X une variété projective et lisse, géométriquement intègre, de dimen-sion n, définie sur un corps k de dimendimen-sion cohomologique au plus d, (l, car.k) = 1. En utilisant la conjecture de Kato, démontrée récémment par Kerz et Saito [KS], on obtient aussi un résultat analogue sur un corps fini pour les groupes Hi(X,Hn(Ql/Zl(j))) et on relie un de ces invariants avec le conoyau de l’application classe de cycle CHn−1(X)⊗ Zl→ H´et2n−2(X,Zl(n− 1)), ce qui donne une version sur un corps fini d’un résultat de Colliot-Thélène et Voisin [CTV] 3.11 sur le corps des complexes.
3.1 Introduction
Soit k un corps et soit X une k-variété intègre, projective et lisse. Pour l un nombre premier, (l, car.k) = 1, et pour r > 0 un entier, soit HqX(µ⊗jlr ) le faisceau de Zariski sur X associé au préfaisceau U 7→ Hetq´(U, µ⊗jlr ). La conjecture de Gersten, établie par Bloch et Ogus ([BO74]) permet de calculer les groupes de cohomologie de ces faisceaux comme les groupes de cohomologie du complexe 0→ Hq(k(X), µ⊗jlr )→ M x∈X(1) Hq−1(κ(x), µ⊗(j−1)lr )→ . . . → M x∈X(i) Hq−i(κ(x), µ⊗(j−i)lr )→ . . .
où X(i) désigne l’ensemble des points de codimension i de X ; κ(x) est le corps résiduel du point x. Les flèches de ce complexe sont induites par des résidus et le terme Lx∈X(i) est en degré i.
On a une suite spectrale (cf. [BO74])
E2pq = Hp(X,Hq(µ⊗jlr ))⇒ Het´p+q(X, µ⊗jlr ). (3.1)
Les termes E20q de cette suite spectrale s’identifient à des groupes de cohomologie non ramifiée Hnrq (X, µ⊗jlr ) qui sont des invariants birationnels des k-variétés intègres projectives et lisses. Dans ce chapitre on s’intéresse à d’autres invariants birationnels dans (3.1).
Pour k un corps de dimension cohomologique au plus d on établit l’invariance birationnelle des groupes Hi(X,Hq(µ⊗jlr )) pour q = n + d. Ceci est fait dans la section 3.3 par un argument d’action des correspondances. Cette action est fournie par la théorie de cycles de Rost, dont on fait des rappels dans la section 3.2. D’après la conjecture de Kato ([Kat86], [KS]) les groupes Hi(X,Hn+1(µ⊗nlr )), i < n, sont nuls pour X une variété projective et lisse, géométriquement intègre, de dimension n, définie sur un corps fini F, avec l premier à la caractéristique de F. Dans ce cas, on établit l’invariance birationnelle des groupes Hi(X,Hn(Ql/Zl(j))), cf. 3.4.2. Dans la section 3.4.3, on montre que le quotient du groupe Hn−3(X,Hn(Ql/Zl(n−1))) par son sous-groupe divisible maximal est isomorphe au groupe de torsion du conoyau de l’application classe de cycle CHn−1(X)⊗ Zl→ H´et2n−2(X,Zl(n− 1)).