Preuve de la stabilisation instantan´ee

Nous allons maintenant prouver que le protocoleDFS1 est un protocole instantan´ement

stabi-lisant de parcours en profondeur sous l’hypoth`ese d’un d´emon distribu´e in´equitable. Tout d’abord, comme annonc´e au d´ebut de ce chapitre, nous rappelons que nous consid´ererons dans les preuves que la valeur de la variable Request<sub>r</sub>est transparente pour le protocole (la gestion explicite des requˆetes sera trait´ee dans la section 5.6) : nous ne tiendrons pas compte de cette variable lors de l’´evalution et de l’ex´ecution des r`egles. Par exemple, nous supposerons que la garde de la r`egle F de r est sim-plement le pr´edicat F orward(r). Ensuite, la preuve de la stabilisation instantan´ee de notre protocole sous un d´emon distribu´e in´equitable sera faite en deux ´etapes (conform´ement au th´eor`eme 4.3.1, page 35) :

(i) Tout d’abord, nous allons prouver que DFS1 est un protocole instantan´ement stabilisant de

parcours en profondeur en supposant un d´emon distribu´e faiblement ´equitable (ce d´emon est moins g´en´eral que le d´emon distribu´e in´equitable).

(ii) Puis, nous prouverons que chaque parcours effectu´e par DFS1 ne peut s’ex´ecuter qu’en un

nombre fini de mouvements.

Par ces deux propositions, nous pourrons alors d´eduire queDFS1 est un protocole instantan´ement

stabilisant de parcours en profondeur sous l’hypoth`ese d’un d´emon distribu´e in´equitable. En effet, la proposition (ii) signifie qu’un d´emon distribu´e in´equitable ne peut pas empˆecher le protocoleDFS1

d’ex´ecuter des parcours. Or, la proposition (i) assure que DFS1 v´erifie ses sp´ecifications d`es le

premier parcours.

Avant de pr´esenter la preuve de la stabilisation instantan´ee de notre protocole, nous allons d´efinir les objets que nous allons utiliser dans les preuves et prouver certaines de leurs caract´eristiques.

D´efinitions et propri´et´es.

D´efinition 5.4.1 (Processeur pr´e-nettoy´e) ∀p ∈ V , p est dit pr´e-nettoy´e si et seulement si p satisfait

[Clean(p)∨ (Sp = D ∧ Error(p))].

D´efinition 5.4.2 (Racine anormale) ∀p ∈ V , p est appel´e racine anormale si et seulement si p

sa-tisfait Error(p).

D´efinition 5.4.3 (Processeurs accroch´es) Soit p et q deux processeurs distincts. q est dit accroch´e `a

56 Parcours en profondeur instantan´ement stabilisants D´efinition 5.4.4 (PAP : Partie Active d’un Parcours) Nous appelons PAP (partie active d’un

par-cours) tout cheminP = p₁, ..., p_k de G tel que : 1. Sp1 ∈ {C,D}./

2. ∀i tel que 1 ≤ i ≤ k − 1, pi+1 ^{est accroch´e `a p}i.

Nous noterons EI(P) l’extr´emit´e initiale de P (i.e., p₁), EF (P) l’extr´emit´e finale de P (i.e., pk) et

|P| la longueur de P (= k − 1).

Lemme 5.4.1 Tout PAP est un chemin ´el´ementaire.

Preuve. Supposons, par contradiction, qu’il existe une configuration du syst`eme γ dans laquelle il existe au moins un PAP qui n’est pas ´el´ementaire. Cela signifie, en particulier, qu’il existe au moins un PAP c₁, ..., c_k dans γ avec c₁ = c_k. Par la d´efinition 5.4.4, ∀i ∈ [1...k − 1], ci+1 ^est

accroch´e `a ci. Donc, par la d´efinition 5.4.3,∀i ∈ [1...k − 1], nous avons (Sci = ci+1⁾∧ (P arci+1 =

c_i) ∧ (Sci+1 = C), et, comme ¬Error(ci+1) et ¬Error(ci+1) ⇒ ¬SetError(ci+1), nous avons

aussi, V isited_ci
V isitedci+1. Or, comme la relation d’inclusion est transitive, cela implique que

V isited_c1
V isitedck, c’est `a dire, V isitedc1
V isitedc1, une contradiction.  Remarque 5.4.1 D’apr`es le lemme 5.4.1, nous savons que tout PAP est un chemin de longueur finie. Donc, `a partir de maintenant, nous allons consid ´erer uniquement les PAP de longueur maximale.

Le lemme suivant montre que l’ensemble V isited de l’extr´emit´e finale d’un PAP contient au moins les identit´es de tous les processeurs de ce PAP sauf, peut-ˆetre, l’identit´e de son extr´emit´e initiale. En effet, d’une part, dans un PAPP, seule l’extr´emit´e initiale, EI(P), peut v´erifier le pr´edicat Error,

donc, EI(P) est le seul processeur dans P qui peut ne pas contenir son identit´e dans son ensemble V isited. D’autre part, comme les autres processeurs deP v´erifient ¬Error, ils contiennent au moins

leur identit´e et les identit´es de l’ensemble V isited de leur pr´ed´ecesseur dansP. D’o`u, par transitivit´e,

l’ensemble V isited de l’extr´emit´e finale deP contient au moins les identit´es de tous les processeurs

deP sauf, peut-ˆetre, l’identit´e de l’extr´emit´e initiale.

Pour prouver formellement ce lemme, nous allons utiliser une notion de “distance” entre un pro-cesseur p appartenant `a un PAP et l’extr´emit´e initiale de ce PAP. SoitP un PAP. La distance entre p

et EI(P) (i.e., l’extr´emit´e initiale de P), not´ee d(p,P), est d´efinie r´ecursivement comme suit :

– d(p,P) = 0, si p = EI(P).

– d(p,P) = d(q,P) + 1 o`u q est le processeur `a qui p est accroch´e dans P, sinon.

Lemme 5.4.2 SoitP un PAP. P satisfait V isitedEF(P)⊇ {Idp :: p ∈ P ∧ p = EI(P)}.

Preuve. Soit P un PAP. Pour prouver ce lemme, nous allons montrer par r´ecurrence sur d(p, P)

que∀p ∈ P, V isitedp ⊇ {Idp
:: p
∈ P ∧ d(p
_, P) ≤ d(p, P) ∧ p
= EI(P)}. En effet, si nous

appliquons cette propri´et´e `a EF (P), le lemme est trivialement v´erifi´e.

Soit i le processeur de P tel que d(i, P) = 0. Par d´efinition, i = EI(P) et il n’existe pas de

processeur i
∈ P tel que d(i
_, P) ≤ d(EI(P),P) ∧ i
= EI(P). Cela signifie, en particulier, que {Idi
:: i
∈ P ∧ d(i
_,P) ≤ d(i,P) ∧ i
= EI(P)} = ∅ et la r´ecurrence est trivialement v´erifi´ee d(i,P) = 0 (V isitedi ⊇ ∅).

Supposons maintenant que, pour d≥ 0, ∀p ∈ P tel que d(p,P) ≤ d, p v´erifie V isitedp ⊇ {Idp
::

p
∈ P ∧ d(p
_,P) ≤ d(p,P) ∧ p
= EI(P)}.

Soit q ∈ P tel que d(q,P) = d+1. Comme d(q,P) ≥ 1, par les d´efinitions 5.4.3 and 5.4.4, Sq = C ∧ ¬SetError(q) (¬Error(q) ⇒ ¬SetError(q)). Donc, Idq ∈ V isitedq. Par la d´efinition 5.4.4,

5.4 Premi`ere solution 57 ˆetre accroch´e `a aucun processeur). Or, comme d(p,P) = d, V isitedp ⊇ {Idp
:: p
∈ P ∧ d(p
_,P) ≤ d∧ p
= EI(P)} par hypoth`ese de r´ecurrence. De plus, comme q = r ∧ Sq = C ∧ ¬SetError(q),

nous avons V isitedp
V isitedq. D’o`u, V isitedq ⊇ ({Idp
:: p
∈ P ∧ d(p
<sub>,</sub>P) ≤ d ∧ p
= EI(P)} ∪ {Idq}), c’est `a dire, V isitedq⊇ {Idq
:: q
∈ P ∧d(q
_,P) ≤ d(q,P)∧q
= EI(P)} et la r´ecurrence

est v´erifi´ee pour les processeurs p tel que p∈ P et d(p,P) ≤ d + 1. 

Nous allons maintenant diff´erencier deux types de PAP : les PAPs dit normaux et les PAPs dit

anor-maux.

D´efinition 5.4.5 [PAPs normaux et anormaux] Nous appelons PAP anormal tout PAP P tel que Error(EI(P)). Nous appelons PAP normal, tout PAP qui n’est pas anormal.

Remarque 5.4.2 Soit P un PAP. Par d´efinition, si P est normal, alors EI(P) = r. En revanche, EI(P) = r n’implique pas forc´ement que P soit normal, en effet, r peut v´erifier Error(r).

Le lemme suivant montre que l’ensemble V isited de l’extr´emit´e finale d’un PAP normal contient au moins les identit´es de tous les processeurs du PAP.

Lemme 5.4.3 Tout PAP normalP v´erifie V isitedEF(P) ⊇ {Idp :: p ∈ P}.

Preuve. Soit P un PAP normal. D’apr`es la remarque 5.4.2, EI(P) = r et comme Sr = C ∧ ¬Error(r), nous avons aussi Idr ∈ V isitedr. Donc, V isited_EI(P) ⊇ {IdEI(P)}. Ainsi, le lemme

peut ˆetre v´erifi´e par r´ecurrence sur d(x,P) comme dans la preuve du lemme 5.4.2. 

Nous introduisons maintenant la notion de futur d’un PAP. Cette notion nous permettra d’´etudier l’´evolution d’un PAP au cours de l’ex´ecution. En particulier, le futur imm ´ediat d’un PAPP repr´esente

la transformation subie par P apr`es un mouvement. Un PAP peut disparaˆıtre apr`es un mouvement.

Par convention, nous exprimerons par Dead_P le fait que le PAPP ait disparu apr`es un mouvement.

D´efinition 5.4.6 (Futur imm´ediat d’un PAP) Soit γi → γi+1 ^{un mouvement. Soit}P un PAP

exis-tant dans γ_i. Nous appelonsF(P) le futur imm´ediat de P dans γi+1^etF(P) est d´efini comme suit :

1. Si il existe un PAPP
_{dans γ}

i+1 ^{qui v´erifie l’une des deux conditions suivantes :}

(a) P ∩ P
= ∅, ou

(b) SEF(P) ^{dans γ}i est ´egal `a EI(P
) dans γi+1 <sup>et EI(</sup>P
) a ex´ecut´e la r`egle F dans γi → γ_i+1

alorsF(P) = P
_,

2. Sinon,F(P) = DeadP^{. Dans ce cas,}P sera dit mort.

Par convention, nous supposerons queF(DeadP) = Dead_P.

La figure 5.4.7 illustre la notion de futur imm´ediat. Consid´erons, tout d’abord, les configurations

(a).i et (a).ii. La configuration (a).i contient un seul PAP : P = r, 1, 2. Ensuite, le processeur

3 ex´ecute sa r`egle F dans le mouvement (a).i → (a).ii : 3 s’accroche `a P. Donc, le mouvement

(a).i → (a).ii illustre le cas 1.(a) de la d´efinition 5.4.6 : dans la configuration (a).ii, F(P) = r, 1, 2,

3. La configuration (b).i contient aussi un seul PAP :P
= 1. De plus, les r`egles C du processeur 1

et F du processeur 2 sont activables dans (b).i. Donc, si ces deux r`egles sont ex´ecut´es dans le mˆeme mouvement (i.e., 1 quitteP
<sub>et 2 s’accroche `a</sub>P
_{), nous obtenons la configuration (b).ii qui illustre} le cas 1.(b) de la d´efinition 5.4.6 : dans la configuration (b).ii,F(P
) = 2. Enfin, notez que si seule

la r`egle C du processeur 1 avait ´et´e ex´ecut´ee lors de (b).i→ (b).ii, P
_{aurait disparu et, dans ce cas,}

F(P
) aurait ´et´e ´egal `a Dead_P
dans (b).ii, i.e. le cas 2 de la d´efinition 5.4.6. Avec la d´efinition suivante, nous g´en´eralisons la notion de futur imm´ediat.

58 Parcours en profondeur instantan´ement stabilisants 2 {r,3} r {r} 1 {r,1} 2 {r,1,2} 4 {3,4} 3 {r,1,2,3} r {r} 1 {r,1} 3 {3,4} 4 {3,4} 2 {r,1,2} r {r} 1 {r,1} 2 {r,1,2} 3 {3,4} 4 {3,4} pointe un successeur Sp Sp Parp {1,2} Visited p = C (a).i (a).ii (b).i _(b).ii 1 Idp r {r} 1 {r,1} 3 {3,4} 4 {3,4}

FIG. 5.4.7 – Exemples de futurs imm´ediats.

D´efinition 5.4.7 (Futur d’un PAP) Soit e∈ E, γi ∈ e et P un PAP dans γi. Nous d´efinissonsFk(P),

∀k ∈ N, le futur de P apr`es k mouvements dans e `a partir de la configuration γi comme suit : 1. F0(P) = P,

2. F1(P) = F(P) (le futur imm´ediat de P),

3. Fk(P) = Fk−1(F(P)) (le futur de P apr`es k mouvements), si k > 1.

Lemme 5.4.4 SoitP un PAP. Tant que Fk(P) = DeadP ^(k ∈ N), V isitedEF(Fk(P))^contient

exac-tement V isited_EF(P)union l’ensemble des identit´es des processeurs qui se sont accroch´es `aP ou `a

ses futurs jusqu’ `aFk(P)).

Preuve. SoitP un PAP dans la configuration γ0. Nous allons prouver ce lemme par r´ecurrence sur

k, le nombre de mouvements ex´ecut´es depuis γ₀.

Pour k = 0, la r´ecurrence est triviallement v´erifi´ee (F0(P) = P).

Supposons qu’apr`es k mouvements (k ≥ 0), V isitedEF(Fk(P))^{contient exactement V isited}EF(P)

union l’ensemble des identit´es des processeurs qui se sont accroch´es `a P ou `a ses futurs jusqu’`a Fk(P)).

´

Etudions maintement la valeur de V isited_EF(Fk+1(P))^{apr`es le mouvement γ}k → γk+1^.

– Si V isited_EF(Fk+1(P)) = V isited_EF(Fk(P))^{alors, d’apr`es les algorithmes 5.4.3 et 5.4.4,}

l’ex-tr´emit´e finale de Fk+1(P) est soit la mˆeme que celle de Fk(P) (i.e., EF (Fk(P))) soit le

pr´ed´ecesseur p de EF (F^k(P)) dans γk (dans ce cas, p a recopi´e V isited_EF(Fk(P)) ^{dans V} i-sited_p en ex´ecutant sa r`egle B). En particulier, cela signifie qu’aucun nouveau processeur ne

5.4 Premi`ere solution 59 s’est accroch´e `a Fk(P) durant γk → γk+1 ^{et, par hypoth`ese de r´ecurrence, la r´ecurrence est}

v´erifi´ee pour k + 1.

– Sinon (V isited_EF(Fk+1(P))= V isitedEF(Fk(P))^{). Dans ce cas, d’apr`es les algorithmes 5.4.3 et}

5.4.4, l’extr´emit´e finale deFk(P), i.e., EF (Fk+1(P)) correspond `a l’unique processeur p qui

s’est accroch´e `aFk(P) en ex´ecutant sa r`egle F dans γk → γk+1^{. Or, par l’ex´ecution de cette}

r`egle, V isitedp := V isited<sub>EF(F</sub>k(P))∪ {Idp} et, par hypoth`ese de r´ecurrence, la r´ecurrence est

v´erifi´ee pour k + 1.

D’o`u, le lemme est v´erifi´e. 

Lemme 5.4.5 SoitP un PAP. ∀ p ∈ V tel que Idp ∈ V isitedF E(P )^{, p ne peut pas s’accrocher `a}P.

Preuve. Soit γi → γi+1^{un mouvement. Soit}P un PAP existant dans γi. Supposons, par contradic-tion, qu’un processeur p s’accroche `aP tandis que Idp ∈ V isitedF E(P )^{. Tout d’abord, par d´efinition}

5.4.3, p= r (en effet, P arrest ´egal `a la constante⊥ donc r ne s’accroche jamais `a aucun PAP).

En-suite, d’apr`es les algorithmes 5.4.4, p s’accroche `aP dans γi → γi+1^{en ex´ecutant sa r`egle F et F est}

ex´ecut´ee dans γ_i → γi+1 ^{seulement si}¬LockedF (p). Or, ¬LockedF (p) ⇒ (Idp ∈ P redV isited/ p)

⇒ (Idp ∈ V isited/ F E(P )^{), contradiction.} 

Nous d´eduisons le lemme suivant d’apr`es les lemmes 5.4.4 et 5.4.5.

Lemme 5.4.6 SoitP un PAP. Si p ∈ V s’accroche `a P, alors p ne peut plus s’accrocher `a Fk(P),

∀k ∈ N+_.

Dans la suite, nous allons ´etudier l’´evolution des PAPs au cours du temps. Donc, beaucoup de r´esultats vont concerner les PAPs, P, et leurs futurs, F(P)k, ∀k ∈ N. Par souci de simplicit´e, `a

partir de maintenant, lorsqu’il n’y aura pas d’ambigu¨ıt´e, nous parlerons simplement deP pour faire

r´ef´erence `aP et ses futurs, F(P)k. Par exemple, nous pourrons reformuler le lemme 5.4.5 comme suit : un processeur ne peut s’accrocher qu’une seule fois `a un PAP donn´e.

Preuve de la stabilisation instantan´ee en supposant un d´emon distribu´e faiblement ´equitable.

Nous supposons maintenant que le d´emon distribu´e est faiblement ´equitable. Sous cette hypoth`ese, le nombre de mouvements par ronde est fini. Donc, comme nous avons d´efini le futur d’un PAP en terme de mouvements, nous pouvons aussi l’´evaluer en terme de rondes. Soit e∈ E. Soit P un PAP

existant dans la configuration γi telle que γi ∈ e. Nous notons FK

R(P) le futur de P apr`es K rondes

dans e `a partir de γ_i.

La premi`ere ´etape de notre preuve consiste `a montrer que le syst`eme ne contient plus de PAP anormal en au plus n rondes, i.e., tout PAP anormalP de la configuration initiale satisfait Fn

R(P) = DeadP^. La remarque technique suivante est utilis´ee dans la preuve du lemme 5.4.7.

Remarque 5.4.3 Dans un mouvement γi → γi+1^{, un processeur p peut affecter q} ∈ Neigp `a Sp

seulement si S_q = C dans γ_i(cf. les pr´edicats LockedF (p) et LockedB(p)).

Lemme 5.4.7 Lorsque la r`egle C d’un processeur p est activable, elle reste activable jusqu’ `a ce que

p l’ex´ecute.

Preuve. Pour prouver ce lemme, nous allons montrer que si la r`egle C d’un processeur p est activable

dans la configuration γ_i et que p n’ex´ecute pas cette r`egle dans γ_i → γi+1^{, alors elle reste activable}

60 Parcours en profondeur instantan´ement stabilisants Tout d’abord, d’apr`es les algorithmes 5.4.3 et 5.4.4, la r`egle C de p est activable dans γi si et seulement si Clean(p)∨ ((p = r) ∧ NoRealP arent(p)) ∨SetError(p), avec en particulier, Sp= C

dans γi. De plus, C est la r`egle la plus prioritaire de p donc cela signifie que p n’ex´ecute pas de r`egles dans γ_i → γi+1^{. Nous divisons maintenant notre ´etude en trois cas :}

1. Supposons que p satisfait Clean(p) dans γ_i.

– Si p = r, alors Clean(p) est d´efini uniquement avec les variables de r (Clean(p) ≡ (Sp =

D)). Donc, comme r n’ex´ecute pas de r`egle dans γ_i → γi+1^{, r satisfait encore Clean(r) et}

sa r`egle C est encore activable dans γ_i+1.

– Si p = r, alors, d’apr`es Clean(p) (pour p = r), SP arp = p ∧ Sp = C dans γi. Comme p n’ex´ecute pas de r`egle dans γ_i → γi+1^{, nous avons (par la remarque 5.4.3) S}P arp = p ∧Sp = C dans γ_i+1. Donc, Clean(p) reste vrai et la r`egle C de p reste activable dans γ_i+1.

2. Supposons que p satisfait ((p = r) ∧ NoRealP arent(p)) dans γi. Ce cas est similaire au cas pr´ec´edent pour p= r. Donc, p reste activable dans γi+1^.

3. Supposons que p satisfait SetError(p) dans γi.

– Supposons que (Idp ∈ V isited/ p) ∨ (Sp ∈ {C, D} ∧ Id/ Sp ∈ V isitedp). Dans ce cas,

SetError(p) est vrai `a cause des variables de p uniquement. Or, comme p n’ex´ecute pas

de r`egle dans γi → γi+1<sup>, SetError(p) reste vrai et la r`egle C de p reste activable dans γ</sup>i+1^.

– Supposons que ((p = r) ∧ (∃q ∈ Neigp :: (Sq = p) ∧ (P arp = q) ∧ ¬(V isitedq

V isited_p))) dans γ_i. Nous pouvons alors remarquer que SetError(p) d´epend de l’´etat des processeurs p et q. Ensuite, comme p n’ex´ecute pas de r`egle dans γi → γi+1^{, si q n’ex´ecute}

pas de r`egle dans γ<sub>i</sub> → γi+1<sup>, alors la r`egle C de p reste activable dans γ</sup>i+1^{. Supposons alors}

que q ex´ecute une r`egle dans γ<sub>i</sub> → γi+1<sup>. Le processeur q peut uniquement ex´ecuter sa r`egle</sup> C dans γi → γi+1 ^{(si Error(q) est satisfait). En effet, la r`egle B de q n’est pas activable `a}

cause de ChildError(q) et la r`egle F de q n’est pas activable car Sq = C. Maintenant, si q ex´ecute C dans γ_i → γi+1^{, alors (Clean(p)}∨ NoRealP arent(p)) est vrai dans γi+1^{et la}

r`egle C de p reste activable dans γi+1^.

Dans tous les cas, si p n’ex´ecute pas C dans γ_i → γi+1^{, alors C reste activable pour p dans γ}i+1 ^{et le}

lemme est v´erifi´e. 

Th´eor`eme 5.4.1 Le syst`eme ne contient plus de PAP anormal en au plus n rondes.

Preuve. Soit P un PAP anormal. Par la d´efinition 5.4.5, nous avons Error(EI(P)) et la r`egle C

de EI(P) est continˆument activable (Lemme 5.4.7). Or, comme le d´emon est faiblement ´equitable, EI(P) ex´ecute sa r`egle C en au plus une ronde. Ensuite, si F1

R(P) = DeadP^{, alors, par la d´efinition} 5.4.5, la r`egle C de EI(F_R¹(P)) est aussi continˆument activable. Ainsi, tant qu’il existe des PAPs

anormaux, au moins un processeur se d´ecroche de chaque PAP anormal `a chaque ronde. Or, pour chaque PAP anormal P, seuls peuvent s’accrocher `a P durant l’ex´ecution, une fois et une seule,

les processeurs p tel que p = r (car la racine ne peut s’accrocher `a aucun PAP anormal) et Idp ∈/ V isited<sub>EF(P)</sub> (lemmes 5.4.4 et 5.4.5). Ensuite, par le lemme 5.4.2, le nombre de ces processeurs est born´es par (n− 1) - (|P| - 1), i.e., (n − |P|) o`u |P| est la longueur de P dans la configuration

initiale. Donc, dans le pire des cas, n rondes sont n´ecessaires (i.e.,|P| + (n − |P|)) pour d´ecrocher

les processeurs initialement dansP et ceux qui se sont accroch´es `a P durant l’ex´ecution. D’o`u, pour

chaque PAP anormalP de la configuration initiale, nous avons F(P)n

R(P) = DeadP^{, i.e., le syst`eme}

ne contient plus de PAP anormal en au plus n rondes. 

Les lemmes et th´eor`emes suivants vont nous permettre de prouver, qu’`a partir de n’importe quelle configuration initiale, la racine initie, via sa r`egle F , un parcours en un nombre fini de rondes (th´eor`eme 5.4.3).

5.4 Premi`ere solution 61

Lemme 5.4.8 SoitP un PAP normal. P est mort apr`es l’ex´ecution d’au plus 2n − 2 actions

d’ac-crochage et de d´ed’ac-crochage.

Preuve. Soit e ∈ E une ex´ecution. Soit γi une configuration de e. Supposons qu’il existe un PAP normalP dans γi. D’apr`es l’algorithme, deux types de r`egle peuvent ˆetre ex´ecut´ees sur P : F et B.

La r`egle F permet `a un processeur de s’accrocher `aP. Tandis que l’ex´ecution de la r`egle B provoque

le d´ecrochage de l’extr´emit´e finale deP (EF (P)) : en effet, `a tout moment, seul le pr´ed´ecesseur p

de l’extr´emit´e finale d’un PAP peut ex´ecuter sa r`egle B et, par cette r`egle, soit il ex´ecute S_p := D

soit il d´esigne un nouveau successeur.

Par les lemmes 5.4.5 et 5.4.6, seuls les processeurs p tels que Idp ∈ V isited/ F E(P )^{dans γ}ipeuvent s’accrocher `a P durant l’ex´ecution (via la r`egle F ) et cela au plus une fois. Donc, au plus n − |P|

processeurs peuvent s’accrocher `aP o`u |P| est la longueur de P dans γi (lemme 5.4.3).

Ensuite, dans le pire des cas, apr`es que n− 2 processeurs se sont d´ecroch´es de P via l’ex´ecution

de la r`egle B par leurs pr´ed´ecesseurs, le syst`eme est dans une configuration o`uP v´erifie |P| = 2 et

une seule r`egle peut ˆetre ex´ecut´ee surP : le p`ere de EF (P), i.e., EI(P), peut ex´ecuter sa r`egle B. Or,

par le lemme 5.4.4, dans cette configuration, V isitedEF(P)= {Idq :: q ∈ V }. Donc, par l’ex´ecution

de la r`egle B, EI(P) affecte D `a SEI(P)^{(cf. N ext}EI(P)^{) et}P disparaˆıt (F(P) = DeadP^).

Ainsi, dans le pire des cas, P est mort apr`es avoir subi l’ex´ecution de n − |P| + (n − 2) + 1

r`egles o`u|P| est la longueur de P dans γi. Ce nombre est maximal avec|P| = 1 dans γi, i.e., 2n− 2

r`egles. 

Lemme 5.4.9 Soit P un PAP normal. Si il n’existe pas de PAP anormal dans le syst`eme, alors F2n−1

R (P) = DeadP^.

Preuve. Soit e ∈ E une ex´ecution. Soit γi ∈ e une configuration de e dans laquelle il existe un

unique PAP : le PAP normalP.

Tout d’abord, `a partir de γi, pour tout processeur p, si p /∈ P, alors Sp = C ou p est pr´e-nettoy´e.

Ensuite, tous les processeurs pr´e-nettoy´es dans γ_i ont leur r`egle C continˆument activable (Lemme 5.4.7) et comme le d´emon est faiblement ´equitable, ils ex´ecutent leur r`egle C en au plus une ronde. Donc, apr`es au plus une ronde `a partir de γi, tout processeur pr´e-nettoy´e existant dans le syst`eme a ´et´e g´en´er´e pendant l’ex´ecution par le PAP normal P. D’o`u, ∀k ≥ 1, si Fk

R(P) = DeadP^{, alors} les identit´es de tous les processeurs pr´e-nettoy´es sont dans l’ensemble V isited_EF(Fk

R(P)) ^{(cf. lemme}

5.4.4). Donc,∀k ≥ 1, si Fk

R(P) = DeadP<sup>, deux cas sont possibles au d´ebut de la (k + 1)`eme ronde</sup> `a partir de γ_i :

– S_EF(Fk

R(P)) = D. Soit p le p`ere de EF (Fk

R(P)). Tout d’abord, puisqu’il n’existe plus de PAP

anormal, nous avons |P redp| = 1. Ensuite, par la discussion pr´ec´edente et le lemme 5.4.3,

nous savons que les identit´es de tous les processeurs pr´e-nettoy´es ainsi que les identit´es de tous les processeurs deFk

R(P) sont dans l’ensemble V isitedEF(Fk

R(P))^{. De plus, ChildV isited}p =

V isited_EF(Fk

R(P))^{. Donc,}∀q ∈ Neigptel que Idq ∈ ChildV isited/ p, nous avons Sq = C. D’o`u,

p satisfait Backward(p)∧ ¬LockedB(p) et sa r`egle B est continˆument activable car, except´e p, seul les processeurs pr´e-nettoy´es peuvent ex´ecuter une r`egle : la r`egle C.

– S_EF(Fk

R(P)) = D. Soit p le processeur tel que p = SEF(Fk

R(P))^{. Comme pr´ec´edemment, nous}

avons |P redp| = 1 et ∀q ∈ Neigp tel que Idq ∈ P redV isited/ p, q satisfait Sq = C. D’o`u, p

satisfait F orward(p)∧ ¬LockedF (p) et la r`egle F de p est continˆument activable.

Donc, apr`es une ronde `a partir de γ_i, au d´ebut de chaque nouvelle ronde, exactement une r`egle permettant de faire progresser le PAP normal est continˆument activable jusqu’`a ce qu’il soit mort. Dans le pire des cas, une r`egle est bien ex´ecut´ee sur le PAP normal par ronde et, par le lemme 5.4.8, nous avonsF_R^1+(2n−2)(P) = Dead_P, i.e.,F2n−1

R (P) = Dead_P. 

62 Parcours en profondeur instantan´ement stabilisants Th´eor`eme 5.4.2 Tout PAP normalP satisfait F3n−1

R (P) = DeadP^.

Th´eor`eme 5.4.3 `A partir de n’importe quelle configuration initiale, r ex ´ecute sa r`egle F apr`es au plus 3n rondes.

Preuve. A partir de n’importe quelle configuration initiale, le syst`eme atteint en au plus 3n<sup>`</sup> − 1

rondes une configuration γ_i telle que ∀p ∈ V , Sp ∈ {C,D} (th´eor`emes 5.4.1 et 5.4.2). Dans γi,

∀p ∈ V tel que Sp = D nous avons S_{P arp} = p. Donc, chaque p est pr´e-nettoy´e et a sa r`egle C

continˆument activable (lemme 5.4.7). Or, comme le d´emon est faiblement ´equitable, dans le pire des cas, apr`es une ronde, nous avons∀p ∈ V , Sp = C et, la r`egle F de r est activable dans le syst`eme.

D’o`u, `a partir de n’importe quelle configuration initiale, r ex´ecute sa r`egle F apr`es au plus 3n rondes.



Le th´eor`eme suivant montre que tout parcours initi´e par r est un parcours en profondeur d’abord du r´eseau.

Th´eor`eme 5.4.4 `A partir de n’importe quelle configuration o `u r ex´ecute la r`egle F ,DFS1 ex´ecute

un parcours en profondeur du r´eseau.

Preuve. Supposons que le syst`eme d´emarre `a partir d’une configuration γ_αo`u∀p ∈ V , Sp = C. `A

partir de γ_α, r cr´ee un jeton par sa r`egle F et ce jeton est unique dans r´eseau. Ensuite, comme expliqu´e dans la section 5.4.1, pendant tout le parcours, le syst`eme v´erifie l’invariant suivant : l’ensemble

V isited du processeur qui d´etient le jeton contient les identit´es de tous les processeurs visit´es par le

jeton. Ensuite, `a chaque ex´ecution des r`egles F et B, le processeur qui d´etient le jeton connait, grˆace

V isited_p, qui a ´et´e visit´e parmi ses voisins et, via la macro N extp, soit p affecte D `a Sp car tous ses voisins ont d´ej`a ´et´e visit´e (dans ce cas, leurs identit´es sont dans V isited_p) soit p affecte q o`u q le voisin non-visit´e minimum dans l’ordre local≺p(i.e., le voisin minimum de p dans l’ordre local≺p,

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