Principe du calcul

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Une boucle à comparaison de phase (PLL) étant utilisée en synthétiseur de fréquence, le calcul ci-dessous a pour but de décrire l'évolution au cours du temps des divers paramètres intervenant dans la bou-cle : phase, tension de commande et fréquence, lors d'une transition entre deux états stables.

Simulation numérique d'un saut de fréquence

dans un synthétiseur P .L.L.

PHA

Comparateur de phase

Filtre passe-bas

Fig. 1. - Synoptique du synthétiseur.

Principe du calcul

1. Le synthétiseur

Son schéma synoptique est donné à la figure 1.

A l'issue de chaque période du signal de référence de fréquence fR, nous calculons la tension V,k appli-quée au VCO. V,k est fonction du déphasage instantané c/> entre les deux signaux appliqués au compara -teur de phase. c/> sera exprimé en fonction de 0k qui est le décalage temporel entre les fronts actifs de fR et fN. Connaissant V,k, on peut en déduire fNk +, d'où : 0k + ,. Le calcul se fait donc par itération et nécessite l'emploi d'un calculateur électroni-que.

Avant d'aborder le calcul propre-ment dit, étudions le fonctionnepropre-ment du comparateur de phase.

2. Comparateur de phase

Le comparateur de phase utilisé dans cette application est un circuit logique asynchrone à deux entrées fR et fN et deux sorties S et PHA. La sortie PHA sert comme indicateur

N N

d'accrochage ; seule la sortie S nous intéresse ici, les tables de vérité (fig. 2) expliquent son fonctionne-ment.

Nous avons illustré quelques exemples sur le diagramme de la fi-gure 3.

Etat Etat après un antérieur front montant de :

fR

0 H

H H

L 0

Etat

s

H Ve,;

L

v ..

0 ^Haute

impédance

H représente un niveau haut, L représente un niveau bas,

fN

L

0

L

PHA

Vcc Vcc Haute impédance

O représente une mise en haute impédance.

Fig. 2. - Tables de vérité du comparateur de phase.

ELECTRONIQUE APPLICATIONS N° 19 - PAGE 101

V1 étant fonction du temps, Fs est aussi fonction du temps. On a un signal modulé ; c· est pourquoi il est nécessaire que, à ^l'équilibre final, 0k soit nul.

Le signal fN a une période T N va-lant N fois la période de fs :

N

TNk + 1

=

_Kv

_<

_Vfk

_{> +}

_fo ⁽³⁾

Fig. 3. - Exemples de diagramme de temps dans le comparateur.

<

^Vfk

>

étant la valeur moyenne de

V₁ pendant une « période » de ce si-gnal. Le problème est que cette pé-riode vaut TNk si : S

=

Vcc et TR dans le cas contraire. En réalité, 0k

+

1 étant peu différent de 0k, on peut admettre que : T Nk # T R•

3. Le filtre

Il reçoit le signal S et fournit une tension V1 appliquée au VCO. Ce fil -tre est naturellement passe-bas, mais un simple circuit RC n'est pas satisfaisant. En effet, l'étude de la boucle comme un asservissement montre qu'il s'agit d'un système du deuxième ordre régi par l'équation caractéristique :

1

+

^{H(s) G(s)}

=

^S2

+

2 ~WnS

+

^Wn2

=

^Ü

Avec un filtre RC, l' amortisse-ment ~ est bien trop faible ; par contre, en ajoutant une résistance R2 en sene avec le condensateur, on peut aboutir à l'amortissement criti-que (fig. 4).

Il est à ^{noter qu'}un tel filtre donne un système du premier type, ce qui signifierait une erreur de phase cons-tante si l'on construisait un système suivant une fréquence de référence variable. Comme ici, fR est constant, ce type de filtre donne toute satis-faction.

Il faut aussi remarquer que, si le VCO présente une résistance d'en-trée (en continu), le système aurait une erreur du 1 °' ordre. Dans ce cas, en régime établi, il y aurait des im-pulsions présentes à l'entrée du VCO avec le désastre qu'il en résulterait au niveau de la pureté spectrale du signal de sortie.

4. Calcul

La figure 5 explicite le signal V, à la sortie du filtre dans le cas où : S

=

Vcc quand il est actif.

Pendant l'impulsion de largeur 10J, Vcc (ou

v •• )

est appliqué au filtre.

Le condensateur se charge (ou se décharge) à travers R, et R₂• Son potentiel va évoluer de la valeur ini-tiale Vck +₁, à la valeur finale Vck•

Vck

=

S - ( $ - Vck + 1 • e ( 1)

Après l'impulsion, cette tension est présente en sortie du filtre. Par contre, pendant l'impulsion, on a en sortie du filtre une tension :

Vsk =

S-T1 - T1 + T2 )

- - , - - - • e

T1

+

Tz

avec O < t < l0kl

-Le VCO délivre un signal de fré-quence proportionnelle à V, :

fs

=

^{Kv · V,}

+

^fo.

Fig. 4. - Filtre passe-bas.

De plus, pour que le filtre passe-bas soit efficace, il faut que : T, et Tz

»

^Tc. On peut donc faire des ap-proximations (développement de l'exponentielle en série) ; les équa-tions ( 1) et (2) dans (3) donnent avec les approximations évoquées ci-dessus :

TNk + 1

=

avec : S

=

^{V c}c ou V••·

Nous calculons ensuite le déca-lage qu'il en résulte entre fR et fN à la période k

+

^{1 .}

k + 1

0k + 1

=

^(k'

+

^{1) TR - -}

L

i=1

TN; ;

1 1

TNk+l 1

---~ ''-"--''-- -

---,- --- u--- --- -- u-

----1 1

1 8k 1

1---1

: : ._ j ~ ^l'•

Fig. 5. - Symboles utilisés dans le diagramme de temps.

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Entrée des données

oui

Calcul fk+1

Sortie de résultats

oui

Fig. 6. - Organigramme du calcul.

f (MHz)

10 20 30 40 t (ms)

Fig. 7. - Courbes théoriques pour f passant de 130 à 131 MHz.

k'

=

^k

+

m, m entier tel que l0k +

,1

< TR.

0k + 1 a une valeur algébrique. Selon son signe, S vaut V ^cc ou V .. pendant l'existence de l'impulsion.

Il est certainement possible de calculer analytiquement le nombre k pour que

I

fk - hl soit inférieur à une valeur donnée. Pour notre part, nous avons effectué ce travail sur une cal-culatrice programmable.

La figure 6 donne l' organi-gramme du calcul.

Résultats

1. Résultats théoriques

Avec cette méthode, nous avons tracé la réponse d'un synthétiseur VHF avec les paramètres suivants : fR

=

^{5 kHz}

fo

=

^{90,4 MHz}

K. =

8, 1 MHz/V

T1

=

^{39,6 ms}

T2

=

^{7,26 ms}

La figure 7 donne le tracé de f et

0

pour un saut de fréquence de 1 MHz entre 130 et 131 MHz. La fréquence finale est atteinte à 5 %0 en 30 ms.

La figure 8 indique les mêmes tracés, cette fois-ci pour un saut de 20,4 MHz entre 139,4 et 118 MHz ; l'équilibre à 5 % est atteint en 55 ms.

La variation de fréquence étant dans ce cas assez importante, le dé-phasage (2

7TI 0 j)

/T R passe plusieurs fois par sa valeur max 21r, ce qui revient à zéro. Quand

0

^retombe à zéro, l'impulsion correspondante est nulle et

<

^V,

>

subit un saut brus-que, de même fk.

Ce phénomène est équivalent aux

« pseudo battements » obtenus avec un PLL comportant un comparateur de phase analogique.

2. Comparaison avec l'expérience La figure 9 montre l'évolution de la tension en sortie du filtre lors d'un passage de 139,4 MHz à 118 MHz sur un synthétiseur dont les paramè-tres sont à peu près les mêmes que ceux donnés en 1 (en réalité, K.

n'est pas constant sur la bande).

On constate une similitude très grande avec la courbe théorique.

L'épaississement du signal est dû aux impulsions (V"" - VCk). Quant aux arrondis, ils sont dus à un fil-trage supplémentaire existant à l'entrée du VCO.

ELECTRONIQUE APPLICATIONS N• 19-PAGE 103

-

'~-

'-13 5

13 0

'

12 5

12 0 18

r;ï e

0,5

0 zl

"

"'

^',.

'

----\ ' ^\

^h

^\"

\ \

~

~

----

---

^~

10 20 30 40 50

1 i I ^J I / V'\

' I / f\

10 20 30 40

~

50

60 70 ^t(ms)

v u 70 t (ms)

-Echelle horizontale 10ms par division

Fig. 9. - Evolution de v, lors d'un passage de 139,4 à 118 MHz.

Echelle horizontale: 10 ms par division

Conclusion

Nous avons établi une méthode de calcul permettant de simuler un synthétiseur de phase, bâti avec un PLL, lors des changements de fré-quence.

La méthode donne des résultats parfaitement cohérents avec I' expé-rience, que ce soit du point de vue descriptif, que ce soit du point de vue temps d'établissement.

Le calcul peut être étendu à la procédure d'accrochage lors de la mise en fonctionnement. En effet, la phase de départ est inconnue contrairement à ce qui se passe ici.

Fig. 8. - Courbes théoriques de ~R et f pour un passage de 139,4 à 118 MHz.

J.-C. Caerou Laboratoire d' Electromagnétisme E.N.S.E.R.G. - Grenoble

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