Preuve du théorème 3.2 Soit :

Σj(u) :=µj(u)Σ0(u) +Mj, 1jd.

(5.26)

La valeur propre

λ(u, ξ) =

ξjµj(u)

est de multiplicité constante et le noyau E(u, ξ) = kerM(ξ) est indépendant deu. De plus Σ(u, ξ) =M(ξ)etΣ0est un bon symétriseur. Pour queλsoit linéairement dégénérée il faut et il suffit quev· ∇uµ(u)∈ξ^⊥pourv∈kerM(ξ). Si lesµjsont constants, alorsλest linéairement dégénérée et vérifie la condition (3.6). Le système ainsi construit est conservatif siΣ0=ηest la matrice Hessienne d’une fonctionη strictement convexe. On notera que le système construit est effectivement non linéaire.

5.3. Preuve du théorème 3.2 Soit :

u^ε_a= ¯u0+√

εu1+εv^ε_a (5.27)

une solution approchée dans O^sa(r) avecr > s+ 1> ^d+5₂ . En particulier, v_a^ε est borné dans W^s+1(T). On suppose en outre queu¯1= 0et que la matriceDdéfinie en (5.7) est nulle. On se donne enfin une familleR^εbornée dansWε^s(T)et une familleI^εbornée dansH^s(R^d×T). Il s’agit de montrer que, pourεassez petit, le problème de Cauchy

S(u^ε;∂t,x,θ)u^ε=R^ε_a+ε^rR^ε, u^ε(0, x, θ) =u^ε_a(0, x, θ) +ε^rI^ε admet une solution dansW^s(T)et qu’il existeCtel que pourε∈]0, ε0]:

u^ε−u^ε_{a Wε}^s(T)Cε^r.

On cherche la solution sous la formeu^ε=u^εa+ε^rd^ε. L’équation pourd^εs’écrit : S(u^ε, ∂t,x,θ)d^ε+S(t, x, ε^rd^ε)d^ε=ε^−rR^ε_a+R^ε, d^ε|t=0=I^ε (5.28)

avec :

S(t, x, v)h :=

d j=0

1

0

(h· ∇uΣj)

u^ε_a(t, x) +sv

∂ju^ε_a(t, x)ds

+1 ε

d j=0

∂jϕ(t, x)

1

0

(h· ∇uΣj)

u^εa(t, x) +sv

∂θu^εa(t, x)ds.

Le système (5.28) est hyperbolique symétrisable à donnéesH^s. Il possède une solution locale en temps (voir [19]), de durée de vieT^∗(ε)>0. De plus, siT^∗(ε)<+∞, on a nécessairement :

lim sup

t→T∗(ε)−

u^ε(t,·)

H^s(R^d×T)= +∞.

En particulier :

t→Tlim∗(ε)− u^ε _Wε^s(t)= +∞.

Le théorème 3.2 résulte alors de :

∃ε0>0; inf

ε∈]0,ε0]T^∗(ε)> T, (5.29)

sup

ε∈]0,ε0]

d^ε _Wε^s(T)<+∞. (5.30)

Compte tenu des critères d’explosion rappelés ci-dessus, il suffit de montrer qu’il existe des constantesε0etM telles que :

∀ε∈]0, ε0], ∀Tmin

T^∗(ε), T

, d^ε _W^s_ε(T)M.

(5.31)

La démonstration se fait en deux temps. D’abord, on utilise la proposition 5.1 pour effectuer un changement d’inconnues qui transforme l’équation (5.28) en une équation similaire dont les termes singuliers sont à coefficients constants. Ensuite, on applique une méthode de commutateurs pour estimer les normesH^sde la solution de (5.28).

Réduction de l’équation. On écrit : Σ(u^ε, ∂xϕ) = Σ(¯u0, ∂xϕ) +√

ε(u1· ∇uΣ)(¯u0, ∂xϕ) +εRd+1(ε, t, x, v^εa+ε^r−1d^ε) oùRd+1est une matrice régulière de ses arguments. De même

S(t, x, ε^rd^ε) =√1

εB1+E(ε, t, x, v^ε_a, ∂t,x,θv_a^ε, ε^r−1d^ε)

oùB1est défini en (5.6) etEest une fonctionC^∞de ses arguments. L’équation pourd^εest donc de la forme

R(ε, v^εa, ε^r−1d^ε, ∂t,x,θ)d^ε+E(ε, t, x, va^ε, ∂t,x,θva^ε, ε^r−1d^ε)d^ε +1

εA0∂θd^ε+ 1

√ε(A1∂θd^ε+B1d^ε) =ε^−rR^ε_a+R^ε

où les coefficients de l’opérateur quasi-linéaire symétriqueRsont des fonctions régulières de (ε, v^εa, ε^r−1d^ε).

Ensuite, on applique le changement d’inconnues d^ε= (Id +√

εφ1) ˇd^ε avec φ1 donné à la proposition 5.1. CommeD= 0, la formule (5.20) implique quedˇ^εvérifie :

R(ε, vˇ a^ε, ε^r−1dˇ^ε, ∂t,x,θ) ˇd^ε+ ˇE(ε, t, x, v^ε_a, ∂t,x,θv^ε_a, ε^r−1dˇ^ε) ˇd^ε+1

εA0∂θdˇ^ε= ˇR^ε. Ici, on a posé :

Rˇ^ε:= (Id +√

ε^tφ1)(ε^−rR^ε_a+R^ε).

Par ailleursRˇ est de même nature queR.

La matriceA0= Σ(¯u0, ∂xϕ)dépend des seules variables(t, x). D’après l’hypothèse 2.1, elle est de rang constant. Cela implique l’existence d’une matrice inversible régulièreφ(t, x)ˇ telle queΣ :=^tφ(t, x)Σ(¯ˇ u0, ∂xϕ) ˇφ(t, x)est constante. On posed^ε:= ˇφ(t, x)⁻¹dˇ^εde sorte qued^εest solution de :

R(ε, v ^εa, ε^r−1d^ε, ∂t,x,θ)d^ε+E(ε, t, x, v _a^ε, ∂t,x,θv_a^ε, ε^r−1d^ε)d^ε +1

εΣ∂θd^ε=R^ε:= ˇφRˇ^ε (5.32)

oùR etEsont de même nature queRetE.

Il suffit maintenant de résoudre le problème de Cauchy pour (5.32) avec pour nouvelles données initiales :

d^ε_|t=0=I^ε:= ˇφ⁻¹_|t=0

Id +√ εφ1|t=0

₋1

I^ε. (5.33)

Le contrôle annoncé en (5.31) résulte alors de l’estimation :

∀ε∈]0, ε0], ∀T<min

T^∗(ε), T

, d^ε _W^s_ε(T)M.

(5.34)

Estimations d’énergie. On raisonne dorénavant sur (5.32). La démonstration des majora-tions (5.34) est inspirée du travail de O. Guès [11] (voir aussi G. Browning et H.O. Kreiss [3]).

Pour estimer les quantitésd^ε_α:=ε^|α|∂_t,x,θ^α d^εon dérive l’équation (5.32). CommeΣest constante, on trouve que

R(ε, v_a^ε, ε^r−1d^ε, ∂t,x,θ)d^ε_α+1

εΣd^ε_α=R^ε_α (5.35)

où :

R_α^ε=ε^|α|∂^α R^ε−E(ε ^r−1d^ε)d^ε

−

ε^|α|∂^α,R(ε^r−1d^ε, ∂t,x,θ) d^ε.

Dans ces expressions, on a simplifié l’écriture deRetEpour ne retenir que la dépendance end^ε. Les autres coefficientsv^ε_ane sont pas mentionnés. Leur intervention ne pose pas de problème car ils sont bornés dansW^s+1(T). On évalue le terme de droite. Par hypothèse, le termeε^|α|∂^αR^ε est borné dansC⁰([0, T];L²)puisqueR^εse déduit deR^εpar multiplication par une matriceC^∞ bornée dansW^∞(T). Les autre termes sont sommes d’expressions de la forme

h=ε^{|α|+(r−1)(p−1)}Φ∂^α1d^ε. . . ∂^αpd^ε∂^β1va^ε. . . ∂^βqva^ε

oùΦest une fonctionC^∞des arguments(t, x, v^ε_a, ε^r−1d^ε), et les multiindicesα^jetβ^kvérifient : l:=|α¹|+· · ·+|α^p||α|,

l:=|β¹|+· · ·+|β^q||α|+ 1, l+l|α|+ 1.

En utilisant les règles de multiplication dans les espaces de Sobolev H^s(R^d×T)×H^s(R^d×T)⊂H^s(R^d×T)

quand 0smin(s, s) ets+s−s >^d+1₂ , on voit que pours > ^d+3₂ , |α|s et tT<min(T^∗(ε), T), on récupère :

h(t)

L²(R^d×T)Cε^{|α|+(r−1)(p−1)} Φ L^∞([0,T]×R^d×T) va^ε q W^s+1(T)

× d^{ε p}_W⁻s¹(T) d^ε _W|α|(T).

Commev^ε_aest bornée dansW^s+1et queδ=r−1−s >0, on voit que pour|α|s, on a : h(t)

L²C Φ L^∞

1 +ε^δ d^ε _Wε^s(T)

p−1 d^ε _Wε^s(T).

L’injection de Sobolev implique que pours1 +^d+1₂ :

w L^∞+ ∂w L^∞Cε^−1−d+12 w _Wε^s(T). (5.36)

Commev_a^εest bornée, cela permet de majorerΦdansL^∞. On voit alors qu’il existe une fonction continueK(·)telle que pour|α|son a pourt∈[0, T]etT<min(T^∗(ε), T) :

R_α^ε(t)

L²(R^d×T)K

ε^δM^ε(T) M^ε(T) (5.37)

avecM^ε(T) := d^ε _Wε^s(T).

D’autre part, (5.36) implique que les coefficients de R sont bornés et ont des dérivées premières bornées par K1(ε^δM^ε(T)). Il en va de même pour l’inverse du coefficient de ∂t. CommeR etΣsont symétriques, une intégration par parties montre qu’il existe des fonctions K1(·)etK2(·), telles que pourt∈[0, T]etT<min(T^∗(ε), T) :

d^ε_α(t)

L²(R^d×T)K1(M)e^tK2(M)d^ε_α(0)

L²(R^d×T)

+K1(M)

t

0

e^(t−t)K2(M) Rα^ε(t)

L²(R^d×T)dt (5.38)

avecM=M^ε(T).

On estime maintenant les données initiales d^ε_α(0). Pour cela on utilise l’équation (5.32) qui permet d’exprimer les dérivées temporelles ∂_t^jd^ε(t,·) en fonction des dérivées spatiales

∂_x,θ^α d^ε(t,·)de longueur|α|j. La présence du terme singulier ¹_εΣ∂θfait en sorte que chaque dérivation en temps consomme une puissance du paramètreε. Cette perte est compensée par le recours à une norme à poids, en l’occurrence celle de l’espaceWε^s. Par un calcul analogue à celui utilisé pour les commutateurs, on obtient qu’il existe une constanteC0, qui ne dépend que des normes deu0,u1, d’un majorant des normes dev_a^εdansW^s+1(T)et deI^εdansH^s(R^d×T) telle que pour toutε∈]0,1], on a :

ε^j∂_t^jd^ε(0,·)

H^s−j(R^d×T)C0. En particulier, les normesL²desd^ε_α(0)sont uniformément bornées.

En sommant (5.38) pour tous|α|set en utilisant (5.37) et le lemme de Gronwall, on en déduit qu’il existe des fonctionsK1etK2telles que pour toutT<min(T^∗(ε), T)on a :

d^ε _Wε^s(T)K1

ε^δM^ε(T)

e^{TK2(εδMε(T))}. (5.39)

Fin de la démonstration du théorème 3.2. On choisit M >max(C0, K1(1)e^{T K2(1)}) puis ε0 tel queε^δ0M 1. Alors, par un argument usuel de continuation, (5.39) implique que pour εε0 et T<min(T^∗(ε), T) on aM^ε(T)M. L’estimation (5.34) en résulte et la démonstration du théorème 3.2 est complète.

6. Instabilités

Les oscillations à l’échelleεportées par le profil principalu1interagissent avec les oscillations de plus petites amplitudes portées par la perturbation u. Ces interactions sont susceptibles˙ d’induire des mécanismes d’amplification qui, éventuellement, se traduisent, au niveau des équations de modulation fournies par une analyse BKW à deux phases, par des taux de croissance en temps plus ou moins forts. Réciproquement ces taux de croissance indiquent quels types d’estimations d’énergie sont possibles pour le linéariséL^εc. Dans un premier temps, on formalise cette idée. Ensuite on se tourne vers le problème non linéaire. On met à jour des conditions

suffisantes pour l’existence d’instabilités non linéaires, dont un exemple typique est celui des instabilités de Rayleigh (cf. [9]).