Principe g´eom´etrique de la diffraction

Le ph´enom`ene physique

En g´eophysique d’exploration, le cadre le plus utilis´e pour l’´etude de la propagation des ondes dans un milieu h´et´erog`ene est celui du principe de Fermat :“Les rayons joignant deux points suivent des trajets de dur´ee extremum”. Ainsi, la th´eorie des rais et l’optique g´eom´etrique (´etudi´ee au§2.2.2) sont deux formulations ´equivalentes de ce principe [Kravs-tov & Orlov [54] §2.2.6]. Elles donnent des ´equations analytiques pour les rais, les temps de trajet et les amplitudes d’une onde. Cependant, quand le milieu est trop h´et´erog`ene, quand la distance de propagation est trop grande ou quand la fr´equence du signal est trop faible, le principe de Fermat est inad´equat. En optique par exemple, des d´eviations dans la propagation de l’´energie font apparaˆıtre des zones sombres et des zones lumineuses. Ce sont des ph´enom`enes de diffraction. Le but de cette section est de pr´esenter bri`evement le principe de Huygens-Fresnel qui d´ecrit cette th´eorie [Born & Wolf [13] chap 8].

CHAPITRE 1. LE CHAMP DE VITESSE EN SISMIQUE 17 D’apr`es le principe de Huygens, chaque point d’un front d’onde de source O `a un instant t est une nouvelle source qui cr´ee un front d’onde secondaire. Le front d’onde suivant est l’enveloppe de tous ces fronts d’onde secondaires (Fig. 1.9). Fresnel rajoute le postulat que cette enveloppe est le r´esultat d’interf´erences constructrives et destructrives entre les ondes secondaires. Soit O une source d’onde sph´erique monochromatique de longueur d’onde λ. On observe son front d’onde S en t, R ´etant le point o`u le champ propag´e est observ´e (Fig. 1.9). Les contributions au champ en R (des h´et´erog´en´eit´es qui se trouvent surS) d´ependent d’un facteur K, qui d´ecrit la variation (avec la direction) de l’amplitude de l’onde diffract´ee.K est maximale dans la direction initiale de propagation, d´ecroˆıt rapidement quand l’angle de diffraction χ augmente, et s’annule en χ=π/2.

χ

LR

O S

de la source O

Z₃ Z₂ Z ...

R

cercles de centre R espaces de /2λ

heterogeneites

L

L ^_

1

l /2ZF

l/2|

principe de Huygens

Fig. 1.9 – Principe g´eom´etrique de la diffraction, construction des zones de Fresnel, principe de Huygens.

Pour calculer le champ, quand la longueur d’onde est n´egligeable devant les distances de propagationLetLR, la construction en zones de Fresnel est utilis´ee. Ce sont des zones s´epar´ees par des cercles concentriques de centre R et espac´es de λ/2. On suppose alors que K reste constant dans chaque zone (K = 0 dans la derni`ere). Les contributions au champ de chaque zone sont alternativement positives et n´egatives, la premi`ere ´etant la plus constructive. Finalement, on peut montrer que la contribution au champ en R vaut la moiti´e de celle provoqu´ee par la premi`ere zone de Fresnel [Born et Wolf [13] chap 8].

La taille de la premi`ere zone de Fresnel est donc un param`etre jouant un rˆole pr´epond´erant dans la propagation des ondes, car c’est dans celle-ci qu’ont lieu les diffractions majoritai-rement prises en compte. Comme O etR sont tr`es ´eloign´es de l’h´et´erog´en´eit´e, les

dimen-CHAPITRE 1. LE CHAMP DE VITESSE EN SISMIQUE 18 sions de la premi`ere zone de Fresnel peuvent ˆetre calcul´ees de mani`ere simple. Sa taille dans la direction de propagation vaut par d´efinition λ/2. Dans la direction transverse, on la notelZF et on applique Pythagore :

L² = (lZF

2 )²+ (L−λ

4)² . (1.4)

La taille transverse de la premi`ere zone de Fresnel (son diam`etre) vaut donclZF '√ 2λL.

On l’appelle d´esormais la zone de Fresnel et on consid`ere que sa taille est approximati-vement de l’ordre de √

λL. Bien sˆur, si la vitesse est variable, la longueur d’onde l’est aussi le long de la propagation. Toutefois, les effets de courbure des rais qui font varier L tendent `a s’opposer aux effets de variation de longueur d’onde [Failly-Berthet [26] p 39].

En optique g´eom´etrique, la diffraction n’est pas prise en compte car la fr´equence est suppos´ee infinie. Ainsi, la zone de Fresnel est r´eduite `a un point. En fait, l’optique g´eom´etrique s’applique quand les dimensions longitudinales et transverses des zones de Fresnel sont n´egligeables devant les dimensions des h´et´erog´en´eit´es. Ces conditions se notent λ ¿ l_k et √

λL ¿ l_⊥, o`u l<sub>k</sub> et l<sub>⊥</sub> sont les dimensions caract´eristiques des h´et´erog´en´eit´es, respectivement parall`ele et transverse `a la direction de propagation. Ces approximations seront retrouv´ees lors de l’explication th´eorique de l’optique g´eom´etrique au§2.2.2.

La diffraction a donc lieu `a partir de distances de propagation de l’ordre de l²_⊥/λ.

Elle est la cause du ph´enom`ene du ”wavefront healing” : les discontinuit´es d’un front d’onde ont tendance `a s’att´enuer avec le temps [Claerbout [20] §7.3, Wielandt [97]]. Les diffractions lissent le front d’onde car elles se superposent et interf´erent dans la zone de Fresnel. Ce ph´enom`ene est bien connu en imagerie et en sismique car il limite la r´esolution du champ d’onde `a la taille de la zone de Fresnel [Gudmundsson [33], Thore & Juliard [88]]. Remarquons toutefois, que si la couverture du milieu par les ondes est tr`es dense, il est possible de s’affranchir de la zone de Fresnel.

Remarque 1.2.1 Si λ ¿l_⊥, l’angle caract´eristique de la diffraction d’un rayon sur une h´et´erog´en´eit´e est de l’ordre deλ/l_⊥[Chernov [17] p 52]. Rytov et al. [75] (p 191) montrent ce r´esultat en mesurant les sections effectives de diffraction en milieu al´eatoire.

Enfin, l’approximation champ lointain est requise lorsque le champ est observ´e tr`es loin de l’objet diffractant,i.e.que la zone de Fresnel est tr`es grande devant les h´et´erog´en´eit´es :

√λLÀl_⊥ . (1.5)

L’approximation champ lointain est ´equivalente au r´egime de saturation de la diffraction appel´e approximation de Fraunhofer par Chernov [17] (p 45) et Rytov et al. [76] (p 57).

Dans ce r´egime, les discontinuit´es du front d’onde dues aux diffractions lointaines sont compl`etement liss´ees [Wielandt [97], Gudmunsson [33]].

La diffraction en sismique

Lorsque la profondeur croˆıt, la dimension de la zone de Fresnel augmente et les effets de diffraction deviennent plus importants. Pour des donn´ees standard de sismique p´etroli`ere

CHAPITRE 1. LE CHAMP DE VITESSE EN SISMIQUE 19 (fr´equence caract´eristique de 40Hz, vitesse moyenne de 3000m/s, longueur d’onde domi-nante de 50m, profondeurs d’investigation entre 2000m et 5000m), la taille des zones de Fresnel varie entre 300m et 500m.

Plusieurs auteurs ont ´etudi´e les effets de la diffraction et du ”wavefront healing” sur les temps d’arriv´ee sismiques. L’exemple tr`es simple donn´e par Wielandt [97] consiste en une inclusion sph´erique (anomalie rapide de vitesse de dix pour cent) dans un milieu homog`ene. Il montre ainsi que la diffraction des rayons sur l’anomalie provoque des biais dans les temps d’arriv´ee : les ondes se propagent plus vite que ce qui est pr´edit par la th´eorie des rais. Cependant, quand la distance de propagation devient tr`es grande, le temps d’arriv´ee due `a la diffraction n’est plus d´etect´e car le champ d’onde diffract´e a ´et´e compl`etement liss´e (c’est l’approximation de Fraunhofer).

Les traitements g´eophysiques classiques sont bas´es sur la th´eorie des rais. Ils n’in-terpr`etent donc pas correctement les ´ev´enements sismiques provoqu´es par la diffraction : si ceux-ci dominent les ´ev´enements dˆus `a la transmission, les traitements sismiques ne d´etectent pas les faibles anomalies de vitesse de taille inf´erieure `a la zone de Fresnel. Thore

& Juliard [88] le montrent pour les analyses de vitesse de stack. Ils introduisent dans un milieu homog`ene une petite anomalie de vitesse surplombant un r´eflecteur et ´etudient l’anomalie structurale qui en d´ecoule sur les sections stack´ees et migr´ees. D’autre part, Williamson & Worthington [98] simulent la propagation d’onde dans des milieux al´eatoires

`a faibles perturbations, et constatent que la tomographie par trac´e de rais ne permet pas de retrouver les h´et´erog´en´eit´es de taille inf´erieure `a la zone de Fresnel.

Toutes les erreurs faites dans l’estimation des vitesses affectent le processus de la migration si ces perturbations de vitesse ont elles mˆeme perturb´e le champ d’onde et les temps d’arriv´ee. Dans la section suivante, quelques approches concernant les incertitudes de la migration sont pass´ees en revue. Celle qui nous int´eresse plus particuli`erement est bas´ee sur une connaissance de la structure g´eostatistique de la vitesse et permet de quantifier statistiquement les erreurs de migration dues aux anomalies de vitesse.