Preuve du théorème

(a) b+m (b) a

Fig. 3.5 – b-circuit + m-circuit = a circuit

3.4 Preuve du théorème

Dans cette section, nous prouvons le théorème3.1. Nous commençons par traiter le cas spécifique des graphes plongeables et eulériens.

Lemme 3.1

Soit le graphe G, union disjointe de deux graphes connexes eulériens H et K. Si G admet une représentation sur la bouteille de Klein telle que les sous-représentations associées à H et K sont des plongements qui se croisent, alors il existe une autre représentation de G sur la bouteille de Klein avec strictement moins de croisements et telle que les sous-représentations associées à H et K ne se croisent pas.

Démonstration. Soit Ψ une représentation de G sur la bouteille de Klein telle que les restrictions Ψ_H à H et Ψ_K à K sont des plongements.

Pour prouver le lemme 3.1, il suffit de trouver deux représentations Ψ^′_H et Ψ′

K de H et K sur deux sous-surfaces disjointes de la bouteille de Klein, telles que la somme des nombres de croisements de Ψ′

H et de Ψ′

K

est strictement inférieure au nombre de croisement de Ψ. En effet, si nous trouvons de telles représentations, il suffit de considérer Ψ′ la représenta-tion de G sur la bouteille de Klein obtenue par l’union des représentareprésenta-tions Ψ^′_H et Ψ′

K. Le nombre de croisements de Ψ′ est exactement la somme des nombres de croisements de Ψ′

H et de Ψ′

K, et ces deux restrictions ne se croisent pas.

Pour des raisons de lisibilité, nous posons h_a = cr([a], Ψ_H), h_b =

cr([b], Ψ_H) et h_m = cr([m], Ψ_H). Les notations k_a, k_b et k_m sont définies de façon similaire pour le sous-graphe K.

D’après la proposition3.3, il existe une décomposition de Ψ_H en une famille de circuits deux à deux arêtes-disjoints composée de min{hm, h_a+ h_b} circuits non-orientables et (ha +h_b−min{hm, ha+h_b})/2 m-circuits. D’après la définition de k_a et k_b, chacun de ces circuits non-orientable croise la représentation de Ψ_K au moins min{ka, k_b}fois. De plus, chaque

m-circuit de cette décomposition croise Ψ_K au moins km fois. Nous en déduisons une borne inférieure sur le nombre de croisements entre Ψ_H et Ψ_K, et par extension de Ψ.

cr(Ψ) ≥ min{hm, h_a+h_b} ×min{ka, k_b}

+¹₂(h_a+h_b−min{h_m, h_a+h_b}) ×k_m. ^(3.2) En échangeant les rôles de H et K, nous obtenons

cr(Ψ) ≥ min{km, ka+k_b} ×min{ha, h_b}

+¹₂(ka+k_b−min{km, ka+k_b}) ×hm. ^(3.3) Par ailleurs, d’après la proposition 3.4, il existe min{ka, km} a-circuits arêtes-disjoints dans Ψ_K. Chacun d’eux croise Ψ_H au moins h_a fois, ainsi

cr(Ψ) ≥min{ka, km} ×ha. (3.4) De façon similaire en considérant les b-circuits, nous avons

cr(Ψ) ≥min{k_b, k_m} ×h_b. (3.5) Cette dernière inégalité peut être obtenue de la même manière en in-versant les rôles de H et K,

cr(Ψ) ≥min{h_b, h_m} ×k_b. (3.6) Notons m₁ ≤ m₂ ≤ m₃ ≤ m₄ l’ordre des nombre h_a, h_b, k_a et k_b. Nous distinguons alors les cas suivants.

(Cas 1) Si km ≥m2, alors nous appliquons la transformation de la propo-sition3.1sur le graphe concerné par m₁, puis nous appliquons cette même transformation sur le graphe concerné par m₂. Nous obtenons deux nou-velles représentations Ψ′

H et Ψ′

K sur des sous-surfaces disjointes de la bouteille de Klein et telles que

cr(Ψ^′_H) +cr(Ψ^′_K) = ¹₂m₁× (m₁−1) +¹₂m₂× (m₂−1) < m2×m2.

Quelque soit l’ordre des m_i, et comme k_m ≥m2, nous pouvons affirmer que

m2×m2≤max{min{ka, k_m} ×ha, min{k_b, k_m} ×h_b}.

En effet, les m_i sont tous utilisés dans cette formule, il suffit de vérifier qu’au moins un des deux produits est supérieur à m2×m2.

Il reste alors à invoquer les inégalités (3.4) et (3.5) pour conclure que cr(Ψ^′_H) +cr(Ψ^′_K) <cr(Ψ).

3.4. Preuve du théorème 67

(Cas 2) Si km ^<m2et hm ^<m2, alors

hm ^<m1+m2 ≤ha+h_b. L’inégalité (3.2) devient donc

cr(Ψ) ≥hm×min{ka, k_b} +1

2^{(ha+hb−hm) ×km. (3.7)} De même, k_m < m₁+m₂ ≤ k_a+k_b, et nous pouvons supposer que

ha ≤h_bl’inégalité (3.3) se transforme en cr(Ψ) ≥km×ha+ 1

2^{(ka+kb−km) ×hm. (3.8)} Supposons sans perte de généralité que k_m ≥hm.

(Cas 2.1) Si hm ≤ ka+k_b−km, alors d’après la proposition3.2, il existe une représentation Ψ′

H de H sur le plan euclidien telle que cr(Ψ^′_H) =h_m×h_a+ 1 2^{hm× (hm−1).} D’après l’inégalité (3.8), cr(Ψ^′_H) +cr(Ψ_K) = hm×ha+ ¹₂hm× (hm−1) ≤ hm×ha+ ¹₂(ka+k_b−km) × (hm−1) ≤ km×ha+¹₂(ka+k_b−km) × (hm−1) car k_m ≥hm < k_m×h_a+¹₂(k_a+k_b−k_m) ×h_m car k_a+k_b−k_m >0 < cr(Ψ) par (3.8).

(Cas 2.2) Si hm ^>k_a+k_b−k_m, alors, sachant que k_m <m₂, nous pouvons en déduire que

h_m+max{k_a, k_b} ≥h_m+k_m >k_a+k_b.

Alors hm ^> min{ka, k_b} = m_i. Comme hm ^< m2, nous en déduisons que i =1. Alors forcément, h_a, h_b≥m₂ >k_m

(Cas 2.2.1) Si min{ka, k_b} < km/2, alors km ≥ 1 ; nous appliquons la transformation adéquate décrite dans la proposition3.2 sur le graphe K. Nous obtenons une représentation Ψ′

K de ce dernier sur le plan euclidien telle que

cr(Ψ^′_K) =km×min{ka, k_b} +1

2^{km× (km−1).} Nous concluons grâce aux inégalités suivantes,

cr(Ψ^′_H) +cr(Ψ_K) = k_m×min{k_a, k_b} +¹₂k_m× (k_m−1) ≤ hm×min{ka, k_b} +(km−hm) ×min{ka, k_b} +¹₂km× (km−1) < h_m×min{k_a, k_b} +(k_m−h_m) ×min{k_a, k_b} +¹₂k_m×k_m car k_m ≥ 1 < hm×min{ka, k_b} +(2k_m−hm) ×¹₂km car min{ka, k_b} <km/2 < hm×min{ka, k_b} +¹₂(ha+h_b−hm) ×km car ha, h_b≥ km < cr(Ψ) d’après (3.7).

(Cas 2.2.2) Si min{ka, k_b} ≥ km/2 et m2 ^< 2km, alors nous transformons les représentations de H et de K comme indiqué dans la proposition3.1

en considérant les crosscaps et les graphes impliqués par m₁ et m₂. Nous rappelons que min{ka, k_b} =m1. Nous obtenons deux représentations Ψ′

H

et Ψ′

K sur deux sous-surfaces disjointes de la bouteille de Klein telles que cr(Ψ^′_H) +cr(Ψ^′_K) = 1

2^{m1× (m1−1) +} 1

2^{m2× (m2−1).} Or nous savons que

m₁ <h_m, m2^> k_m, m2 ≤h_a et m₁+m2≤k_a+k_b. Nous pouvons alors conclure

cr(Ψ^′_H) +cr(Ψ^′_K) = ¹₂m1× (m1−1) +¹₂m2× (m2−1) < 1 2m1× (hm−1) +¹₂m2×2k_m car 2k_m ≥m2 < 1 2(m₁+m₂−k_m) ×h_m+h_a×k_m < 1 2(k_a+k_b−k_m) ×h_m+h_a×k_m < cr(Ψ) d’après (3.8).

(Cas 2.2.3) Si min{k_a, k_b} ≥ k_m/2 et m₂ ≥ 2k_m, nous transformons le graphe K comme dans la proposition3.2. Nous obtenons une représenta-tion Ψ′

K de K sur le plan euclidien telle que

cr(Ψ^′_K) = km×min{ka, k_b} +¹₂km× (km−1) < km× m1+ ¹₂km

< km×2m1 < m₁×m₂.

Nous pouvons supposer que m₁ = ka. Ainsi nous savons que m₁ < hm, k_b ≥ m2 et bien entendu h_b ≥ m2. Nous obtenons alors en utilisant l’inégalité3.6,

cr(Ψ^′_K) < m₁×m₂

< min(h_b, hm) ×k_b < cr(Ψ).

3.4. Preuve du théorème 69

Ceci conclut la preuve du lemme3.1.

Il ne reste plus qu’à généraliser ce lemme au cas général pour obtenir le théorème.

Preuve du théorème 3.1. Soit G l’union disjointe de deux graphes con-nexes H et K. Soit Ψ une représentation optimale de G sur la bouteille de Klein.

Pour une démonstrations par l’absurde, supposons que les restrictions de Ψ à H et K se croisent.

Tout d’abord, supposons que les restrictions de Ψ à H et K sont des plongements. Doublons chaque arête de G et notons G′, H′ et K′ les graphes eulériens ainsi obtenus. La représentation Ψ′ possède 4cr(Ψ)

croisements. Comme G′, H′, et K′ sont eulériens, nous pouvons appliquer le lemme 3.1 et obtenir une représentation Ψ′′ de G′ admettant stricte-ment moins de 4cr(Ψ) croisements, et telle que les restrictions à H′ et K′ ne se croisent pas. De plus, nous pouvons supposer que chaque arête et sa parallèle sont représentées suffisamment proches l’une de l’autre pour avoir les mêmes croisements. Ainsi, chaque couple de paire d’arêtes par-allèles se croise 0 ou 4 fois. En retirant une arête de chacune de ces paires, nous obtenons une nouvelle représentation de G avec strictement moins de cr(Ψ) croisements et telle que les restrictions à H et K ne se croisent pas. C’est absurde car Ψ est optimale par hypothèse.

Enfin, si les restrictions de Ψ à H et K ne sont pas des plongements (alors il existe des croisements internes), nous pouvons considérer les graphes H′′ et K′′ obtenus en ajoutant un sommet à chaque croisement de Ψ. Nous avons alors des plongements dans la bouteille de Klein. Le para-graphe précédent nous permet de trouver une meilleure représentation de

H′′ et K′′. Nous remplaçons alors les sommets ajoutés par les croisements initiaux et le théorème3.1est prouvé.

Conclusion du chapitre

Dans ce chapitre, nous avons abordé la notion de plongement d’un graphe d’un point de vue topologique. De plus, nous avons utilisé les outils de la topologie des surfaces pour répondre partiellement à une question soulevée par Matt DeVos et coll. [28].

Malheureusement, notre approche fait un usage très important du fait qu’un circuit essentiel de la bouteille de Klein appartient à une des quatre familles présentées. Dès que l’on passe au tore, le nombre de ces familles devient infini (il est alors en bijections avec N2, selon le nombre de tours effectués sur l’axe des abscisses et le nombre de tours effectués sur l’axe des ordonnées). Une idée neuve s’impose donc. Il est à noter que le groupe de Simon Fraser University a prouvé le cas spécifique du tore récemment. À notre connaissance, les autres surfaces demeurent des problèmes ou-verts. Nous rappelons donc la question principale de ce chapitre toujours à l’ordre du jour.

Problème 3.1

Soit G le graphe union de deux graphes connexes G₁et G₂ et Σ une surface (différente de S0, S1, ˜S1et ˜S2). Est-il vrai que toute représentation optimale de G sur Σ laisse les sous-représentations de G₁et G₂ disjointes ?

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