Preuve du Théorème 3.3

et du théorèmed'équivalen e de Lévy.

Par ailleurs, dansle asoù

θ_k > 0

ssi

k = m

,on a :

(α,γ)_W(∞)[N_t6= m] = W(0,0)[e^γLt1_N

t6=m] →

t→∞0

e qui donne une preuve rapide du fait quel'ex ursion non bornée de

(A_s)_s≥0

sesitue presque sûrement surlademi-droite d'indi e

m

3.4.4 Cas où

γ = 0

α_m ≤ 0

pour tout

m ∈ E

Ce asest leplus simple de tous :

(α,0)_W(∞)

est exa tement la loi d'une araignée brownienne, puisque

Ms^(α,0)

est onstante etégaleà 1.

A présent,nousvenons d'a heverla preuve du Théorème3.2 danstousles aspossibles.

Remarque : Le Théorème 3.2 indique diérents omportements possibles pour le pro essus limite, selon lesvaleursdesréels

α_m

(

m∈ E

) et

γ

Cette distin tion de as généralise elle queB. Roynette, P. Vallois et M. Yor obtiennent dans [RVY05℄ lors de l'étude des pénalisations exponentielles du mouvement brownien. Une distin -tionde asdumêmetypeapparaîtégalementdanslesrésultatsprouvésparY.HariyaetM.Yor dans [HY04℄.

Par ailleurs, il pourrait être intéressant d'étudier d'autres pénalisations de l'araignée browni-enne, liées par exemple aux temps passés par l'araignée dans les diérentes bran hes, dont la loi jointe,sur un intervalle detemps xe, est dé ritepar M. Barlow, J.Pitman et M. Yor (voir [BPY89b ℄).

3.5 Preuve du Théorème 3.3

Soit

ν

une mesurede probabilitévériant les onditions del'énon é duThéorème 3.3.

La famille des variable aléatoires

(g(s, X_s, N_s))_s≥0

est une martingale sous

W_(0,0)

, e qui im-plique lesrésultats suivants, ompte tenudu semi-groupe del'araignée brownienne :

- Pour tous

x∈ R∗

+

s≥ 0

m∈ E

∂g

∂s(s, x, m) + ¹₂_∂x^∂²^g2(s, x, m) = 0

. - Pour tout

s≥ 0

P

m∈E

µ_m^∂g_∂x(s, 0, m) = 0

La première égalité donne:

h^′(s)f_m(x) + ¹

Comme

h(s)

est non nulpourtout

s

,on en déduit:

f_m^′′(x) =−^2h_h(s)^′^(s)f_m(x)

equi impliqueque

C = ^h_h(s)^′^(s)

nedépend pasde

s

Si on suppose

C > 0

f_m^′′(x)

est négatif pour tout

x

, et

f_m^′

est dé roissante. Comme

f_m

est une fon tion positive, lalimite de

f′

m(x)

quand

x

tendversl'inni est positive, et

f_m

est rois-sante:pour tout

x

f_m(x)≥ fm(0) = 1

Onen déduitque

f_m^′′(x) =−2Cfm(x)≤ −2C

, equi est ontradi toireave lapositivitéde

f_m

. Sionsuppose

C = 0

,touteslesfon tions

f_m

(

m∈ E

)sont anesetpositives:

f_m(x) = 1 + λ_mx

où

λ_m≥ 0

Or, pour tout

s≥ 0

P

m∈E

µ_m^∂g_∂x(s, 0, m) = 0

, e qui implique

P

m∈E

λ_mµ_m = 0

, d'où

λ_m = 0

pour tout

m

Lamesure

ν

estalors égale à

W_(0,0)

, e quiest ex ludansl'hypothèse du Théorème 3.3. Nousvenonsdon de prouverque

C

eststri tement négatif,notons le

−β2/2

,ave

β > 0

. Comme

h(0) = 1

(puisque

f0(0) = 1

),ona

h(s) = e^−sβ²^/2

ommeannon é,et

f_m^′′(x) = β²fm(x)

. Onendéduit qu'il existe

δ_m

λ_m∈ R

tels que:

f_m(x) = δ_mexp(−βx) + λmsinh(βx)

pour tout

x≥ 0

; omme

f_m(0) = 1

δ_m = 1

pour tout

m

Par ailleurs,

f_m(x)≥ 0

pour tout

x≥ 0

,don

λ_m≥ 0

pour tout

m

. Deplus,ondoitavoir,pourtout

s≥ 0

P

m∈E

µ_m^∂g_∂x(s, 0, m) = 0

, equiimplique

P

m∈E

µ_mf_m^′ (0) = 0

, soit

P

m∈E

µ_m(1− λm) = 0

P

m∈E

µ_mλ_m= 1

Onen déduit que

ν

estune moyenne pondérée des mesures

(α(m),0)_W(∞)

,la pondération étant

µ_mλ_m

, e quia hève lapreuve duThéorème 3.3.

Les pro essus asso iés aux mesures vériant l'énon é du Théorème 3.3 peuvent être onsidérés ommedesgénéralisationsdu mouvement brownien ave drift.

Penalizations of the Brownian motion

by a fun tional of its lo al times

Introdu tion

Brownian penalizations have been studied in several arti les, in parti ular by B. Roynette, P. Vallois and M. Yor (see [RVY03℄, [RVY06a℄, [RVY05℄). The general prin iple of these penaliza-tionsisthefollowing:let

W

betheWienermeasureon

C(R+, R)

(X_t)_t≥0

the anoni alpro ess, and

(Γ_t)_t≥0

a family of positive weights su h that

0 < W[Γ_t] < ∞

; we onsider the family of probability measures

(W_t)_t≥0

,obtained from

W

, bypenalization withtheweight

Γ

W_t= ^Γ^t

W[Γ_t]^.W

Inmanydierent parti ular ases, thefamily

(W_t)_t≥0

tendsto alimit measure

W∞

t→ ∞

, inthefollowingsense :forall

s≥ 0

,andfor

Λ_s

measurable withrespe tto

Fs= σ{Xu, u≤ s}

W_t(Λ_s) →

t→∞

W∞(Λ_s)

Upto now, theredoesnot exista general theoremwhi h oversall thedierent ases for whi h onvergen e holds. Ontheotherhand, weremark thatinmany ofthese ases,one has:

Γ_t= F ((l^y_t(X))_y∈R)

where

(l^y_t(X))_y∈R

is thefamily of the lo altimes of

(X_s)_s≤t

, and

F

isa measurable fun tional from

C(R, R+)

R₊

These two fa ts led us to prove that if

Γ

is of this form, the limit measure

W∞

exists for a large lass offun tionals

F

Thisproofis the maintopi of ourarti le, whi his dividedinto sixse tions.

Inthe rst one,we dene and explain the notationswe need to prove our main theorem, whi h isstated at the endof the se tion.

InSe tion 4.2, we prove an equalitysatised byanapproximation of agiven fun tionalof lo al times,and inSe tion 4.3, we majorize the error term orrespondingto this approximation.

alswhi hsatisfysomeparti ular onditions,andnallyweprovethemaintheoreminSe tion4.5.

In Se tion 4.6, we studythefour following examples, forwhi h this theoremapplies:

F ((ly)_y∈R) = φ(l0)

(whi h orresponds to

Γ_t= φ(l0

t(X))

),where

φ

is afun tion from

R₊

,dominated byan integrableand de reasing fun tion

ψ

F ((ly)_y∈R) = φ(inf{y ≥ 0, ly = 0})

(whi h orrespondsto theweight :

Γt= φ(sup{Xs, s≤ t})

),where

φ

isafun tionfrom

R₊∪{∞}

R₊

,dominatedbyade reasing fun tion

ψ

,whi h isintegrable on

R

F ((l^y)_y∈R) = exp−R∞

−∞V (y)l^ydy

, where

V

is a positive measurable fun tion, not a.e. equal to zero, and integrablewithrespe tto

(1 + y2)dy

F ((l^y)_y∈R) = φ(l^y1, l^y2)

, where

y₁ < y₂

and

φ(l₁, l₂) ≤ h(l1 ∧ l2)

, for a de reasing and in-tegrable fun tion

h

The threerst exampleshave been alreadystudied byB. Roynette, P.Vallois and M. Yor.

As a help to the reader, we mention that Se tions 4.2 and 4.3 are quite te hni al, but it is possible to read the details of these se tions after Se tions 4.4and 4.5, whi h ontain the prin- ipal steps of theproofof themain theorem.

Dans le document Temps locaux et pénalisations browniennes (Page 55-59)

θk > 0

k = m

(α,γ)W(∞)[Nt6= m] = W(0,0)[eγLt1N

t6=m] →

t→∞0

(As)s≥0

m

γ = 0

αm ≤ 0

m ∈ E

(α,0)W(∞)

Ms(α,0)

αm

m∈ E

γ

ν

(g(s, Xs, Ns))s≥0

W(0,0)

x∈ R∗

+

s≥ 0

m∈ E

∂g

∂s(s, x, m) + 12∂x∂2g2(s, x, m) = 0

s≥ 0

P

m∈E

µm∂g∂x(s, 0, m) = 0

h′(s)fm(x) + 1

h(s)

s

fm′′(x) =−2hh(s)′(s)fm(x)

C = hh(s)′(s)

s

C > 0

fm′′(x)

x

fm′

fm

f′

m(x)

x

fm

x

fm(x)≥ fm(0) = 1

fm′′(x) =−2Cfm(x)≤ −2C

fm

C = 0

fm

m∈ E

fm(x) = 1 + λmx

λm≥ 0

s≥ 0

P

m∈E

µm∂g∂x(s, 0, m) = 0

P

m∈E

λmµm = 0

λm = 0

m

ν

W(0,0)

C

−β2/2

β > 0

h(0) = 1

f0(0) = 1

h(s) = e−sβ2/2

fm′′(x) = β2fm(x)

δm

λm∈ R

fm(x) = δmexp(−βx) + λmsinh(βx)

x≥ 0

fm(0) = 1

δm = 1

m

fm(x)≥ 0

x≥ 0

θ_k > 0

(α,γ)_W(∞)[N_t6= m] = W(0,0)[e^γLt1_N

(A_s)_s≥0

α_m ≤ 0

(α,0)_W(∞)

Ms^(α,0)

α_m

(g(s, X_s, N_s))_s≥0

W_(0,0)

∂s(s, x, m) + ¹₂_∂x^∂²^g2(s, x, m) = 0

µ_m^∂g_∂x(s, 0, m) = 0

h^′(s)f_m(x) + ¹

f_m^′′(x) =−^2h_h(s)^′^(s)f_m(x)

C = ^h_h(s)^′^(s)

f_m^′′(x)

f_m^′

f_m

f_m

f_m(x)≥ fm(0) = 1

f_m^′′(x) =−2Cfm(x)≤ −2C

f_m

f_m

f_m(x) = 1 + λ_mx

λ_m≥ 0

µ_m^∂g_∂x(s, 0, m) = 0

λ_mµ_m = 0

λ_m = 0

W_(0,0)

h(s) = e^−sβ²^/2

f_m^′′(x) = β²fm(x)

δ_m

λ_m∈ R

f_m(x) = δ_mexp(−βx) + λmsinh(βx)

f_m(0) = 1

δ_m = 1

f_m(x)≥ 0

λ_m≥ 0

µ_m^∂g_∂x(s, 0, m) = 0

µ_mf_m^′ (0) = 0

µ_m(1− λm) = 0

µ_mλ_m= 1

(α(m),0)_W(∞)

µ_mλ_m

(X_t)_t≥0

(Γ_t)_t≥0

0 < W[Γ_t] < ∞

(W_t)_t≥0

W_t= ^Γ^t

W[Γ_t]^.W

(W_t)_t≥0

Λ_s

W_t(Λ_s) →

W∞(Λ_s)

Γ_t= F ((l^y_t(X))_y∈R)

(l^y_t(X))_y∈R

(X_s)_s≤t

R₊

F ((ly)_y∈R) = φ(l0)

Γ_t= φ(l0

R₊

R₊

F ((ly)_y∈R) = φ(inf{y ≥ 0, ly = 0})

R₊∪{∞}

R₊

F ((l^y)_y∈R) = exp−R∞

−∞V (y)l^ydy

F ((l^y)_y∈R) = φ(l^y1, l^y2)

y₁ < y₂

φ(l₁, l₂) ≤ h(l1 ∧ l2)