Principaux résultats de la thèse - Local regularity of some fractional Brownian fields

Les sujets abordés dans cette thèse succèdent aux travaux communs d’Erick Herbin et Ely Merzbach

sur le mouvement brownien fractionnaire set-indexed[60,61,62]. Nous poursuivons ce travail

et donnons un sens à une extension de ce processus dont le paramètre de Hurst est autorisé

à varier le long des trajectoires, de la même manière que des extensions multifractionnaires

avaient été construites pour les mouvements browniens fractionnaires multiparamètres. Pour

cela, le Chapitre2se propose de construire les objets permettant de mesurer la régularité locale

des processus set-indexed, qui permettront par la suite de travailler sur des processus set-indexed

dont la régularité hölderienne locale varie. Ce chapitre a été écrit en collaboration avec Erick

Herbin et fait l’objet d’une pré-publication[64]. Dans le Chapitre3, nous abordons la

construc-tion d’un champ brownien fracconstruc-tionnaire représenté sur les espaces de Wiener et étudions ses

propriétés de régularité, à l’aide des résultats du chapitre précédent. Ce chapitre fait l’objet de

la pré-publication [121]. Le Chapitre4 est un recueil de propriétés diverses liées au champ

brownien fractionnaire surL

, dont une propriété de non-déterminisme local apparaissant dans

[121]. Enfin, nous établissons dans le Chapitre 5une loi du logarithme itéré de Chung pour

le mouvement brownien fractionnaire multiparamètre de covariance (1.5), grâce notamment

à des techniques d’analyse sur les espaces de Wiener. Ces résultats font l’objet d’une dernière

pré-publication,[120].

Dans la terminologie d’Ivanoff et Merzbach (Définition1.1), on rappelle que(A

)

_n_∈_N

est

une suite de sous-ensembles finis deA, et on notek

le cardinal deA

(k

=#A

). Dans ce

cadre abstrait, la formulation des hypothèses minimales est souvent tout aussi importante que

la démonstration des résultats eux-mêmes. L’hypothèse introduite au Chapitre 2et que nous

retiendrons pour l’étude des processus set-indexed est la suivante:

Hypothèse(H

). Soit d

une (pseudo-)distance surA. Supposons que pourA = (A

)

_n_∈_N

, il

existe des nombres positifs strictement q

et M

₁

tels que:

1. pour tout n∈N,

sup

U∈An

d

(U,g

(U))≤M

₁

k

⁻_n¹^/^q^A

, (H1)

2. la collection(A

)

_n_∈_N

est minimale au sens où: si pour tout n∈Net tout U∈ A

, on note

V

(U) ={V ∈ A

:V )U,d

(U,V)≤3M

₁

k

⁻¹^/^qA

},

alors la suite(N

)

_n_≥₁

définie par N

=max

_U_∈A_n

#V

(U)pour tout n≥1vérifie:

∀δ >0,

∞

X

n=1

k

⁻_n^δ

N

<∞. (H2)

Les hypothèses(H1)et(H2)sont expliquées et discutées en détails dans le Chapitre2. On

retiendra notamment que lorsque les processus sont gaussiens, l’hypothèse(H2)n’est plus

néces-saire. Le premier théorème obtenu étend le critère de continuité de Kolmogorov:

Théorème(2.9). Soit d

une (pseudo-)distance sur la classe d’indexationA, dont les sous-classes

A = (A

)

_n_∈_N

satisfont l’hypothèse (H

) pour l’exposant de discrétisation q

> 0. Soit X =

{X

;U∈ A }un processus set-indexed tel que:

30 1. I

NTRODUCTION

où K, α et β sont des constantes strictement positives. Alors les trajectoires de X sont presque

surement localementγ-Hölder continues pour toutγ∈(0,

^β_α

), c’est-à-dire qu’il existe une variable

aléatoire h

^∗

et une constante L>0telles que presque surement:

∀U,V ∈ A, d

(U,V)<h

^∗

⇒ |X

−X

| ≤L d

(U,V)

^γ

.

Ainsi, un processus vérifiant ces hypothèses appartient presque surement à l’espace des fonctions

Hölder continues d’ordreγpour les accroissements simples, c’est-à-dire de la formeX

−X

.

Nous présenterons par la suite des résultats sur la régularité par rapport aux accroissements sur

C définis au Paragraphe1.1.1. Avant cela, le prochain théorème raffine le critère de Kolmogorov

pour fournir une valeur presque sure aux exposants de Hölder pour les processus gaussiens.

On rappelle que les exposants déterministes ponctuelα

et localeα

sont définis sur un espace

métrique quelconque dans la Section1.4.3, et le sont donc bien sur(A,d

).

Théorème (2.35). Soit X = {X

;U∈ A }un processus gaussien set-indexed, avec(A

)

_n_∈_N

et

d

vérifiant l’hypothèse(H1)de (H

). Supposons ques les fonctions U

₀

7→lim inf

_U_→_U₀

˜α

(U)et

U

₀

7→lim inf

_U_→_U₀

α

(U)soient strictement positives surA. Alors avec probabilité1,

∀U

₀

∈ A, lim inf

U→U0

e

α

(U)≤αe

(U

₀

)≤lim sup

U→U₀

eα

(U)

et

∀U

₀

∈ A, lim inf

U→U₀

α

(U)≤α

(U

₀

).

Nous avons déjà mentionné dans cette introduction l’importance desC-accroissements pour

les processus multiparamètres et set-indexed. Sans rajouter d’hypothèses, la régularité surC

s’avére rapidement plus compliquée que surA: considérons par exemple le mouvement

brown-ien indexé par les rectangles (attachés en 0) deR

²₊

, puisque celui-ci a de bonnes propriétés de

régularité, alors que sur la classeC associée on peut montrer qu’il est presque surement

non-borné (voir l’exemple similaire du mouvement brownien indicé par les lower layers de[0, 1]

dans[5, p.28]). Nous avons donc restreint la classeC aux accroissements du typeU\∪

k=1

U

où

Lest un entier fixé. On montre alors que les exposants de Hölder définis sur les accroissements

deC

ne dépendent pas du choix de L, raison pour laquelle on les noteα

X,C

etαe

X,C

.

Corollaire (2.36). Soit X = {X

, U ∈ A }un processus gaussien set-indexed. Si les (A

)

_n_∈_N

vérifient l’hypothèse (H

) et si les exposantsC-Hölder déterministes sont finis, alors pour tout

U

₀

∈ A,

α

X,C

(U

₀

) =sup





^α^{: lim sup}

ρ→0

sup

U,V∈B_d_A(U0,ρ) V⊂U

E |∆X

_U_\_V

|

ρ

<∞





 ^p.s.^,

e

α

X,C

(U

₀

) =sup





^α^{: lim sup}

ρ→0

sup

U,V∈B_d_A(U₀,ρ) V⊂U

E |∆X

_U_\_V

|

d

(U,V)

<∞





 ^p.s.

Enfin, les résultats de ce chapitre sont appliqués au mouvement brownien fractionnaire

set-indexed. Tous les exposants sont égaux p.s. au paramètre de HurstH, et sous une hypothèse

supplémentaire assez faible, l’exposant ponctuel est même uniformément égal àH.

Théorème(2.38). SoitB

un mouvement brownien fractionnaire set-indexed sur(T,A,m), H∈

(0, 1/2]. Supposons que les sous-classes(A

)

_n_∈_N

satisfont l’hypothèse(H1)de (H

). Alors les

exposants de Hölder local et ponctuel deB

, définis par rapport à la distance d

, vérifient en tout

point U

₀

∈ A:

P ∀U

₀

∈ A, αe

(U

₀

) =H

=1

et si la condition supplémentaire (2.22) est vérifiée,

P(∀U

₀

∈ A, α

(U

₀

) =H) =1 .

En particulier, on a pour le fBm multiparamètre, défini par la covariance (1.5) sur les rectangles de

[0, 1]

, queP ∀t

₀

∈[0, 1]

, α

(t

₀

) =αe

(t

₀

) =H

=1.

Le Chapitre3prolonge le travail du Chapitre2, au sens où y est construit un processus

mul-tifractionnaire auquel le Théorème2.38s’applique, à la différence que le paramètre de Hurst est

désormais variable. Les champs browniens fractionnaires que nous construisons seront indicés

par des espaceL

(T,m), et par restriction pourront être vus comme des processus set-indexed.

Donnons en premier lieu une construction du champ brownien fractionnaire sur[0, 1]. SiW

est la mesure de Wiener sur l’espace des fonctions continues issues de 0, notéW, le Théorème

3.3 donne l’existence d’un opérateurK

agissant sur l’espace de Hilbert H

(celui de la

con-struction de l’espace de Wiener du mouvement brownien fractionnaire, Section1.3.3) versW

^∗

permettant d’écrire que sur l’espace de probabilité (Ω,F,P), l’expression suivante définie un

champ brownien fractionnaire sur(0, 1)×[0, 1]:

∀(h,t)∈(0, 1)×[0, 1], B

_h_,_t

=

Z

〈K

R

(·,t),w〉dB

,

oùBest un bruit blanc surW de mesure de contrôleW (voir la Définition (1.1)). De plus,K

est construit de sorte que pour h∈(0, 1)fixé, {B

h,t

, t ∈[0, 1]}est un mouvement brownien

fractionnaire. Ainsi,Best bien un champ brownien fractionnaire au sens de la Définition1.5.

Soit maintenant{k

(·,·),h∈(0, 1/2]}la famille de covariance surL

(T,m)définie par (1.4),

avec pour chaqueh, un espace de Hilbert à noyau reproduisant H(k

)auquel est associé un

espace de Wiener(H(k

),E

,µ

)par le procédé décrit dans le Paragraphe1.3.2. Pour chaque

h∈(0, 1/2], les espaces de Wiener(H

,W,W

)et(H(k

),E

,µ

)sont reliés par une isométrie

linéaire. On en déduit au Paragraphe3.2.2l’existence d’un opérateur ˜K

défini surH(k

)et à

valeurs dansE

₁^∗_/₂

, tel que le processus défini par:

∀(h,f)∈(0, 1/2]×L

(T,m), B

h,f

=

Z

〈K˜

k

(·,f),x〉dW(x),

est un champ brownien fractionnaire. Il est ensuite prouvé que ce processus a des accroissements

dont la loi vérifie le théorème suivant:

Théorème (3.15). SoitB un champ brownien fractionnaire sur(0, 1/2]×L

(T,m). Pour tout

η∈(0, 1/4)et tout compact D de L

, il existe une constante C

_η_,_D

>0telle que pour tous f

₁

,f

₂

∈D,

et tous h

₁

,h

₂

∈[η, 1/2−η],

E (B

_h 1,f1

−B

_h 2,f2

)

≤C

_η_,_D

(h

₂

−h

₁

)

+m (f

₁

−f

₂

)

2(h₁∧h₂)

.

32 1. I

NTRODUCTION

De la même manière, nous montrons comment ce type de résultat s’applique à des

fonction-nelles de certains champs browniens fractionnaires apparaissant comme solutions d’équations

aux dérivées partielles stochastiques. Dans la Section3.3.2, nous considérons le problème

ellip-tique suivant, sur un domaineU⊂[0, 1]

:

∆u=W^˙

^h1,h₂

,

où ˙W

^h1,h2

est un bruit gaussien fractionnaire sur[0, 1]

qu’on peut “extraire” (avant plus de

pré-cisions dans le paragraphe concerné) d’un seul et même champ brownien fractionnaire. Les

so-lutions de cette équation sont définies au sensmild, et la régularité des lois quand les paramètres

h

₁

eth

₂

varient dans(0, 1/2]est prouvée, et similaire à celle trouvée au théorème précédent.

Ces théorèmes sont particulièrement importants du point de vue de la régularité des

trajec-toires, comme nous pouvons le constater avec la proposition suivante. Pour cela, rappelons la

distance naturelle surL

(T,m),d

(f,g) =m (f −g)

1/2

.

Théorème(3.19). SoitBun champ brownien fractionnaire indicé par un sous-ensemble compact I

de(0, 1/2], et K un sous-ensemble compact de L

(T,m)de d

-diamètre plus petit que1. Définissons

ι=infI . Si l’intégrale de Dudley suivante converge:

Z

1 0

Æ

logN(K,d

,ǫ

1/2ι

)dǫ <∞,

alorsBindicé par I×K admet une modification ayant des trajectoires presque surement continues.

Considérons désormais la collection set-indexedA définie sur l’espace mesurable(T,m), et

le champ brownien fractionnaire précédent défini sur(0, 1/2]×L

(T,m). Soithune fonction

indicé par A et à valeurs dans(0, 1/2], dont on suppose qu’elle vérifie en tout pointU ∈ A

que sa valeur enUest plus faible que sa régularité hölderienne en ce point. Une telle fonction

est dite régulière. Lemouvement brownien multifractionnaire set-indexed(SImBm) de fonction

de régularitéh, noté{B

, U∈ A }, est défini comme suit:

∀U∈ A, B

=B

_h₍

U),1_U

.

Le membre de droite est donc le champ brownien fractionnaire initial évalué en(h,f) = (h(U),1

),

où1

est l’indicatrice deU∈ A qui appartient donc bien àL

(T,m). Ce processus

multifrac-tionnaire vérifie la propriété de régularité suivante:

Proposition(3.25). SoitA une collection set-indexed vérifiant l’hypothèse(H1)de (H

). Soit

h:A →(0, 1/2]une fonction régulière etB

un SImBm surA de fonction de régularitéh. Alors,

presque surement,

∀U

₀

∈ A, αe

_Bh

(U

₀

) =h

et α

_Bh

(U

₀

)≥h

.

Nous avons donc construit un mouvement brownien multifractionnaire indicé par des

ensem-bles, dont la régularité peut être prescrite par une fonctionh, au même titre qu’un mouvement

brownien multifractionnaire surR.

Le Chapitre4est composé de plusieurs résultats indépendants concernant leL

-mouvement

brownien fractionnaire (hfixé) d’une part, et des résultats d’approximation duL

-mouvement

brownien multifractionnaire par des L

-mouvements browniens fractionnaires d’autre part. On

y trouvera également une propriété d’auto-similarité locale du champ brownien fractionnaire.

Dans un premier temps, deux propriétés de stationarité des accroissements et deux propriétés

d’auto-similarité sont discutées. Deux couples stationarité des accroissements–auto-similarité

sont formés, le premier étant similaire à la définition multiparamètre, tandis que le deuxième

tient compte de la mesuremet permet de poursuivre la discussion entamée dans le cadre

set-indexed[62]. Pour chacun de ces couples, un théorème de caractérisation duL

-mouvement

brownien fractionnaire est exprimé (Propositions4.1et4.3).

Dans une deuxième partie, il est prouvé que pour touth∈(0, 1/2), leL

-mouvement

brown-ien fractionnaire estlocalement non-déterministe, au sens où:

Proposition(4.4). Pour h∈(0, 1/2), il existe une constante strictement positive C

₀

telle que pour

tout f ∈L

(T,m)et pour tout r≤ kfk, nous avons l’égalité suivante:

Var

B

|B

,kf −gk ≥r

=C

₀

r

²^h

.

Cette propriété est fausse pour h = 1/2, ce qui est discuté dans la Partie4.2. La propriété

de non-déterminisme local est un outils précieux pour l’étude des trajectoires des processus ne

possédant pas la propriété de Markov. Elle permet notamment d’obtenir les probabilités de

petites déviations pour les processus gaussiens.

Théorème(4.6). SoitB

un L

-mouvement brownien fractionnaire de paramètre h∈(0, 1/2)et

K un compact de L

(T,m). Soit d

la distance induite parB

sur L

. Supposons qu’il existe une

fonctionψtelle queψ(ǫ)≍ψ(ǫ/2)au voisinage de0, et que l’entropie vérifie N(K,d

,ǫ)≤ψ(ǫ)

pour toutε >0. Alors il existe deux constantesκ

₁

,κ

₂

>0telles que:

exp(−κ

₂

ψ(ǫ))≤P

sup

f∈K

|B

^h f

| ≤ǫ

≤exp(−κ

₁

N(K,d

,ǫ)) .

Ce résultat est un premier pas vers la loi du logarithme itéré qui sera présentée par la suite.

Enfin, nous exposons des résultats d’approximation duL

-mBm par desL

-fBm. Comme dans le

cadre set-indexed, le L

-mBm est défini pour une fonction de régularitéh:L

(T,m)→(0, 1/2]

par:

B

=B

(f),f

, f ∈L

(T,m).

Le premier résultat consiste à reconstituer unL

-mouvement brownien multifractionnaire à

par-tir d’un processus qui est unL

-mouvement brownien fractionnaire par morceaux (voir Théorème

4.8). Le deuxième résultat d’approximation concerne les processus tangents duL

-mouvement

brownien multifractionnaire. Cette notion fut introduite par FALCONER[47], et nous montrons

que pour B un champ brownien fractionnaire et h une fonction de L

(T,m) à valeurs dans

(0, 1/2], le processus défini en tout point f

₀

∈L

(T,m)et toutρ >0 par:

Y

^f0,α f

(̺) =̺

⁻^α

B

^h f0+̺f

−B

^h f0

, f ∈L

(T,m)

converge lorsque̺→0 vers unL

-mouvement brownien fractionnaire.

Théorème(4.10). Soit K un compact de L

(T,m). Supposons quehest régulière et à valeurs dans

[η, 1/2−η]pour un certainη∈(0, 1/4). Soitι=inf

h(f) (≥η)et supposons la convergence de

l’intégrale de Dudley sur K:

Z

D(K)

Æ

logN(K,d

,ǫ

1/2ι

)dǫ <∞.

Alors, pourα=2h(f

₀

), Y

^f0,α

(̺)converge en loi dans l’espace des fonctions continues C(K)lorsque

̺→0, et la limite est un L

-mouvement brownien fractionnaire de paramètreh(f

₀

).

34 1. I

NTRODUCTION

Le Chapitre5tente de répondre à une question laissée ouverte par HERBIN ANDXIAO[65]sur

le comportement du mouvement brownien fractionnaire multiparamètre en 0 (dont on rappelle

que la covariancek

_h⁽^ν⁾

est donnée par (1.5)). Les modules de continuité locaux de ce processus

sont non triviaux, ce dont on pouvait se douter en observant la distance induite par le processus.

En effet, celle-ci est liée à la distanced

_λ

(s,t) =λ([0,s]△[0,t])oùλest la mesure de Lebesgue

surR

^ν

, qui est singulière par rapport à la distance euclidienne siν≥2. Cette singularité affecte

la régularité du fBm multiparamètre: en effet, il est montré que la loi du logarithme itéré de

Chung en 0 est différente de celle pour tous les autres points loin des axes.

Grâce au théorème4.6, on calcule les petites déviations du fBm multiparamètre. Ce résultat

et un théorème de représentation spectrale (Proposition5.8) permettent de calculer une loi du

logarithme itéré de type Chung en 0, sous la forme d’une borne inférieure donnée par le module

Ψ

_h⁽^ℓ⁾

(r) =r

^ν^h

_Ψe

(ℓ)

(r) =r

^ν^h

(log logr

⁻¹

)

⁻^h^/ν

,

et d’une borne supérieure avec pour module:Ψ

_h⁽^u⁾

=r

^νh

_Ψe

(u)

, où_Ψe

(u)

est une fonction croissante

partant de 0 dont on prouve l’existence, sans obtenir d’écriture explicite. Dans les deux cas,_Ψe

(ℓ)

et_Ψe

(u)

sont négligeables par rapport au terme r

^νh

. Le supremum du fBm multiparamètre au

voisinage de 0 sera notéM

(r) =sup

_t_∈_[_0,_r_]ν

|B

|, r∈[0, 1]. On a alors:

Théorème(5.1). Soit h∈(0, 1/2)et soit M

,Ψ

_h⁽^ℓ⁾

etΨ

_h⁽^u⁾

comme définis précédemment. Alors,

presque surement:

lim inf

r→0+

M

(r)

r

νh

_Ψe

(ℓ) h

(r)≥κ

^h₁^/ν

et lim inf

r→0+

M

(r)

r

νh

_Ψe

(u) h

(r)≤κ

^h₂^/ν

,

oùκ

₁

≤κ

₂

sont les constantes apparaissant dans les petites déviations du L

-fBm.

Comme dans l’article de MONRAD ETROOTZÉN[106], ce théorème est étendu sous forme de

loi fonctionelle, qui donne un principe d’invariance pour le fBm multiparamètre correctement

renormalisé. Pour toutr∈(0, 1), on définit comme dans le théorème précédent deux

renormal-isations:

η

⁽h,ℓ) r

(t) = ^B

(r t)

r

νh

p

log log(r

−1

)^,∀t∈[0, 1]

^ν

et

η

(h,u) r

(t) = ^B

(r t)

r

νh

e

Ψ

_h⁽^u⁾

(r)

₋ν/2h

,∀t∈[0, 1]

.

On obtient alors la vitesse de convergence ainsi que l’ensemble vers lequel convergent les

pro-cessusη

⁽h,u)

etη

⁽h,ℓ)

.

Théorème(5.2). Soit h∈(0, 1/2)et H

l’espace de Hilbert à noyau reproduisant de k

⁽_h^ν⁾

. Soit

ϕ ∈H

ayant une norme strictement inférieure à1. Alors, il existe deux constantes strictement

positives et finiesγ

(ℓ)

(ϕ)etγ

(u)

(ϕ)telles que, presque surement,

lim inf

r→0+

_Ψe

(ℓ) h

(r)

⁻¹⁻^ν/²^h

sup

t∈[0,1]ν

|η

⁽_r^h^,^ℓ⁾

(t)−ϕ(t)| ≥γ

⁽^ℓ⁾

(ϕ)

lim inf

r→0+

_Ψe

(u) h

(r)

⁻¹⁻^ν/²^h

sup

t∈[0,1]ν

|η

⁽_r^h^,^u⁾

(t)−ϕ(t)| ≤γ

⁽^u⁾

(ϕ).

Notons que lorsqueϕ=0, on retrouve le théorème précédent.

La dimension de Hausdorff de l’image du fBm multiparamètre ne capture quant à elle pas

l’irrégularité de ce processus en 0, comme l’indique la Proposition 5.17. En revanche, tout

comme la fonction chirp (Exemple 1.15), la singularité du fBm multiparamètre se manifeste

aussi au niveau de la régularité hölderienne locale (Remarque5.18). Pour conclure, il semble

envisageable que pour les processus gaussiens en général, il existe un lien entre le module de

continuité local de Chung et un nouvel exposant de Hölder local. Ceci est discuté à la fin du

Chapitre5.

processes

2

2.1 Introduction . . . . 37

Dans le document Local regularity of some fractional Brownian fields (Page 39-47)