Principe de la m´ ethode

Nous nous sommes plac´es dans l’hypoth`ese o`u le quark lourd des m´esons B et D^∗∗ a une masse infinie ; sur le r´eseau, cela signifie que le quark est statique. Il nous faut donc trouver l’´el´ement de matrice `a partir duquel nous pourrons extraire τ<sub>1/2</sub> et τ<sub>3/2</sub>. Malheureusement, dans la limite o`u le quark lourd est au repos, les ´el´ements de matrice entre B et D^∗∗ d’un courant ´electrofaible est nul sur le r´eseau ; pour s’en sortir, nous avons consid´er´e les ´el´ements de matrice d’op´erateurs suivants, qui font intervenir la d´eriv´ee covariante D_µ (d’apr`es [36]):

hD₀^∗(v)|¯h(v) γ_iγ₅D_jh(v)|B(v)i = i g_ij M_D∗

0 − M_B
τ_1/2(1) hD^∗₂(v)|¯h(v) γ_iγ₅D_jh(v)|B(v)i = −i√

3 M_D∗

2 − M_B
τ_3/2(1)^∗_ij

(^∗_ij est le tenseur de polarisation et h(v) d´esigne le champ de quark lourd.)

L’extraction des facteurs de forme `a partir de ces relations n´ecessite le calcul des ´el´ements de matrice mais aussi des termes M_D∗∗ − M_B:

- d´eriv´ee covariante : nous avons pris une forme discr´etis´ee sym´etris´ee habituelle de la d´eriv´ee covariante

du groupe de sym´etrie du r´eseau (la base de l’espace des repr´esentations utilis´ee est celle form´ee par les liens reliant deux nœuds cons´ecutifs du r´eseau – mais d’autres bases peuvent ˆetre ´egalement utilis´ees) ; lorsque plusieurs solutions sont possibles, nous avons pris celle qui correspond `a ce que donne le mod`ele de quarks (combinaison de moment cin´etique de spin et moment cin´etique orbital). Pour ce qui est du champ de quark q(x) associ´e au quark l´eger, nous avons introduit une fonction de(( smearing )) utile pour s´eparer le mieux possible l’´etat fondamental 0⁻ des ´etats excit´es L = 1 et pour am´eliorer les champs interpolants.

- quarks lourds : les propagateurs des quarks lourds sont repr´esent´es par des liens(( hyp´es8)) Les diff´erences de masse entre les ´etats L = 0 et L = 1 ont ´et´e obtenues `a partir des fonctions de Green `a deux points pour ces ´etats et les fonctions de Green `a trois points donnent alors acc`es aux facteurs de forme (voir [35] pour les aspects techniques).

4.2.2 R´esultats

Les calculs ont ´et´e r´ealis´es `a Orsay sur une machine APEmille (la g´en´eration pr´ecedant apeNEXT), dans l’approximation “quenched”, avec un volume du r´eseau de 16<sup>3</sup>× 40 et un coefficient β = 6.0. Le param`etre de “hopping” pour le calcul du propagateur du quark l´eger a ´et´e pris `a κ = 0.1334. Les fonctions τ<sub>1/2</sub> et τ<sub>3/2</sub> au point w = 1 obtenues sont repr´esent´ees ci-apr`es : 0 2 4 6 8 10 12

t/a

τ

(1)

7. Comme nous consid´erons des quarks lourds statiques, le groupe de sym´etrie consid´er´e n’est plus le groupe hypercubique H(4) complet mais le produit Oh du groupe O des rotations tri-dimensionnelles avec le groupe des r´eflexions spatiales (sym´etries du cube 3D).

8. L’action HQET utilis´ee pour d´ecrire les quarks lourds fait intervenir des liens de jauge construits `a partir d’un(( blocking hypercubique )) [37]. Le principe de la m´ethode est le suivant : le lien (( hyp´e )) UHYP

µ (x) est un m´elange de liens de jauge appartenant aux hypercubes accroch´es au lien initial consid´er´e.

o`u les points d’interrogation remplacent les erreurs syt´ematiques (volume fini, taille de la maille, masse du quark l´eger,...) non calcul´ees.

Rappelons les r´esultats obtenus par la construction fa¸con Bakamjian-Thomas en utilisant le mod`ele dynamique le plus complet [19, 3] :

τ⁽⁰⁾

1/2(1) ∈ [0.1, 0.23] τ⁽⁰⁾

3/2(1) ∈ [0.43, 0.54]

Le r´esultat sur le r´eseau pour τ_1/2 est plus grand et celui pour τ_3/2 est compatible. D’un autre cˆot´e, la pr´ediction de τ_1/2 est certainement plus fiable que celle de τ_3/2: il suffit de regarder la taille des plateaux sur la figure pr´ec´edente pour s’en convaincre : le signal pour le m´eson D^∗₂ est moins bon que celui du m´eson D₀^∗. N´eanmoins, il ne s’agit que d’une ´etude de faisabilit´e et beaucoup de chose pourraient ˆetre am´elior´ees.

Enfin, remarquons encore que la r`egle de somme d’Uraltsev (3.2) est partiellement satur´ee par les termes fondamentaux calcul´es sur le r´eseau et que, `a moins d’un comportement tout `

a fait anormal des excitations radiales, le puzzle des ´etats P tient toujours.

4.3 Renormalisation de l’op´erateur de d´erivation

Au cours de l’´etude pr´ec´edente, nous n’avons pas vraiment discut´e des probl`emes de re-normalisation des quantit´es introduites. En particulier, dans [35], nous avons calcul´e les ´el´ements de matrice d’un op´erateur de dimension 4 (¯h(v) γiγ5Djh(v)) ; cet op´erateur ne se m´elange pas avec des op´erateurs de dimension 3 pour des raisons de parit´e<sup>9</sup>: il n’y a donc pas de divergence en puissance. Il ne devrait ´egalement pas exister de divergences lo-garithmiques car les courants vectoriels et axiaux en HQET ne pr´esentent pas de dimension anomale `a w = 1. Mais il y a, a priori, des effets de renormalisation finie et c’est ce que nous avons calcul´e dans [38]. Parall`element, nous avons ´egalement voulu savoir si l’utilisation de liens(( hyp´es )) pour le propagateur du quark lourd a une influence sur les pr´edictions faites. Pour ce faire, nous devons renormaliser puis effectuer le matching de ¯h<sup>B</sup>(v) γ<sub>i</sub>γ<sub>5</sub>D<sub>j</sub>h<sup>B</sup>(v), ´ecrit en terme du champ nu de quark lourd sur le r´eseau, dans le continu a → 0 (nous avons calcul´e les corrections radiatives `a une boucle et nous avons choisi le sch´ema de renormalisation MOM). La marche `a suivre est, somme toute, classique :

1^o apr`es avoir rappel´e l’action utilis´ee pour d´ecrire le quark lourd sur le r´eseau dans la limite HQET, nous avons ´etabli les r`egles de Feynman correspondantes. Le caract`ere 9. Les ´el´ements de matrice d’un op´erateur de dimension 3 entre deux ´etats de parit´es oppos´ees, ce qui est le cas ici, sont nuls.

2 nous avons calcul´e la self-energie du quark lourd pour acc´eder au propagateur. 3^o finalement, avec les r´esultats pr´ec´edemment ´etablis, nous avons renormalis´e l’op´

e-rateur de d´erivation (notons que ce dernier met en jeu des liens non (( hyp´es ))). Num´eriquement, nous avons montr´e que les corrections radiatives induisent une augmenta-tion des quantit´es renormalis´ees lorsque les quarks lourds sont d´ecrits par des liens(( hyp´es )) alors que, en l’absence de cette hypoth`ese, les corrections radiatives diminuent les quantit´es renormalis´ees. Une nouvelle estimation des facteurs de forme des ´etats P nous donne alors :

τ⁽⁰⁾ 1/2(1) = 0.41(5)(?) τ⁽⁰⁾ 3/2(1) = 0.57(10)(?) τ⁽⁰⁾ 3/2 2 (1) − τ⁽⁰⁾ 1/2 2 (1) = 0.15(10)(?) La saturation de la r`egle d’Uraltsev est meilleure mais l’augmentation des facteurs τ<sub>1/2</sub> et τ<sub>3/2</sub> rend les pr´edictions des mod`eles `a la Bakamjian-Thomas plus discutables.

Physics Letters B 609 (2005) 298–308

www.elsevier.com/locate/physletb

Lattice measurement of the Isgur–Wise functions τ_1/2 and τ_3/2

D. Be´cirevi´c

, B. Blossier

, Ph. Boucaud

, G. Herdoiza

, J.P. Leroy

, A. Le Yaouanc

,

V. Morénas

, O. Pène

aLaboratoire de Physique Théorique, Bât. 210, Université Paris XI-Sud, Centre d’Orsay, F-91405 Orsay Cedex, France

bDepartment of Physics, University of Wales Swansea, Singleton Park, Swansea SA2 8PP, United Kingdom

cLaboratoire de Physique Corpusculaire, Université Blaise Pascal—CNRS/IN2P3, F-63000 Aubière Cedex, France Received 6 July 2004; received in revised form 17 December 2004; accepted 21 January 2005

Available online 29 January 2005 Editor: G.F. Giudice

Abstract

We propose a method to compute the Isgur–Wise form factors τ_1/2(1) and τ_3/2(1) for the decay of B mesons into orbitally excited (P wave) D∗∗_{charmed mesons on the lattice in the static limit. We also present the result of a quenched exploratory}

numerical simulation which shows that the signal/noise ratio allows for a more dedicated computation.

2005 Elsevier B.V. All rights reserved. PACS: 12.38.Gc; 12.39.Hg; 13.20.He

1. Introduction

The scalar heavy-light mesons and more generally the first orbital excitations D∗∗ _{have attracted attention} since years and they still remain somehow mysterious. The recent discovery of a c¯s-scalar meson significantly

lighter than expected has renewed the interest in these states[1,2]. There have been several lattice studies of this spectrum[3,4]and a recent rather complete one compares quenched and unquenched[5]computations. Recently the H∗

0 → Hπ transition (scalar–pseudoscalar–pion) have also been considered[6,7].

The transitions of the type B→ D∗∗_{lν raise a serious problem. In the infinite mass limit these decays are} described by the Isgur–Wise form factors τ1/2and τ3/2[8]. To make a long story short, a series of sum rules[9–14]

have been derived from QCD, all indicating that τ3/2 should be significantly larger than τ1/2. These sum rules relate the τj form factors, as well as form factors related to excitations, to derivatives of the ground state Isgur– Wise function ξ and allow to bound the latter derivatives in an efficient and useful way[15–17]. Not only does

E-mail address:benoit.blossier@th.u-psud.fr(B. Blossier).

0370-2693/$ – see front matter 2005 Elsevier B.V. All rights reserved. doi:10.1016/j.physletb.2005.01.054

D. Be´cirevi´c et al. / Physics Letters B 609 (2005) 298–308 299

the slope of ξ verify ρ²> 3/4 but also the curvature and even higher derivatives are bound. The limit in which τ_1/2= 0 has been baptised “BPS” by Uraltsev[18,19]and was proven to provide interesting hints.

However, the theoretical prediction that τ_3/2⁽⁰⁾> τ_1/2⁽⁰⁾ and hence that the decay B→ D∗

2 should be significantly larger than the B→ D^∗₀ is not verified by experiment [2,20]. This is the ‘1/2 > 3/2’ paradox [21]. One might incriminate the corrections to the infinite mass limit. Another possibility could be that the sum rules are fulfilled by higher excitations and that the ground state obeys an opposite hierarchy, i.e., τ_3/2⁽⁰⁾< τ_1/2⁽⁰⁾.¹

To answer this question one needs to compute directly τ_3/2⁽⁰⁾ and τ_1/2⁽⁰⁾. Here we propose a lattice method to do that. We will work in the static quark limit, mb,c→ ∞, with the four vectors v= v = (1, 0, 0, 0), and we will

exhibit operators whose matrix elements allow to measure these form factors.

This Letter is meant to propose this new method and to make a feasibility study. We do not intend at this stage to provide accurate results for these form factors but merely to describe the principle of the method and to show with preliminary simulations that there is good hope to make the precision calculation.