2.3.1 Conditions suffisantes
Dans la section précédente, nous avons vu des conditions suffisantes pour le théorème limite central en terme de coefficients de mélange. Il est naturel de se demander si celles-ci garantissent aussi le principe d’invariance dans D[0, 1] ou C[0, 1].
Le principe d’invariance sous les hypothèses du Théorème 2.2.7 a été démontré par Shao dans [Sha89].
Peligrad a montré que le principe d’invariance dans D[0, 1] reste valide sous les conditions du Théorème2.2.9ainsi que sous les hypothèses mentionnées à la suite de ce résultat (voir [Pel98]).
2.3.2 Implication du principe d’invariance par le théorème limite
cen-tral
Soit (f ◦ Ti)i>0 une suite strictement stationnaire. On suppose que (a−1
n Spl
n(f))n>1 converge en loi vers un mouvement brownien W . Comme la fonctionnelle π1: x 7→ x(1) est continue sur
C[0, 1], la suite (a−1
n Sn(f))n>1converge en loi vers une loi normale. En utilisant la fonctionnelle
πt1,...,td(x) := (xti)d
i=1, on observe que la convergence des lois fini-dimensionnelles a lieu. En utilisant la continuité sur C[0, 1] des fonctionnelles x 7→ w(x, δ), on peut montrer que
1
an max
16j6n
f ◦ Tj →0 en probabilité quand n → ∞. (2.3.1) En effet, pour n > 1/δ, nous avons
1
an max
16j6n
f ◦ Tj 6 w a−1n Snpl(f), 1/j . (2.3.2) Comme l’union des points de discontinuité des fonction de répartition de w(W, 1/l) l > 1 est au plus dénombrable, il suffit de montrer que µ max16j6n
f ◦ Tj
> εan →0 pour chaque ε > 0 qui est un point de continuité des fonctions de répartition de tous w(W, 1/l) l > 1.
Pour de tels ε, nous déduisons par continuité de x 7→ w(x, 1/j) l’inégalité
µ max 16j6n f ◦ Tj > εan 6 µ {w(W, 1/j) > ε} . (2.3.3) En faisant tendre j vers 0, nous obtenons (2.3.1).
§ 2.3 — Principe d’invariance 33
En résumé, le théorème limite central fonctionnel dans C[0, 1] implique la convergence des loi fini-dimensionnelles et une condition sur les maxima des accroissements des sommes partielles (2.3.1). La question de la réciproque survient alors :
Question. Soit (f ◦ Tk)k>0 une suite strictement stationnaire centrée ayant une variance finie. Supposons qu’il existe une suite (an)n>1 de réels strictement positifs telle que les lois fini-dimensionnelles de (a−1
n Spl
n(f))n>1 convergent en loi vers celles d’un mouvement brownien
W et vérifiant (2.3.1). Quelle condition sur le mélange faut-il imposer pour garantir le principe d’invariance dans C[0, 1] ?
Cette condition ne doit pas garantir à elle seule le principe d’invariance.
Le φ-mélange est une réponse à la question. Herrndorf a montré dans [Her83b] que si
Sn(f)/σnconverge vers une loi normale centrée réduite, E[f] = 0 et E f2 < ∞et (2.3.1) a lieu, alors f vérifie le principe d’invariance dans D[0, 1] avec la normalisation σn. L’idée clé est d’utili-ser le fait que φ(m) < 1 pour un certain m, et de contrôler la quantité µ {max16j6n|Sj| an>3λ} par µ {|Sn| an> λ}, µ max16j6n
f ◦ Tj an> λ et φ(m). Plus précisément, le Lemme 3.1 écrit dans le cas stationnaire de la manière suivante : pour tout entier q > 1, tout a > 0 et r > q + 1,
1 − φ(q) − max q6j6rµ {|Sr− Sj| > a} µ max 16j6r|Sj| >3a6 6 µ {|Sr| > a}+ µ(q − 1) max 16j6r f ◦ Tj > a . (2.3.4) L’inégalité (2.3.4) est ensuite utilisée pour établir l’équi-tension de la suite σ−1
n Spl
n(f)n>1 dans l’espace D[0, 1].
Chapitre
3
Principe d’invariance pour les champs
aléatoires strictement stationnaires
Dans ce chapitre, nous rappelons les définitions et résultats existants concernant le théorème limite central et le principe d’invariance pour des champs aléatoires strictement stationnaires.
3.1 Champs aléatoires de type différence
d’orthomartin-gale
La notion de martingales a été introduite dans le Chapitre 1. Lorsque les accroissements sont strictement stationnaires, on a vu que le théorème limite central fonctionnel a lieu sous une condition de variance finie. Une stratégie pour démontrer un théorème limite consiste donc à approximer les sommes partielles par des martingales à accroissements strictement stationnaires. On aimerait suivre cette approche dans le cadre des champs aléatoires, mais on se heurte à une première difficulté : comment définir une martingale ? La définition de martingale en dimension un repose sur l’ordre naturel sur les entiers relatifs. Dans cette thèse, nous nous concentrerons sur les ortho-martingales.
3.1.1 Définitions générales
Soit (Ω, F, µ) un espace probabisé et Tq, q ∈ {1, . . . , d} des applications de Ω dans lui-même qui préservent la mesure. On suppose que ces applications commutent, i.e., Ti◦ Tj = Tj◦ Ti pour tous i, j ∈ {1, . . . , d}. On supposera de plus que ces applications sont bijective et bi-mesurables. On note pour i = (i1, . . . , id) ∈ Zd,
Ti:= Ti1
1 ◦ · · · ◦ Tid
d . (3.1.1)
On dira que T est une action de Zd sur Ω qui préserve la mesure.
Définition 3.1.1. On note I la tribu des invariants, c’est-à-dire la collection des ensembles A ∈ F tels que pour tout k ∈ Zd, TkA= A.
Définition 3.1.2. On dit que (Ω, F, µ, T ) est ergodique si tous les éléments de I sont de mesure nulle ou égale à 1.
On note également pour une fonction mesurable f : Ω → R et ω ∈ Ω
(Uif)(ω) := f(Tiω). (3.1.2) 35
Définition 3.1.3. Le champ aléatoire (Xk)k∈Zd est dit strictement stationnaire si pour tout
(k, n) ∈ Zd
× N∗ et tous (i1, . . . , in) ∈ Zdn, les vecteurs (Xi1, . . . , Xin) et (Xi1+k, . . . , Xin+k) ont
la même loi.
Avec ces notations, le champ aléatoire Ujf
j∈Zd est strictement stationnaire.
3.1.2 Filtrations commutantes
Étant donnés deux éléments i et j de Zd, on dit que i 4 j si iq6 jq pour tout q ∈ {1, . . . , d}.
Définition 3.1.4. La collection de tribus (Fk)k∈Zd est une filtration si Fi ⊂ Fj pour tous
i, j ∈ Zd vérifiant i 4 j. Cette filtration sera dite commutante si de plus, pour tous k, l ∈ Zd et toute variable aléatoire intégrable et Fl-mesurable Y ,
E [Y | Fk] = E [Y | Fk∧l] presque sûrement. (3.1.3) Le terme « commutante » peut s’expliquer de la manière suivante : pour q ∈ {1, . . . , d}, considérons la tribu
Fl(q)=_
i∈Zd
iq6l
Fi, l ∈ Z. (3.1.4)
où (Fk)k∈Zd est une filtration commutante. Alors pour toute permutation π de {1, . . . , d} et toute variable aléatoire intégrable Y , l’égalité
E h . . . EhE h Y | Fi(π(1)) π(1) i | Fi(π(2)) π(2) i · · · | Fi(π(d)) π(d) i = E [Y | Fi] (3.1.5) a lieu pour tout i ∈ Zd (voir [Kho02] page 36, Corollaire 3.4.1).
Un exemple important de filtrations commutantes est celui de filtrations engendrées par un champs i.i.d. (εi)∈Zd. En effet, si Fi := σ(εj, j 4 i), alors la filtration (Fi)i∈Zd est commutante. Pour le vérifier, on peut s’appuyer sur le
Lemme 3.1.5. Soient G1, G2, G3 des sous-tribus indépendantes. Alors pour toute variable aléa-toire intégrable X, l’égalité
E [E [X | G1∨ G2] | G2∨ G3] = E [X | G2] (3.1.6)
a lieu.
Nous avons aussi dans le même esprit le lemme suivant, qui ne sera cependant pas utilisé dans la suite de cette sous-section.
Lemme 3.1.6. Soient Gi, i ∈ {1, 2, 3} des sous-tribus de F telles que G3 est indépendante de
G1∨ G2. Alors pour toute variable aléatoire intégrable X, l’égalité
E [E [X | G1] | G2∨ G3] = E [E [X | G1] | G2] . (3.1.7)
a lieu.
Étant données des applications Tq, 1 6 q 6 d qui commutent et préservent la mesure, on aimerait pouvoir former une filtration commutante à l’aide d’une tribu M telle que pour tout
q ∈ {1, . . . , d}, TqM ⊂ M.
Définition 3.1.7. Soient Tq, 1 6 q 6 d des applications bijective, bi-mesurables de Ω dans lui-même, qui préservent la mesure et commutent deux à deux. Soit M une sous-tribu de F telle que pour tout q ∈ {1, . . . , d}, TqM ⊂ M. On dit que la filtration (Fi)i∈Zd:= T−iM
i∈Zd
est complètement commutante si elle vérifie (3.1.3) pour tout k, l ∈ Zd toute variable aléatoire intégrable et Fl-mesurable Y .