2.4 Preuves des théorèmes
2.4.3 Preuve du théorème 2.2.3
Selon les conditions du théorème 2.2.3, on peut trouver facilement la conclusion de théorème 2.2.3 en utilisant la même méthode de la preuve du théorème 2.2.1 et le lemme 2.3.15.
Chapitre 3
Sur l’exposant itératif de la
convergence des zéros de
f
(j)
(z)
' (z)
Dans ce chapitre, On va voir l’étude de l’exposant itératif de convergence des zéros de f(j)(z) ' (z) des solutions des équations di¤érentielles linéaires, en généralisant les résultats précédants de Chen [10], Chen et Shon [12] et Tu [27].
3.1
Introduction
Dans [10], Chen a étudié les points …xes des solutions des équations (3.1) et (3.2) avec des coe¢ cients polynômials et des coe¢ cients entières transcendantes d’ordre …ni et a obtenu les résultats suivants.
Théorème 3.1.1 [10] Soit P (z) un polynôme de degree n ( 1). Alors chaque solution non triviale de
f00+ P (z) f = 0 (3.1)
a in…niment plusieurs points …xes et satisfait (f z) = (f z) = (f ) = n+1
2 :
(A) = <1. Alors chaque solution non-triviale de
f00+ A (z) f = 0 (3.2)
a in…niment plusieurs points …xes et satisfait
2(f z) = 2(f z) = 2(f ) = .
Deux anneé aprés, dans [12], Chen a étudié les zéros de f(j)(z) ' (z) (j = 0; 1; 2)
et a prouvé les théorèmes 2.1.2 et 2.1.3 (voir le chapitre précèdent). En 2012, Xu, Tu et Zheng ont prouvé les résultats principaux de notre deuxième chapitre qui généralisent les résultats précédents.
Dans la suite on voir une généralisations dans un autre sens: c’est pour l’étude de l’exposant itératif comme suivant.
3.2
Résultats principaux
Le but de ce chapitre est de voir l’amélioration du théorème E concernant les équa- tions di¤érentielles linéaires de coe¢ cients entières d’ordre …ni dans (2.3) à coef- …cients entières d’ordre itératif …ni faite par Tu, Xuan et Xu [28] en realisant les résultats suivants.
Théorème 3.2.1Soient A (z) et B (z) des fonctions entières d’ordre itératif …ni satisfaire p(A) < p(B) <1 ou 0 < p(A) = p(B) <1
et 0 p(A) < p(B) <1. Alors pour toute solution f 6 0 de (2.1) et pour
toute fonction entière ' (z) 6 0 satisfaire p+1(') < p(B), on a
(i) p+1(f ') = p+1(f0 ') = p+1(f00 ') = p+1(f000 ') = p+1(f ) = p(B) ;
(ii) p+1 f(i) ' = p+1(f ) = p(B) (j > 3; j 2 N) :
Corollaire 3.2.1Sous les hypothèses du théorème 3.2.1, si ' (z) = z, on obtient (i) p+1(f z) = p+1(f0 z) = p+1(f00 z) = p+1(f000 z) = p+1(f ) = p(B) ;
Théorème 3.2.2 Soient A (z) et B (z) des fonctions entières satisfaire i (A) < i (B) = 1. Alors pour toute solution f 6 0 de (2.1) et pour toute fonction entière ' (z) 6 0 satisfaire i (') p, on a
(i) i f(i) ' = i f(i) ' = i f(i) ' = p + 1 (j = 0; 1; 2; :::) ;
(ii) p+1 f(i) ' = p+1 f(i) ' = p+1 f(i) ' = p(B) (j = 0; 1; 2; :::) :
Corollaire 3.2.2 Sous les hypothèses du théorème 3.2.2, si ' (z) = z, on a (i) i f(i) z = i f(i) z = i f(i) z = p + 1 (j = 0; 1; 2; :::) ;
(ii) p+1 f(i) z = p+1 f(i) z = p+1 f(i) z = p(B) (j = 0; 1; 2; :::) :
Théorème 3.2.3 Sous les hypothèses du théorème 3.2.1, soit
L (f ) = akf(k)+ ak 1f(k 1)+ + a0f;
où aj 6 0 (j = 0; 1; 2; :::; k) sont des fonctions entières satisfaire p(aj) < p(B).
Alors pour toute solution f 6 0 de (2.1), on a p+1(L (f )) = p+1(f ) = p(B).
Remarque 3.2.1Le théorème 3.2.1 est un extension et amélioration du théorème 3.1.3. Par le théorème 3.1.3, pour toute solution f 6 0 de (2.1) et pour toute fonction entière ' (z) 6 0 satisfaire p(') < 1, on a
2(f ') = 2(f0 ') = 2(f00 ') = 1:
3.3
Lemmes
Lemme 3.3.1[8, 24] Soit f (z) est une fonction entière avec p(f ) = , et f(r)
est l’indice central de f (z). Alors
lim sup
r!+1
lnp f(r)
ln r = : (3.3)
Lemme 3.3.2 [28] Soit f (z) une fonction entière avec p(f ) = , alors il existe
nous avons
lim
r!+1
lnpT (r; f )
ln r = ; r2 E1: (3.4)
Preuve Par la dé…nition 1.4.5 on a lim supr!+1 lnpT (r;f )
ln r = , il existe une suite
frng1n=1 qui tend vers +1 et qui satisfait 1 + n1 rn< rn+1 et
lim
rn!+1
lnpT (rn; f )
ln rn
= : (3.5)
Il existe n1 tel que pour tout n n1 et pour tout r 2 rn; 1 +n1 rn , on a
lnpT (rn; f ) ln 1 + 1n rn lnpT (r; f ) ln r : (3.6) Posons E1 =[1n=n1 rn; 1 + 1
n rn , de (3.6) et la dé…nition 1.4.5, alors pour tout
r2 E1, on a lim r!+1 lnpT (r; f ) ln r =rnlim!+1 lnpT (rn; f ) ln rn = ; et mlE1 = 1 X n=n1 (1+1 n)rn Z rn dt t = 1 X n=n1 ln 1 + 1 n = +1:
Lemme 3.3.3 [8, 24]Soit f (z) est une fonction entière avec p(f ) = et f(r)
est l’indice central de f (z). Alors il existe un ensemble E1 [1; +1) de mesure
logarithmique in…nie tel que pour tout r 2 E1, nous avons
lim
r!+1
lnp f(r)
ln r = ; r2 E1: (3.7)
Lemme 3.3.4 [8, 24] Soient A0, A1; : : : ; Ak 1; F 6 0 des fonctions méromor-
phes. Si f est une solution méromorphe de l’équation
alors nous avons
(i) Si max fi (Aj) ; j = 0; 1; :::; k 1; i (F )g < i (f) ; alors i (f) = i (f) = i (f) ;
(ii) Si max f p(Aj) ; j = 0; 1; :::; k 1; p(F )g < p(f ) ; alors p(f ) = p(f ) = p(f ) :
Lemme 3.3.5 [32]Soit f (z) une fonction entière d’ordre itératif …ni avec i (f ) = p. Alors ils existent des fonctions entières (z) et D (z) tel que
f (z) = (z) eD(z); p(f ) = max p( ) ; p eD(z) et p( ) = lim sup r!+1 lnpN r;1f ln r : De plus, pour tout " > 0, on a
lnj (z)j expp 1 r p( )+" ; r =
2 E2; (3.9)
où E2 [1; +1) est un ensemble de r de mesure liméaire …nie.
Lemme 3.3.6 [28]Soit f (z) est une fonction entière d’ordre itératif …ni avec
p(f ) = < +1. Alors pour tout " > 0 donné, il existe un ensemble E3 [1; +1)
de mesure linéaire …nie tel que pour tout z satisfaire jzj = r =2 [0; 1] [ E3, on a
exp expp 1r +" jf (z)j expp r +" : (3.10)
Preuve Soit f (z) est une fonction entière d’ordre itératif …ni avec p(f ) = .
De la dé…nition 1.4.5, c’est facile d’obtenir que jf (z)j exppfr +"
g véri…é pour tout jzj = r assez grand. Du lemme 3.3.5, ils existent des fonctions entières (z) et D (z)tel que
Pour tout " > 0, on a
j (z)j exp expp 1 r p( )+" exp exp
p 1 r p(f )+
"
2 ; r =2 E
3; (3.11)
est véri…é à l’extérieur d’un ensemble E3 [1; +1) de mesure linéaire …nie.
Comme p 1(D (z)) = p eD(z) p(f ), de la dé…nition 1.4.5, nous avons que
jD (z)j expp 1 r p(f )+"2 est véri…é pour tout r assez grand.
De eD(z) e jD(z)j exp expp 1 r p(f )+"2 et (3.11), on a
jf (z)j j (z)j e jD(z)j exp 2 expp 1 r p(f )+"2 (3.12)
exp expp 1 r p(f )+"2 ; r =
2 E3;
où E3 est un ensemble de r de mesure linéaire …nie. De la dé…nition1.4.5 et
(3.12), on obtient la conclusion du lemme 3.3.6.
Remarque 3.3.1 Le lemme 3.3.6 donne l’estimation du module de la fonction entière d’ordre itératif et étend la conclusion de [20, p. 84, lemme 4].
Lemme 3.3.7 [28] Soit f (z) est une fonction entière d’ordre itératif …ni avec p(f ) = > 0 (p 2), et soit L (f ) = a2f
00
+ a1f
0
+ a0f, où aj 6
0 (j = 0; 1; 2) sont des fonctions entières d’ordre itératif …ni qui satisfaient b = maxf p 1(aj) ; j = 0; 1; 2g < , alors p(L (f )) = p(f ) = .
Preuve On peut écrire L (f ) comme suit
L (f ) = f a2
f00 f + a1
f0
f + a0 (3.13)
Du lemme de Wiman-Valiron (voir[20, 18]), pour tout z satisfait jzj = r et jf (z)j = M (r; f), on a f(k)(z) f (z) = f(r) z k (1 + o (1)) ; k 2 N; r =2 E4; (3.14)
De (1.4.5) dans [21], pour tout " > 0 donné, on a
f(r) < ln f(r) 1+"
(3.15)
à l’extérieur de l’ensemble E5 mesure logarithmique …nie, où f(r) est le terme
maximal de f . De l’inégalité de Cauchy, on a f(r) M (r; f ). Le remplacer dans
(3.15), on obtient
f (r) < [ln M (r; f )] 1+"
; r =2 E5: (3.16)
D’après le lemme 3.3.3, il existe un ensemble E1 de mesure logarithmique in…nie
tel que pour tout jzj = r 2 E1, on a
lim
r!+1
lnp f(r)
ln r = ; r2 E1: (3.17)
De (3.17) et le lemme 3.3.6, pour tout r 2 E1 E3et pour tout " (0 < 2" < b),
on a
exp expp 2rb+" < jaj(z)j < expp 1 rb+" < expp 1 r " (3.18)
< f(r) < expp 1 r +" (j = 0; 1; 2) :
En remplaçant (3.18) dans (3.16), on obtient
expp r 2" < M (r; f ) (r2 E1 (E3[ E5)) : (3.19) De (3.13), on a jL (f)j = jfj a2 f00 f + a1 f0 f + a0 jfj a2 f00 f + a1 f0 f ja0j : (3.20) En remplaçant (3.14), (3.18), (3.19) dans (3.20), pour tout z satisfait
jf (z)j = M (r; f) et jzj = r 2 E1 (E3[ E4[ E5), on trouve jL (f)j jfj fz(r) a2 f(r) z + a1 ja0j (3.21) jfj fz(r) a2 f (r) z ja1j ja0j
expp r 2" expp 1 r " expp 1 rb+" :
De (3.21), on obtient que p(L (f )) p(f ). D’autre part, il est facile de trouver p(L (f )) p(f ). Donc p(L (f )) = p(f ).
Remarque 3.3.2 L’hypothèse p 1(aj) < p(f ) dans le lemme 3.3.7 est néces-
saire. Par exemple, si a (z) est une fonction entière satisfaire p 1(a) > 0 (p 2),
posons f (z) = ea(z), L (f ) = f00 a0f a00f, alors on a p(f ) = p 1(a) > 0 et
L (f ) 0, c-à-d, p(L (f )) = 0 < p(f ).
Par le même preuve du lemme 3.3.7, on peut obtenir le lemme suivant.
Lemme 3.3.8 [28] Soit f (z) est une fonction entière avec p(f ) = > 0
(p 2) et soit L (f ) = akf(k)+ ak 1f(k 1)+ + a0f, où aj 6 0 (j = 0; 1; 2; :::; k)
sont des fonctions entières satisfaire b = max f p 1(aj), j = 0; 1; :::; kg < . Alors p(L (f )) = p(f ) = .
Lemme 3.3.9 [4] Soit f (z) est une fonction entière satisfaire 0 < p(f ) = <
1, 0 < p(f ) = 1, alors pour tout donné < , il existe un ensemble
E6 [1; +1) de mesure logarithmique in…nie tel que pour tout r 2 E6, nous avons
lnpM (r; f ) > r : (3.22)
Preuve On concidère deux cas: pour p = 1 voir [29]
Dans le cas où p 2, d’après la dé…nition d’ordre itératif 1.4.5 et de type itératif 1.4.6, il existe une suite croissante frng, rn ! +1 satisfait 1 +n1 rn< rn+1 et
lim rn!+1 lnpM (rn; f ) r p(f ) n = p(f ) > : (3.23)
Alors, il existe un entier positif n0 tel que pour tout n > n0 et pour tout " donné
(0 < " < p(f ) ), on a
lnpM (rn; f ) > ( p(f ) ") rnp(f ): (3.24)
Pour tout < p(f )donné, il existe un entier positif n1tel que pour tout n > n1,
on a n n + 1 p(f ) > p(f ) " : (3.25)
Prenons n n2 = maxfn0; n1g. De (3.24) et (3.25) pour tout r 2 rn; 1 +n1 rn ,
on obtient lnpM (r; f ) lnpM (rn; f ) (3.26) > ( p(f ) ") rnp(f ) ( p(f ) ") n n + 1r p(f ) > r p(f ) n : Posons E2 =[1n=n2 rn; 1 + 1 n rn , alors il véri…e ml(E2) = 1 X n=n2 (1+n1)rn Z rn dt t = 1 X n=n2 ln 1 + 1 n = +1:
Lemme 3.3.10 [19]Soient Aj(z) (j = 0; 1; :::; k 1)des fonctions entières d’ordre
itératif …ni satisfaire max f p(Aj) : j 6= 0g p(A0). alors toute solution f 6 0 de
l’équation
f(k)+ Ak 1f(k 1)+ + A1f0+ A0f = 0 (3.27)
satisfait p+1(f ) = p(A0).
d’ordre itératif …ni satisfaire max f p(Aj) : j 6= 0g p(A0) (0 < p(A0) < 1) et
maxf p(Aj) ; p(Aj) = p(A0) : j 6= 0g < p(A0) <1. Alors toute solution f 6 0
de l’équation (3.27) satisfait p+1(f ) = p(A0).
Remarque 3.3.3 La conclusion de lemme 3.3.11 est aussi valide pour
p(A0) = 1.
Lemme 3.3.12 [28] Soient A (z), B (z) des fonctions entières d’ordre itératif …ni satisfaisant p(A) < p(B). Soient G (z), H (z) des fonctions méromorphes
avec p(H) p(A) p(G) p(B), si f (z) est une solution entière de
f00+ A + G 0 G f 0 + B + H0+ HG0 G f = 0; (3.28) alors p+1(f ) p(B). Peuve De (3.28), on a m r; B + H0+HG 0 G m r; f00 f + m r; A + G0 G : (3.29)
Par le lemme de dérivée logarithmique et (3.29), on trouve
m (r; B) Ofln rT (r; f)g+m (r; A)+2T (r; H)+O fln rT (r; G)g ; r =2 E0 (3.30)
où E0 est un ensemble de mesure linéaire …nie. Du lemme 3.3.2, il existe un
ensemble E1 de mesure logarithmique in…nie tel que pour tout jzj = r 2 E1 E0,
nous avons
expp 1 r p(B) " O
fln rT (r; f)g + 4 expp 1 r p(A)+" ; (3.31)
où 0 < 2" < (B) (A). De (3.31), on obtient p+1(f ) p(B).
Lemme 3.3.13 [28] Soient A (z), B (z) des fonctions entières satisfaisant 0 < p(A) = p(B) = 2 < 1 et p(A) < p(B) 1 et soient G (z), H (z)
et H(j)(z) exp
pf( (A) + ") r 2g (j = 0; 1) à l’extérieur de l’ensemble E8
mesure logarithmique …nie, où 0 < 2" < p(B) p(A). Si f (z) est une solution
entière de (3.28), alors p+1(f ) 2.
Preuve Supposons que p(A) < p(B) < 1 (Sans perdre la généralité). De
(3.28), on a jB (z)j f 00 f + jAj + G0 G f0 f +jH 0j + jHj G0 G : (3.32)
Par le lemme 3.3.9, pour tout donné ( p(A) + 2" < < p(B)), il existe un
ensemble E6 de mesure logarithmique in…nie tel que pour tout jzj = r 2 E6, nous
avons
M (r; B) > exppf r 2
g : (3.33)
Par le lemme 2.3.13, il existe un ensemble E7 de mesure logarithmique …nie tel
que pour tout jzj = r =2 E6, nous avons
f00 f M [T (2r; f )] 2 ; f 0 f M [T (2r; f )] ; (3.34) G0 G M [T (2r; G)] < expp 1 r 2+" ;
où M > 0 est une constante. D’après les hypothèses, pour tout jzj = r =2 E8,
nous avons
jH0j exppf( (A) + ") r 2
g ; jHj exppf( (A) + ") r 2
g : (3.35)
De (3.32)-(3.35), pour tout z satisfaire jB (z)j = M (r; B) et jzj = r 2 E6 (E7[ E8), on a
exppf r 2
g 4 exppf( p(A) + ") r 2g [T (2r; f)]2: (3.36)