Dans cette section nous ne consid´erons que des graphes non-orient´es. Il est `a noter que tous les graphes n’admettent pas de code identifiant. Par exemple, si un graphe Gcontient deux sommets u et v tels que
alors pour tout sous-ensemble de sommets C deG on aura
N[u]∩C = N[v]∩C,
et G n’admet pas de code 1-identifiant. De mˆeme, dans le cas des codes identifiant des ensembles de sommets, si G contient deux sous-ensembles distincts d’au plus` sommets X, Y, tels que
N[X] = N[Y],
alors G n’admet pas de code (1,≤`)-identifiant. Il est facile de voir que ces conditions sont n´ecessaires et suffisantes :
Th´eor`eme 1.3 ([KCL98])
Un graphe G admet un code (t,≤`)-identifiant si et seulement si on a :
[ x∈X
Bt(x) 6= [ y∈Y
Bt(y)
pour toute paireX, Y de sous-ensembles d’au plus` sommets de G, o`u Bt(x)
d´esigne l’ensemble des sommets `a distance au plus t de x. Par cons´equent, G admet un code (t,≤ `)-identifiant si et seulement si V(G) est un code
(t,≤`)-identifiant de G.
Preuve : S’il existe deux sous-ensembles d’au plus `sommets X, Y tels que S
x∈XBt(x) = S
y∈Y Bt(y), alors pour tout sous-ensemble de sommets C de
G on aura S
x∈XBt(x)∩C = S
y∈Y Bt(y)∩C, et G n’admet pas de code (t,≤`)-identifiant. R´eciproquement, si [ x∈X Bt(x) 6= [ y∈Y Bt(y) (1.2) pour toute paire X, Y de sous-ensembles d’au plus ` sommets de G, alors
C =V(G) est trivialement un code (t,≤`)-identifiant de G. 2 Remarquons que, si ` est fix´e, alors la v´erification de la condition (1.2) se fait en temps polynomial (sitn’est pas fix´e, consid´erer le probl`eme dansGt, la fermeturet-transitive du graphe). Nous ignorons la complexit´e du probl`eme suivant :
Identifiable
Instance : Un graphe G, deux entiers t ≥1 et `≥1.
Deux sommetsu,v tels queBt(u) =Bt(v) seront parfois appel´essommets jumeaux. Ainsi, un graphe admet un code t-identifiant si et seulement si il ne contient pas de sommets jumeaux.
Lorsqu’un grapheGadmet un code identifiant, alorsV(G) est toujours un code identifiant deG, ainsi le probl`eme d’optimisation associ´e est de trouver un code identifiant de cardinalit´e minimum. Ce probl`eme est NP-difficile, aussi bien dans les graphes orient´es [CHL02b] que dans les graphes non-orient´es [CHL03]. Dans le deuxi`eme chapitre de cette th`ese nous ´etudierons la complexit´e de ce probl`eme dans des classes restreintes de graphes.
Dans le cas g´en´eral on peut ´etablir des bornes inf´erieures pour la cardi-nalit´e minimum d’un code (t,≤`)-identifiant dans un graphe.
Th´eor`eme 1.4 ([KCL98])
Soit G = (V, E) un graphe muni d’un code (t,≤ `)-identifiant C. Alors la cardinalit´e de C v´erifie : |C| ≥ log ` X i=0 |V| i ! = Ω(`log|V|).
Preuve : Les ensembles identifiants I(X, C) ´etant des sous-ensembles dis-tincts de C, l’application X 7→I(X, C) est une injection des sous-ensembles d’au plus ` sommets de G dans 2C. Ceci nous donne
` X i=0 |V| i ≤ 2|C|,
ce qui conduit au r´esultat annonc´e en consid´erant que P` i=0 |V|
i
= Θ(|V|`). 2
On peut remarquer que la borne du th´eor`eme pr´ec´edent ne d´epend pas det. Dans le cas` = 1, cette borne nous dit que |C| ≥ dlog(|V|+ 1)e. Dans le Chapitre 4 nous montrons que cette borne est serr´ee : pour tout t ≥ 1, et pour tout n assez grand, nous construisons un graphe Gn,t `a n sommets admettant un code t-identifiant de cardinalit´e dlog(n+ 1)e (Th´eor`emes 4.1 et 4.2).
Le lien que nous avons ´etabli avec les codes superimpos´es nous permet en fait d’am´eliorer le Th´eor`eme 1.4. Rappelons que K ⊆ {0,1}N est un code `-superimpos´e si et seulement si le OU binaire d’au plus ` vecteurs de
K est diff´erent du OU binaire d’au plus ` autres vecteurs de K. Les codes superimpos´es ont ´et´e largement ´etudi´es dans la litt´erature, et nous disposons des bornes suivantes :
Th´eor`eme 1.5 ([DR83, KS64])
Soit K un code `-superimpos´e de {0,1}N. Alors il existe deux constantes c1
et c2, ind´ependantes de n et `, telles que :
2c1N/`2
≤ |K| ≤ 2c2Nlog`/`2
.
De plus, la borne inf´erieure est constructive : il existe un algorithme qui, ´etant donn´e un entierN, construit un code`-superimpos´e de{0,1}N de cardinalit´e
2c1N/`2
.
La borne inf´erieure ´etait d´ej`a donn´ee dans l’article introduisant les codes superimpos´es [KS64], et des preuves combinatoires de la borne sup´erieure, ´etablie `a l’origine en [DR83], peuvent ˆetre trouv´ees dans [Rusz94, Fur96]. Un algorithme glouton construisant un code`-superimpos´e de cardinalit´e 2c1N/`2
est d´ecrit en [HS87].
Dans le cas o`u l’on identifie des ensembles de sommets (paragraphe 1.2.2), nous avions mentionn´e le fait qu’un graphe muni d’un code (t,≤`)-identifiant nous fournissait un code `-superimpos´e de {0,1}|C|. Ce lien nous permet de d´eduire une nouvelle borne sur la cardinalit´e minimum deC :
Th´eor`eme 1.6 ([FMMRS])
Soit G = (V, E) un graphe muni d’un code (t,≤ `)-identifiant C. Alors la cardinalit´e de C v´erifie : |C| ≥ Ω `2 log`logn .
Preuve : Soit G un graphe muni d’un code (t,≤`)-identifiant C. Les vec-teurs caract´eristiques des ensembles identifiants des sommets de G formant un code `-superimpos´e de {0,1}|C|, le r´esultat d´ecoule du Th´eor`eme 1.5. 2 Nous ignorons si cette borne est serr´ee. Dans le Chapitre 4, nous don-nons une construction explicite d’une famille de graphes `ansommets admet-tant un code (1,≤ `)-identifiant de cardinalit´e O(`4logn) (Th´eor`eme 4.3), et dans le Chapitre 5 nous donnons une construction probabiliste montrant qu’il existe une famille de graphes `a n sommets admettant un code (1,≤` )-identifiant de cardinalit´eO(`2logn) (Proposition 5.5).
Dans le cas des graphes r´eguliers, nous pouvons donner une borne en fonction de la cardinalit´e des boules :
Th´eor`eme 1.7 ([KCL98])
V(t) la cardinalit´e d’une boule de rayon t dans G. Alors la cardinalit´e de C v´erifie :
|C| ≥ V(t2) + 1n .
Preuve : Soit G un graphe muni d’un code t-identifiant C, et soit H le graphe biparti dont l’un des stables est C et l’autre V, et tel qu’il y a une arˆete entre c∈C etv ∈ V si et seulement si c∈ Bt(v) dans G. On conclut par un argument classique de double-comptage : le nombre d’arˆetes de H
est, d’une part, trivialement ´egal `a|C|V(t), et d’autre part il y a au plus|C|
sommets de V de degr´e 1 et au moins n− |C| sommets de V de degr´e au moins 2, d’o`u |C|V(t)≥2(n− |C|) +|C|,i.e. |C| ≥ 2n
V(t)+1. 2